Bochner-Riesz算子的交換子在變指數Herz-Morrey空間的有界性

楊 丹, 葉曉峰, 余 標

(華東交通大學 理學院, 南昌 330013)

0 引 言

Bochner-Riesz算子定義為

其中t+=max{t,0}.其卷積形式可表示為

1 預備知識

定義Bk={x∈n: |x|≤2k},k∈,Ak∶=BkBk-1,χk∶=χAk,其中χk表示特征函數.定義n)表示所有滿足1

定義1[6]設p(·):→[1,∞)是一個可測函數.變指數Lebesgue空間Lp(·)(n)定義為

下面給出在變指數空間的局部連續條件:

定義2[10]令p(·)∈P(n), 若p(·)滿足

則稱p(·)∈LH(n).

注1當p(·)∈LH(n)時, 由文獻[8]知p(·)∈B(n).

定義3[11]設α∈, 0

其范數為

定義4設β(·)∈P0(n), 變指數Lipschitz空間n)的范數定義[12]為

變指數Lipschitz空間的一個重要刻畫[4]為： 若p(·)∈P(n), 則

(1)

引理1[7]設p(·)∈P(n), 若f∈Lp(·)(n),g∈Lp′(·)(n), 則有

引理2[7]若p(·)∈P(n), 則存在C>0, 使得對包含于n的任意球體B, 下列不等式成立：

引理3[13]令p(·)∈B(n), 則存在C>0, 使得對包含于n的任意球體B及B的子集S, 有

其中γ1,γ2為常數, 且 0<γ1,γ2<1.

(2)

(3)

令f(x)={b(x)-bB}m/δχB, 顯然m/δ>1, 且m/δ∈P(n), 根據式(1)變指數Lipschitz空間的性質, 有

利用引理3, 可得

綜上可知式(2)成立.

下證式(3)成立.對?j,i∈,j>i, 有

‖(b-bBi)mχBj‖Lp(·)(n)≤C{‖(b-bBj)mχBj‖Lp(·)(n)+‖χBj‖Lp(·)(n)}.

利用文獻[7]中結論及式(1), 可得

再聯合式(2)可得式(3).

引理6[5]令β(·)∈P0(n)∩LH(n),p(·)∈B(n), 且若且則

2 主要結果

下面對I,J,L三部分分別進行有界性估計：

1) 估計I.對?k∈,j≤k-2, 令x∈Ak,y∈Bj, 則|x-y|≥|x|-|y|≥2k-1-2j≥2j, 故

首先估計I1.對I1取范數, 可得

利用引理5中式(2)可得

其次估計I2.將式(4)代入I2, 再對I2取范數, 可得

最后估計I3.類似I1的估計方法, 對I3先取范數, 再利用式(2)可得

將I1,I2,I3范數相加, 有

由文獻[9]可推出:

再由引理4可得

‖χBk‖Lq2(·)(n)≤C2-kβ(·)‖Iβ(·)(χBk)‖Lq2(·)(n)≤C2-kβ(·)‖χBk‖Lq1(·)(n).

(6)

將式(6)代入式(5), 有

利用引理2和引理3可得

將式(7)代入I中， 有

若00, 有

2) 估計J.由引理6可得

3) 估計L.對?k∈,j≥k+2,x∈Ak,y∈Bk, 顯然, |x-y|≥|y|-|x|≥C2k,

類似對I1,I2,I3的估計可得對L1,L2,L3的估計如下：

結合L1,L2,L3的范數可得

由文獻[9]可推出

利用引理4可得

通過移項有

(9)

將式(9)代入式(8), 有

利用引理3可得

代入L中, 有

若00知,

若1

綜上所述, 有

證畢.