一類二階時滯模糊微分方程解的存在唯一性

賈永維, 張旭萍

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

兩類模糊解的存在唯一性, 其中f: I×En×C([-r,0],En)→En, I=[0,1], r>0, En是n維模糊數空間. 在非線性函數的Lipschitz條件系數不做限制的情形下, 證明該問題兩類模糊解的存在唯一性.

0 引 言

時滯微分方程是具有時間滯后的微分方程, 用于描述既依賴于當前狀態也依賴于過去狀態的發展系統, 其特點是充分考慮了系統歷史對現狀的影響. 目前, 時滯微分方程及其分支理論在控制理論、 決策分析、 工程理論、 聚類分析、 故障判斷和系統評價等領域應用廣泛[1-4]. 文獻[5]利用錐上的不動點指數理論, 討論了二階邊值問題

正解的存在性, 其中f∈C([0,1]×+)為變號函數； 文獻[6]利用錐上的不動點指數理論, 討論了非線性函數含有導數項的二階邊值問題

正解的存在性, 其中f∈[0,1]×+×→+為連續函數.事實上, 關于普通常微分方程邊值問題解的存在性研究在Banach空間中已日趨完善, 而關于模糊數空間中依賴于過去時間狀態的微分方程邊值問題解的存在唯一性研究目前文獻報道較少, 因此, 本文考慮含有時滯項的二階模糊微分方程邊值問題

(1)

兩類模糊解的存在唯一性, 其中f:I×En×C([-r,0],En)→En,I=[0,1],r>0, En是n維模糊數空間,ut∈C([-r,0],En)滿足ut(s)=u(t+s),s∈[-r,0], 且ut(·)表示時間狀態從(t-r)時刻到當前狀態的時間歷程.

文獻[7]提出了模糊數值函數Hukuhara(H)可導的概念. 目前, H導數已成為求解模糊微分方程初邊值問題的重要方法, 但其解的支撐集會不斷增大, 常導致模糊微分方程兩點邊值問題無解, 故存在一定的缺陷. 文獻[8]將H導數推廣到廣義導數, 并在用廣義導數求解模糊微分方程時得到了更好的結果. 廣義導數可以解決H導數在處理微分方程時使得解的支撐集無限增大的弊端. 因此, 用廣義導數研究模糊微分方程, 尤其在研究模糊微分方程邊值問題時更具優越性. 本文在廣義Hukuhara導數框架下, 進一步討論二階時滯模糊微分方程邊值問題兩類模糊解的存在唯一性, 并完全去除對非線性函數Lipschitz條件系數的限制要求.

1 預備知識

定義1[9]令En={u|u:n→[0,1]}, 且u滿足下列條件：

1)u是正規模糊集, 即?x0∈n, 使得u(x0)=1;

2)u是上半連續的;

3)u是模糊凸集, 即對任意的x,y∈n, 有u(λx+(1-λ)y)≥min{u(x),u(y)}, ?λ∈[0,1];

則u稱為模糊數, 所有n維模糊數u組成的空間稱為n維模糊數空間, 記為En.

對?α∈[0,1], [u]α={x∈n|u(x)≥α}稱為u的α-截集, 它是一個閉區間.設u,v∈En, 則二者距離定義為

其中dH表示n上非空緊集的Hausdorff距離.

定義2[10]對任何u,v∈En,k∈, En中的加法和數乘運算如下:

引理1[11](En,d)具有如下性質:

1) (En,d)是一個完備的度量空間;

2)u,v∈En,k∈,d(ku,kv)=|k|d(u,v);

3)u,v,ω∈En,d(u⊕ω,v⊕ω)=d(u,v).

性質1[10]對任何u,v∈En,k∈, En中的加法和數乘運算滿足:

1)k(u⊕v)=ku⊕kv;

2)k1(k2u)=(k1k2)u;

3) 當k1≥0,k2≥0時, 有(k1+k2)u=k1u⊕k2u.

定義3[12]設u,v∈En, 若存在模糊數z∈En, 使得u=v⊕z或v=u⊕(-1)z, 則z稱為u和v的廣義H-差(gH-差), 記作z=u?gHv.

定義4[9]令f: [a,b]→En,t0∈[a,b].若?ε>0, ?δ>0, 使得對任意的t∈[a,b], 當d(t,t0)<δ時, 有d(f(t),f(t0))<ε成立, 則稱f在t0處連續.若f在[a,b]的每一點都連續, 則稱f在[a,b]上連續.

定義5[12]設f: [a,b]→En,t0∈(a,b), 且?h使得t0+h∈[a,b], 如果存在DgHf(t0)∈En, 使得

則稱f在t0處廣義Hukuhara可微, 簡稱gH可微.

定義7[13]設F: [a,b]→En,Fα(t)=[F(t)]α, 如果

引理2[14]設f,g: [a,b]→En是兩個模糊函數, 且c∈n, 則下列結論成立:

3)d(f(t),g(t))是可積的;

2 主要結果

考慮方程(1)所對應的線性模糊微分方程邊值問題

(2)

其中h(t)∈C(I,En).由文獻[15]可知, 方程(2)的解等價于積分方程

(3)

的解.特別地, 若u(t)在[0,1]上是(i)-gH型可微的, 則

若u(t)在[0,1]上是(ii)-gH型可微的, 則

其中

(4)

易證G(t,s)是有界、 定號的.

通過與線性模糊微分方程比較可得二階時滯模糊微分方程邊值問題(1)兩類模糊解的定義.設

定義8若連續函數u∈C1滿足

(5)

(6)

則u稱為二階時滯模糊微分方程邊值問題(1)的(ii)-gH型解.

本文假設下列條件成立:

(7)

定理1設En為n維模糊數空間, 若假設條件(H1)成立, 則二階時滯模糊微分方程邊值問題(1)在C1上有唯一的(i)-gH型解.

(8)

通過直接計算可知, 算子A在C1上有定義且A映C1到其自身.由定義8可知, 二階時滯模糊微分方程(1)的(i)-gH型解等價于算子A的不動點.當t∈I時, 由條件(H1)及式(5)有

從而可得

因為

(11)

當t∈[-r,0]時,D((Au(t),Av(t)))=D0(φ(t),φ(t))=0.顯然H(Au,Av)≤H(u,v), 由壓縮映像原理可知, 算子A:Ω→Ω存在唯一不動點, 記為u*,u*即為邊值問題(1)的唯一的(i)-gH型解.

(12)

注1在對非線性函數的Lipschitz條件系數不做限制的情形下, 定理1和定理2得到了問題(1)兩類模糊解的存在唯一性.

定義9如果存在非負實數M, 使得

則稱算子p: En→En是一個有界算子.定義

(14)

定理3設En為n維模糊數空間, 若假設條件(H2)成立, 則二階時滯模糊微分方程邊值問題(1)在Ca上有唯一的(i)-gH解.

證明: 定義算子A:C1→C1如式(8)所示, 通過直接計算可知, 算子A在C1上有定義且A映C1到其自身, 類似定理2的證明可知, 二階時滯模糊微分方程(1)的(i)-gH型解等價于算子A的不動點.下面利用冪壓縮映射的不動點定理尋找算子A的不動點.當t∈I時, 由條件(H2)及式(5)可知,

再由條件(H2)及式(15)可知，

由條件(H2)及式(16), 假設當n*=k-1時, 有

D(Ak-1u(t),Ak-1v(t))≤(L1+L2)k-1‖Tk-1‖D(u,v)；

(17)

則由條件(H2)及式(17), 當n*=k時, 有

因此由數學歸納法可知, 對任意的正整數n*, 當t∈I時, 有

D(An*u(t),An*v(t))≤(L1+L2)n*‖Tn*‖D(u,v).

(19)

(20)

當t∈[-r,0]時,D(Au(t),Av(t))=D0(φ(t),φ(t))=0.故當n*≥N0時,An*是壓縮算子.由冪壓縮映射的不動點定理可知, 算子A存在唯一不動點, 即二階時滯模糊微分方程邊值問題(1)在C1上存在唯一的(i)-gH型解.

再由條件(H2)及式(21)可知,

由條件(H2)及式(22), 假設當n*=k-1時, 有

D(Fk-1u(t),Fk-1v(t))≤(L1+L2)k-1‖Tk-1‖D(u,v);

(23)

則由條件(H2)及式(23), 當n*=k時, 有

因此由數學歸納法可知, 對任意的正整數n*, 當t∈I時, 有

D(Fn*u(t),Fn*v(t))≤(L1+L2)n*‖Tn*‖D(u,v).

(25)