廣義齊型Morrey空間上分?jǐn)?shù)次極大算子及其交換子的有界性

劉 銘, 逯光輝

(1. 青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西寧 810007; 2. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

Morrey[1]為研究二階橢圓偏微分方程解的局部正則性, 首次引入了經(jīng)典的Morrey空間. 目前, 關(guān)于算子在Morrey空間上性質(zhì)的研究已有很多結(jié)果. 例如: 范大山等[2]建立了一類次線性算子和交換子在齊型空間中的Morrey空間上的有界性； Akbulut等[3]給出了極大算子和奇異積分算子在廣義Morrey空間上的有界性; Balakishiyev等[4]給出了一些次線性算子及其交換子在廣義局部Morrey空間上的有界性; Guliyev等[5]給出了分?jǐn)?shù)次極大算子的交換子在廣義Morrey空間上的一些特征; Armutcu等[6]給出了分?jǐn)?shù)次極大算子在局部廣義Morrey空間上的一些特征. 本文主要討論分?jǐn)?shù)次極大算子及其交換子在廣義齊型Morrey空間上的有界性.

1 預(yù)備知識

定義1[7]設(shè)(X,d,μ)是Q-齊次的, 1≤p<∞ , 0≤λ≤Q, 齊型Morrey空間Mp,λ=Mp,λ(X)和弱Morrey空間WMp,λ=WMp,λ(X)分別定義為

其中

(1)

(2)

注意到Mp,0=Lp(X)和Mp,Q=L∞(X), 如果λ>0或λ

定義2[8]設(shè)(X,d,μ)是Q-齊次的, 1≤p<∞ , 0≤λ≤Q,φ(x,r)是定義在X×(0,∞)上的一個正的可測函數(shù), 廣義齊型Morrey空間Mp,φ=Mp,φ(X)和廣義齊型弱Morrey空間WMp,φ=WMp,φ(X)分別定義為

其中‖f‖Lp(B(x,r))定義如式(1), ‖f‖WLp(B(x,r))定義如式(2).根據(jù)上述定義, 設(shè)φ(x,r)=r(λ-Q)/p, 則有

Mp,λ=Mp,φ|φ(x,r)=r(λ-Q)/p,WMp,λ=WMp,φ|φ(x,r)=r(λ-Q)/p.

定義3[9]設(shè)(X,d,μ)是Q-齊次的, 齊型空間上的BMO空間BMO(X)=BMO定義為

這里

下面給出齊型BMO空間的一些性質(zhì)[10]:

(i) 當(dāng)1≤p<∞時, 有

(3)

(ii) 當(dāng)0<2r

(4)

本文設(shè)C表示一個不依賴于主要參數(shù)的常數(shù);AB表示A≤CB,A≈B表示AB且BA;E?X, 用χE表示E的特征函數(shù); 1≤p≤∞,p′表示p的對偶指標(biāo), 即1/p+1/p′=1.

定義4[11]設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,d是X上的一個擬度量, 即滿足d(x,y)≥0,d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y,d(x,y)=d(y,x),

d(x,y)≤C1(d(x,z)+d(z,y)).

(5)

若X上的正則Borel測度μ滿足條件(5)和

0<μ(B(x,2r))≤C2μ(B(x,r))<∞,

(6)

則稱X=(X,d,μ)為Coifman-Weiss意義下的齊型空間, 其中B(x,r)={y∈X:d(x,y)0, 記λB=B(x,λr), 由條件(6)知, 對所有的λ≥1, 有

μ(λB)≤C(μ,λ)μ(B).

(7)

定義5[12]設(shè)μ(X)=∞, 如果存在Q>0, 0

(8)

則稱(X,d,μ)是Q-齊型空間, 其中C3≥1是一個不依賴于X和r的常數(shù).

由上述定義易知n維Euclid空間n是n次齊次的.若Q=1, 則稱(X,d,μ)為正規(guī)齊型空間.Macías等[13]研究表明, 對任何同構(gòu)類型的齊型空間(X,d,μ), 均存在一個準(zhǔn)距離δ, 使得(X,d,μ)是正規(guī)的, 且d和δ在(X,d,μ)上誘導(dǎo)的拓?fù)涫侵睾系?

由Young函數(shù)的凸性及Φ(0)=0可知, 任何Young函數(shù)都是單調(diào)遞增的.如果存在t∈(0,∞)使得Φ(t)=∞, 則當(dāng)r≥t時, 必有Φ(r)=∞.用Y表示當(dāng)0

定義7[12]設(shè)Φ∈Y, 0≤s≤∞, 用Φ-1(s)=inf{r≥0:Φ(r)>s}表示Φ的逆函數(shù).易見, 如果Φ∈Y, 則Φ(Φ-1(r))≤r≤Φ-1(Φ(r)), 0≤r<∞.

(9)

由Φ的凸性及Φ-1的凹性可得如下性質(zhì):

(10)

由式(8)和式(10), 可得

Φ-1(μ(B(x,r))-1)≈Φ-1(r-Q).

(11)

其中B(x,t)={y∈X:d(x,y)≤t}, 1<α/Q<∞.

當(dāng)α=0 時,Mα恒為M0即為通常的Hardy-Littlewood極大算子,Mb,0恒為Mb即為Hardy-Littlewood極大算子的次線性交換子, 則由上述定義易知

|[b,Mα]f(x)|≤Mb,α(f)(x).

(12)

(13)

(14)

‖Mαf‖Lq(B(x,r))≤‖Mαf1‖Lq(B(x,r))+‖Mαf2‖Lq(B(x,r)).

首先估計(jì)Mαf1(x).由文獻(xiàn)[15]中Mα從Lp(X)到Lq(X)的有界性, 可得

‖Mαf1‖Lq(B(x,r))≤‖Mαf1‖Lp(X)‖f1‖Lp(X)=‖f‖Lp(B(x,2r)).

(15)

其次估計(jì)Mαf2(x).設(shè)y是B(x,r)中任意一點(diǎn), 如果B(y,t)∩(B(x,2C1r))C≠?, 則t>r.事實(shí)上, 如果z∈B(y,t)∩(B(x,2C1r))C, 則

另一方面,B(y,t)∩(B(x,2C1r))C?B(x,2C1t).事實(shí)上, 如果z∈B(y,t)∩(B(x,2C1r))C, 則

d(x,z)≤C1d(y,z)+C1d(x,y)

由式(8)可得

從而由式(16), 對任意的y∈B(x,r), 可得

(17)

因此由式(8)、 式(15)和式(17)可得

設(shè)p=1時, 對任意的球B=B(x,r), 有

‖Mαf‖WLq(B(x,r))≤‖Mαf1‖WLq(B(x,r))+‖Mαf2‖WLq(B(x,r)).

對Mαf1(x), 由文獻(xiàn)[15]中Mα從L1(X)到WLq(X)的有界性, 可得

‖Mαf1‖WLq(B(x,r))≤‖Mαf1‖WLq(X)‖f1‖L1(X)=‖f‖L1(B(x,2r)).

(18)

同理, 由式(8)、 式(17)和式(18)可得

(19)

(20)

對J1應(yīng)用H?lder不等式, 可得

另一方面, 有

因此由式(8)和式(13)可得

當(dāng)p=1時, 由式(8)和式(14)可得

2 主要結(jié)果

‖Mf‖Lp(B(x0,r))rQ/pt-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,t))dt;

(21)

當(dāng)p=1時,

‖Mf‖WL1(B(x0,r))rQt-Q-1‖f‖L1(B(x0,t))dt.

(22)

證明: 對任意的x0∈X, 用B∶=B(x0,r)表示以x0為中心、r為半徑的球.令f=f1+f2, 這里f1∶=fχB(x0,2C1r),f2∶=fχ(B(x0,2C1r))C, 其中r>0,C1是三角不等式(5)中的常數(shù), 則有

‖Mf‖Lp(B(x0,r))≤‖Mf1‖Lp(B(x0,r))+‖Mf2‖Lp(B(x0,r)).

(23)

首先估計(jì)Mf1.由文獻(xiàn)[16]中M在Lp(X)上的有界性, 可得

‖Mf1‖Lp(B(x0,r))≤‖Mf1‖Lp(X)‖f1‖Lp(X)=‖f‖Lp(B(x0,2r)),

(24)

其中1

‖Mf1‖Lp(B(x0,r))rQ/pt-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,t))dtrQ/pt-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,t))dt.

(25)

其次估計(jì)Mf2.當(dāng)x∈B(x0,r)且y∈(B(x0,2C1r))C時, 有

(26)

下面證明不等式:

(27)

事實(shí)上, 令β>Q/p, 可得

從而當(dāng)x∈B(x0,r)時, 由式(26)可得

因此由式(27)和式(28)可得

Mf2(x)s-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,s))dss-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,s))ds.

(29)

于是對固定的x0和r,Mf2(x)被不依賴于x的表達(dá)式控制, 對式(29)兩端同時取LP范數(shù), 可得

‖Mf2‖Lp(B(x0,r))s-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,s))ds‖1‖Lp(B(x0,r)).

(30)

又由式(8)可知, ‖1‖Lp(B(x0,r))=(μ(B(x0,r)))1/prQ/p, 再結(jié)合式(30)可得

‖Mf2‖Lp(B(x0,r))rQ/ps-Q/p-1‖f‖Lp(B(x0,s))ds.

(31)

綜上對Mf1和Mf2的估計(jì), 由式(25)和式(31)可得

當(dāng)p=1時, 對任意的球B(x0,t), 有

‖Mf‖WL1(B(x0,r))≤‖Mf1‖WL1(B(x0,r))+‖Mf2‖WL1(B(x0,r)).

(32)

由文獻(xiàn)[16]中M從L1(X)到WL1(X)的有界性, 可得

‖Mf1‖WL1(B(x0,r))‖f‖L1(B(x0,2r)).

(33)

再由‖f‖L1(B(x0,2r))關(guān)于r是單調(diào)不減的, 并結(jié)合式(33)可得

‖Mf1‖L1(B(x0,r))rQt-Q-1‖f‖L1(B(x0,t))dtrQt-Q-1‖f‖L1(B(x0,t))dt.

(34)

由于式(27)對p=1也成立, 因此當(dāng)x∈B(x0,r)時, 由式(27)和式(28)可得

Mf2(x)s-Q-1‖f‖L1(B(x0,s))dss-Q-1‖f‖L1(B(x0,s))ds.

(35)

于是對固定的x0和r,Mf2(x)被不依賴于x的表達(dá)式控制, 對式(35)兩端同時取L1范數(shù), 可得

‖Mf2‖L1(B(x0,r))s-Q-1‖f‖L1(B(x0,s))ds‖1‖L1(B(x0,r)).

(36)

又由式(8)可知, ‖1‖L1(B(x0,r))=(μ(B(x0,r)))1rQ, 再由式(36)可得

‖Mf2‖L1(B(x0,r))rQs-Q-1‖f‖L1(B(x0,s))ds.

(37)

綜上對Mf1和Mf2的估計(jì), 由式(34)和式(37)可得

定理2設(shè)1≤p<∞, 函數(shù)φ1(x0,t)和φ2(x0,t)滿足條件

(38)

則當(dāng)p>1時,M是從Mp,φ1(X)到Mp,φ2(X)有界的; 當(dāng)p=1時,M是從M1,φ1(X)到WM1,φ2(X)有界的.

證明: 當(dāng)1

當(dāng)p=1且f∈M1,φ1(X)時, 由式(8)、 式(22)和式(38)可得

(39)

則當(dāng)p>1時,Mα是從Mp,φ1到Mq,φ2有界的; 當(dāng)p=1時,Mα是從M1,φ1到Mq,φ2有界的.

證明: 若p∈(1,∞), 則由式(39)和式(19)可得

若p=1, 則同理由式(39)和式(20)可得

(40)

(41)

則當(dāng)p>1時,Mα是從Mp,φ1/p到Mq,φ1/q有界的; 當(dāng)p=1時,Mα是從M1,φ到WMq,φ1/q有界的.

對Mαf2及任意的y∈B(x,r), 由式(8)、 式(17)及H?lder不等式可得

因此結(jié)合式(41)和式(42)可得

若在定理3中令α=0且p=q.用條件(40)代替條件(39), 則M是從Mp,φ1/p到Mp,φ1/p有界的, 從而當(dāng)1

當(dāng)1

(45)

則Mb,α是從Mp,φ1到Mq,φ2有界的, 且

‖Mb,αf‖Mq,φ2‖b‖*‖f‖Mp,φ1.

(46)

‖Mb,αf‖Lq(B(x0,r))≤‖Mb,αf1‖Lq(B(x0,r))+‖Mb,αf2‖Lq(B(x0,r)).

(47)

由文獻(xiàn)[17]中引理1.4以及Mb,α從Lp(X)到Lq(X)的有界性可知,

‖Mb,αf1‖Lq(B(x0,r))≤‖Mb,αf1‖Lq(X)‖b‖*‖f1‖Lp(X)=‖b‖*‖f‖Lp(B(x0,r)).

(48)

又對任意的x∈B(x0,r), 可得

設(shè)x是B中任意一點(diǎn), 如果B(x,t)∩(B(x0,2C1r))C≠?, 則t>r.事實(shí)上, 如果y∈B(x,t)∩(B(x0,2C1r))C, 則

另一方面,B(x,t)∩(B(x0,2C1r))C?B(x0,2C1t).事實(shí)上, 如果y∈B(x,t)∩(B(x0,2C1r))C, 則

d(x0,y)≤C1d(x,y)+C1d(x0,x)

因此對任意的x∈B(x0,r), 由式(8)和式(49)可得

于是, 對式(50)兩邊在B(x0,r)上同取Lq范數(shù), 并結(jié)合Minkowski不等式, 可得

首先估計(jì)J1, 由H?lder不等式, 并結(jié)合式(3)和式(4), 可得

其次估計(jì)J2, 由Minkowski不等式、 H?lder不等式及式(3), 可得

綜上對J1和J2的估計(jì), 當(dāng)p∈(1,∞)時, 可得

(51)

因此由式(47)、 式(48)及式(51)可得

從而由條件(45)及式(52)可得

定理6設(shè)1

(53)

(54)

則Mb,α是從Mp,φ1/p到Mq,φ1/q有界的.

對任意的x∈B(x0,r), 下列不等式成立：

因此對任意的p∈(1,∞)和任意的x∈B(x0,r), 由H?lder不等式及式(8)、 式(3)和式(4)可得

從而由條件(54)及式(56)可得

若在定理5中令α=0且p=q, 用條件(53)代替條件(45), 則Mb從Mp,φ1/p到Mp,φ1/p有界, 再對式(58)兩邊同取Mq,φ1/q范數(shù), 并結(jié)合條件(53), 可得