一類非線性二階三點邊值問題正解的存在性與多解性

康 聰 聰

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

正解的存在性與多解性, 結果表明， 當參數b在不同取值范圍內時, 該問題至少存在兩個正解、 一個正解和無解.

1 引言與主要結果

常微分方程三點邊值問題在應用數學和物理等領域應用廣泛, 如橫截面相同而密度分段不同的支索振動及彈性穩定性理論中的許多問題等. 目前， 關于二階常微分方程三點邊值問題的研究已取得了很多結果[1-11]. 特別地, 文獻[1]研究了二階齊次三點邊值問題

(1)

正解的存在性, 其中η∈(0,1), 0<αη<1,a∈C([0,1], [0,∞))， 且存在x0∈[η,1]使得a(x0)>0,f∈C([0,∞),[0,∞))， 用錐拉伸與壓縮不動點定理得到了問題(1)至少有一個正解.文獻[2]用上下解方法和不動點定理研究了二階非齊次三點邊值問題

(2)

正解的存在性, 其中b,α>0是常數, 且假設下列條件成立：

(H1)η∈(0,1), 0<αη<1;

(H2)f: [0,∞)→[0,∞)連續， 且滿足

(H3)a: [0,1]→[0,∞)連續， 且在[η,1]的任何子區間上不恒為0.

文獻[2]得到如下結果:

定理1[2]存在一個正數b*, 使得當0b*時, 問題(2)沒有正解.

注意文獻[2]中當0

定理2假設(H1)～(H3)成立, 則存在一個正數b*， 使得當0b*時, 問題(2)沒有正解.

注1與定理1相比, 當0

2 預備知識

引理1假設αη≠1, 則對y(t)∈E, 問題

(3)

有唯一解：

(4)

證明: 首先證明問題(3)的解可由式(4)表示.事實上, 設u(t)是問題(3)的一個解， 將-u″(t)=y(t)兩邊從0到t積分, 得

(5)

對式(5)再從0到t積分, 得

(6)

將式(6)代入邊界條件

u(0)=0,u(1)-αu(η)=b

可得

即式(4)成立.

下面證明式(4)定義的函數式是問題(3)的一個解.對式(4)兩邊關于t求導, 得

u″(t)=-y(t).

即u″(t)+y(t)=0.又因為u(0)=0,

則顯然有u(1)-αu(η)=b.證畢.

u(t)≥0,t∈(0,1).

(7)

證明: 假設u(t)是問題(2)的一個解, 則v(t)=u(t)-bh(t)滿足問題

(9)

由文獻[3]中引理2.3, 得

(10)

即式(7)成立.證畢.

定義算子T:E→E,

3 上下解方法

定義1若函數x(t)∈C2[0,1]滿足

則稱x(t)是問題(2)的一個上解.

定義2若函數z(t)∈C2[0,1]滿足

則稱z(t)是問題(2)的一個下解.

設x(t),z(t)分別是問題(2)的一個上解和下解, 且滿足x(t)≥z(t),t∈[0,1], 定義

考慮問題

(12)

引理4若問題(12)存在一個解u(t), 則

z(t)≤u(t)≤x(t),t∈[0,1],

即u(t)也是問題(2)的解.

證明: 先證u(t)≤x(t), ?t∈(0,1].反設存在t0∈(0,1], 使得u(t0)>x(t0).令

c=inf{t∈[0,1]|u(t)>x(t)},

則由u(0)=0,x(0)≥0知,c>0且

u(c)=x(c).

(13)

下面分3種情形討論.

情形1) 存在d∈(c,1], 使得

u(d)=x(d),u(t)>x(t), ?t∈(c,d),

可得

因此,

由(x-u)(t)上凸可得

(x-u)(t)≥0, ?t∈(c,d),

矛盾.

情形2) 若c∈(0,η)且u(t)>x(t), ?t∈(c,1], 則

因此,

(x-u)″(t)≤-a(t)[f(x(t))-f*(u(t))]=0,t∈(c,1].

由邊界條件u(1)-αu(η)=b,x(1)-αx(η)≥b, 可得

(x-u)(1)-α(x-u)(η)≥0,

(14)

結合式(13),(14)及引理2, 即得(x-u)(t)≥0, ?t∈[c,1], 矛盾.

情形3) 若c∈[η,1)且u(t)>x(t), ?t∈(c,1], 則

因此,

(x-u)″(t)≤-a(t)[f(x(t))-f*(u(t))]=0,t∈(c,1].

(15)

由c的定義可知u(t)≤x(t),t∈[0,c].特別地,u(η)≤x(η).由u(η)≤x(η)和邊界條件

u(1)-αu(η)=b,x(1)-αx(η)≥b

可得u(1)≤x(1).結合式(13),(15), 由(x-u)(t)上凸可得(x-u)(t)≥0, ?t∈(c,1], 矛盾.

因此,u(t)≤x(t),t∈[0,1].同理可證z(t)≤u(t),t∈[0,1].所以z(t)≤u(t)≤x(t),t∈[0,1].從而f=f*, 故u(t)是問題(12)的一個解, 也是問題(2)的一個解.

引理5若問題(2)存在上解x(t)和下解z(t), 且z(t)≤x(t),t∈[0,1], 則問題(2)存在一個解u(t), 使得z(t)≤u(t)≤x(t),t∈[0,1].

證明: 由引理1知, 問題(12)等價的積分形式為

令

由f*有界可知T*有界, 則T*:E→E是全連續的.由Schauder不動點定理知,T*有一個不動點u(t), 即u(t)是問題(12)的一個解.由引理4知,u(t)也是問題(2)的一個解.

4 主要結果的證明

引理6假設(H1)～(H3)成立, 若b充分大, 則問題(2)不存在正解; 若b充分小, 則問題(2)至少有一個正解.

引理6的證明可參見文獻[2].

引理7設D為(0,∞)上的緊子集, 則當b∈D時, 問題(2)的所有解u(t)都有界.

f(u)≥ξu,u≥p,

其中ξ滿足

取n充分大使得γ‖un‖≥p, 則

令Γ={b>0|問題(2)至少存在一個正解},b*=supΓ, 由引理6知, 0

b1

由于{bn}有界, 由引理7知其對應的解{un}有界, 再結合積分算子T的緊性, 易得b*∈Γ.

設u*(t)是問題(2)對應于b*的解, 定義

令

因此,

由ε的任意性知, (u*(t)+ε)″≤-a(t)f(u*(t)+ε).

又因為u*(0)+ε≥0， 且

(u*(1)+ε)-α(u*(η)+ε)=u*(1)-αu*(η)+(1-α)ε=b*+(1-α)ε,

(u*(1)+ε)-α(u*(η)+ε)≥b.

因此u*(t)+ε為問題(2)的一個上解, 由引理5知u(t)≤u*(t)+ε.

下面證明定理2.令b∈(0,b*), 由于u*(t)和0分別是問題(2)的一個上解和下解, 根據引理5可知， 問題(2)存在一個解ub(t), 且0≤ub(t)≤u*(t).因此, 對0b*時, 問題(2)不存在正解.此外, 由引理8知, 當0

由拓撲度的切除性, 有

deg(I-T,Ω,0)=1.

另一方面, 根據引理7, 對b∈(0,b*), 問題(2)的所有正解有界, 因此

deg(I-T,B(0,M),0)=c,

其中c為常數,M足夠大,B(0,M)是E上以0為中心、M為半徑的球.由于當b>b*時問題(2)不存在正解, 則c=0.再結合拓撲度的切除性得

deg(I-T,B(0,M)Ω,0)=-1.

因此, 當0