一類帶脈沖擾動(dòng)的非線性中立型廣義彈性桿方程的振動(dòng)分析

羅李平, 曾云輝, 王艷群

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 衡陽(yáng) 421002)

0 引 言

振動(dòng)作為一種物理現(xiàn)象, 廣泛存在于自然界和工程技術(shù)等領(lǐng)域中, 如單擺的振動(dòng), 杠、 梁的振動(dòng), 建筑物和機(jī)器的振動(dòng), 飛行器的結(jié)構(gòu)振動(dòng), 控制系統(tǒng)中的自激振動(dòng), 同步加速器中波束的振動(dòng), 火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng), 化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中的復(fù)雜振動(dòng)等, 而這些現(xiàn)象都可以通過(guò)(偏)微分方程的振動(dòng)性體現(xiàn). 在非線性振動(dòng)力學(xué)中, 非線性彈性桿結(jié)構(gòu)是工程上的普通構(gòu)件之一, 廣泛應(yīng)用于交通工具、 傳動(dòng)軸系和海底電纜等領(lǐng)域. 全面了解彈性桿結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性是對(duì)這類復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)及其振動(dòng)控制的前提, 而彈性桿在數(shù)學(xué)上通過(guò)偏微分方程描述, 因此, 可通過(guò)對(duì)偏微分方程的振動(dòng)性問(wèn)題進(jìn)行分析, 從而得到對(duì)應(yīng)彈性桿結(jié)構(gòu)的振動(dòng)狀態(tài), 進(jìn)而對(duì)振動(dòng)加以適當(dāng)?shù)目刂剖怪畬?duì)人類產(chǎn)生有益的影響. 目前, 關(guān)于偏微分方程振動(dòng)性問(wèn)題的研究已取得很多成果[1-9], 但關(guān)于帶脈沖及中立項(xiàng)的廣義彈性桿方程的振動(dòng)性研究文獻(xiàn)報(bào)道較少. 本文主要討論一類帶脈沖擾動(dòng)及中立項(xiàng)的非線性廣義彈性桿方程在第三類邊界條件下解的振動(dòng)性問(wèn)題, 得到了判別其所有解振動(dòng)的不需要利用Robin特征值定理的充分性條件. 所得結(jié)果表明, 彈性桿結(jié)構(gòu)振動(dòng)是由脈沖量和時(shí)滯量引起的.

考慮如下帶脈沖擾動(dòng)及中立項(xiàng)的非線性廣義彈性桿方程：

(1)

其第三類邊界條件為

(2)

其中u=u(t,x),I∞={1,2,…,∞},+=[0,∞),Ω?n是有界區(qū)域, ?Ω逐片光滑,Δ是n中的n維Laplace算子,v表示?Ω的單位外法向量,β(x)∈C(?Ω,(0,∞)).

1 預(yù)備知識(shí)

本文總假設(shè)下列條件成立:

(H3)h(u)∈PC1(,+),uh′(u)≥0;

(H4)f(u)∈PC(,), 且對(duì)u≠0有f(u)/u≥M=常數(shù)>0;

(H5)c(t)∈PC(+,[0,1]), 且當(dāng)ti-τ≠tj,i>j時(shí),當(dāng)

1) 對(duì)固定的t(t≠tk,k∈I∞),u(t,x)關(guān)于x二次可微; 對(duì)t≠tk(k∈I∞),x∈Ω,u(t,x)關(guān)于t一次可微, 且滿足問(wèn)題(1)的第一個(gè)等式;

3) 對(duì)t≠tk(k∈I∞),x∈?Ω,u(t,x)滿足邊值條件(2).

定義2若對(duì)任意的T>0, 均存在(t0,x0)∈GT=[T,∞)×Ω, 使得等式u(t0,x0)=0成立, 則邊值問(wèn)題(1)-(2)的解u(t,x)稱為在G內(nèi)振動(dòng)的, 否則稱u(t,x)在G內(nèi)是非振動(dòng)的.

則脈沖時(shí)滯微分不等式

無(wú)最終正解.

2 主要結(jié)果

定理1若

(3)

則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解u(t,x)在區(qū)域G內(nèi)振動(dòng).

當(dāng)t≥T,t≠tk,k∈I∞時(shí), 對(duì)問(wèn)題(1)兩邊關(guān)于x在Ω上積分, 有

由Green公式、 邊值條件(2)及假設(shè)條件(H3), 有

(5)

其中dS是?Ω上的面積元素.再由假設(shè)條件(H2),(H4)有

(6)

(7)

[w(t)-c(t)w(t-τ)]′+P(t)w(t)+MQ(t)w(t-σ)≤0.

(8)

令

y(t)=w(t)-c(t)w(t-τ),

(9)

則由條件(H5)易知w(t)≥y(t),t≥T, 且由式(8)有

y′(t)+P(t)w(t)+MQ(t)w(t-σ)≤0,

(10)

y′(t)+P(t)y(t)+MQ(t)y(t-σ)≤0.

(11)

當(dāng)t≥T,t=tk,k∈I∞時(shí), 結(jié)合問(wèn)題(1)的脈沖條件及定義1中的條件2)有

1) 當(dāng)ti-τ≠tj,i>j時(shí), 有

2) 當(dāng)ti-τ=tj,i>j時(shí), 有

綜合上述兩種情形可得

(12)

y(T1)=w(T1)-c(T1)w(T1-τ)≥w(T1)(1-c(T1))≥0,

與y(T1)<0矛盾.

2) 若L≠0且有限, 則對(duì)式(10)從T到t積分, 有

綜上可知L=0.由于y(t)非增, 所以有y(t)>0,t≥T,t≠tk.因此y(t)(t≥T)是脈沖微分不等式(11),(12)的一個(gè)最終正解.但由式(3)及引理1知, 脈沖微分不等式(11),(12)無(wú)最終正解.矛盾.證畢.

利用引理2, 可得如下判別邊值問(wèn)題(1)-(2)所有解振動(dòng)的充分條件.

定理3若

(13)

(14)

(15)

(16)

又由式(11)可得

y′(t)+MQ(t)y(t-σ)≤0.

(17)

于是由式(16),(17)有

注2本文結(jié)果表明, 邊值問(wèn)題(1)-(2)的解在區(qū)域G內(nèi)振動(dòng)與脈沖量tk和時(shí)滯量σ有關(guān).

注3用本文方法可類似討論廣義彈性桿方程(1)分別滿足第一類邊界條件

u=0, (t,x)∈+×?Ω,t≠tk,k∈I∞

或第二類邊界條件

所有解的振動(dòng)結(jié)果.只需將假設(shè)條件(H3)改為:

(H3)′h(u)∈PC1(,),uh′(u)≥0,h(0)=0或(H3)″h(u)∈PC1(,),uh′(u)≥0.

綜上, 本文研究了一類帶脈沖擾動(dòng)和中立項(xiàng)的非線性廣義彈性桿方程在Robin邊界條件下解的振動(dòng)性問(wèn)題, 建立了判別其所有解振動(dòng)的不需要利用特征值定理的新的充分性條件, 所得結(jié)論表明了該類彈性桿在這種情形下的振動(dòng)狀態(tài)----始終發(fā)生振動(dòng), 同時(shí)充分體現(xiàn)了脈沖擾動(dòng)和時(shí)滯效應(yīng)對(duì)彈性桿結(jié)構(gòu)振動(dòng)性的影響.