一類三階時滯微分方程的正周期解

楊生斌, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

u?(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)), t∈

正2π-周期解的存在性, 其中: 系數函數a: →(0,+∞)連續, 關于t以2π為周期; 非線性項f: ×[0,+∞)n→[0,+∞)連續, 關于t以2π為周期; τ1,τ2,…,τn為正常數. 在允許非線性項f(t,x1,x2,…,xn)關于x1,x2,…,xn超線性或次線性增長的不等式條件下, 利用錐上的不動點指數理論給出該問題正2π-周期解的存在性結果.

0 引 言

三階時滯常微分方程周期解的存在性問題在生物數學、 經濟學、 生態學、 人口動力系統等領域應用廣泛. 在一些復雜的數學模型中, 三階多時滯常微分方程的正周期解更具有實際意義. 本文討論三階多時滯常微分方程

u?(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈

(1)

正2π-周期解的存在性, 其中: 系數函數a:→(0,+∞)連續, 關于t以2π為周期; 非線性項f:×[0,+ ∞)n→[0,+∞)連續, 關于t以2π為周期;τ1,τ2,…,τn為正常數.

目前, 關于不帶時滯的三階常微分方程周期解的存在性研究已有很多結果[1-9].文獻[2]用上下解方法, 獲得了三階周期邊值問題

解的存在性結果.文獻[5]用Schauder不動點定理, 獲得了三階周期邊值問題

(2)

u?(t)+αu″(t)+βu′(t)=f(t,u(t)),t∈[0,2π],

(3)

其中α,β是正常數, 在滿足特定的條件下, 用錐上的Krasnoselskii不動點定理獲得了方程(3)正周期解的存在性結果.文獻[9]用錐上的不動點指數理論, 獲得了完全三階常微分方程

u?(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈

正周期解的存在性結果, 其中f:×(0,+∞)×2→連續, 關于t以ω為周期.

近年來, 關于具有時滯的三階常微分方程周期解的存在性問題得到廣泛關注[10-14].文獻[10]用重合度理論研究了三階時滯微分方程

x?(t)+ax″(t)+g(x′(t-τ(t)))+f(x(t-τ(t)))=p(t),t∈

正周期解的存在性.文獻[11]用錐上的不動點指數理論, 獲得了三階時滯常微分方程

u?(t)+Mu(t)=f(t,u(t),u(t-τ)),t∈

正周期解的存在性結果, 其中:M>0;f:3→連續, 關于t以ω為周期;τ為正常數.文獻[12]在f滿足超線性或次線性增長的條件下, 用錐上的不動點指數理論, 獲得了三階時滯常微分方程

u?(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ0),u′(t-τ1),u″(t-τ2)),t∈

正周期解的存在性結果, 其中:a:→(0,+∞)連續, 關于t以ω為周期;f:×[0,+∞)×2→[0,+∞)連續, 關于t以ω為周期;τ0,τ1,τ2為正常數.若方程(1)中的非線性項滿足與文獻[12]類似的超線性或次線性增長條件時, 同樣可得到正周期解的存在性結果, 但該條件不容易驗證, 并且在上述文獻中, 非線性項f中的未知函數只含一個時滯.

本文研究三階多時滯微分方程(1)正周期解的存在性.在允許非線性項f(t,x1,x2,…,xn)關于x1,x2,…,xn超線性或次線性增長的不等式條件下, 利用錐上的不動點指數理論給出方程(1)正2π-周期解的存在性結果, 該條件對方程(1)正2π-周期解的存在性是最優的.

1 預備知識

用C2π()表示以2π為周期的全體連續函數按范數構成的Banach空間.對n∈, 用()表示以2π為周期的全體n階連續可微函數構成的Banach空間.用()表示C2π()中所有非負函數構成的錐.

為研究三階時滯微分方程(1)正周期解的存在性, 先討論對應的線性方程

u?(t)+a(t)u(t)=h(t),t∈

(4)

周期解的存在唯一性, 其中h∈C2π().令

(5)

則0

u?(t)+Mu(t)=h(t),t∈.

(6)

存在唯一解Φ(t), 且Φ(t)>0,t∈.

關于常系數微分方程(6)的周期問題, 有如下存在唯一性結果:

(7)

且解算子P:C2π()→C2π()是一個全連續線性算子.

Ph(t)≥σ‖Ph‖C,t∈,(),

其中

對變系數線性方程(4), 本文假設系數a(t)滿足下列條件:

(H0)a∈C2π(), 且

文獻[12]在此基礎上, 應用正算子擾動的方法獲得了線性方程(4)周期問題的存在唯一性結果:

引理2[12]設a滿足(H0), 則對?h∈C2π(), 線性方程(4)有唯一的2π-周期解u∶=Sh.此外,S:C2π()→C2π()是一個全連續線性算子, 且當()時, 有

Sh(t)≥σ‖Sh‖C,t∈.

下面考慮非線性方程(1)的正2π-周期解問題.設f:×[0,+∞)n→[0,+∞)連續, 且關于t以2π為周期.(), 令

F(u)(t)∶=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈,

(8)

(9)

定義算子

A∶=S°F,

(10)

則由S的全連續性及強正性知,A:K→K全連續.由S的定義, 方程(1)的正2π-周期解等價于A的非零不動點.本文用錐上的不動點指數理論尋找A的非零不動點.

μAu≠u,μ∈(0,1],u∈k∩?Ω,

則i(A,K∩Ω,K)=1.

u-Au≠τe,τ≥0,u∈k∩?Ω,

則i(A,K∩Ω,K)=0.

2 主要結果

假設:

f(t,x1,x2,…,xn)≤c1x1+c2x2+…+cnxn,t∈,xi∈[0,δ],i=1,2,…,n;

(11)

f(t,x1,x2,…,xn)≥d1x1+d2x2+…+dnxn,t∈,xi≥H,i=1,2,…,n.

(12)

定理1設a滿足假設(H0),f:×[0,+∞)n→[0,+∞)連續, 且關于t以2π為周期.若f滿足假設條件(H1)和(H2), 則方程(1)至少存在一個正2π-周期解.

證明: 取E=C2π().設()是式(9)定義的E中閉凸錐,A是式(10)定義的全連續算子, 則方程(1)的正2π-周期解等價于算子A在錐K中的非零不動點.取0

Ω1={u∈C2π()|‖u‖C

(13)

(14)

由于u0∈K∩?Ω1, 因此根據錐K和Ω1的定義, 有

0≤u0(t-τk)≤‖u0‖C=r<δ,t∈,k=1,2,…,n.

(15)

由式(11), 有

f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn))≤c1u0(t-τ1)+…+cnu0(t-τn),t∈.

(16)

由式(14),(16), 有

(17)

對不等式(17)在[0,2π]上積分, 并結合u0的2π-周期性, 有

從而有

(18)

i(A,K∩Ω1,K)=1.

(19)

(20)

由u1∈K∩?Ω2, 根據錐K及Ω2的定義, 有

u1(t-τk)≥σ‖u1‖C=σR>H,t∈,k=1,2,…,n.

(21)

由式(12), 有

f(t,u1(t-τ1),…,u1(t-τn))≥d1u1(t-τ1)+…+dnu1(t-τn),t∈.

(22)

由式(20),(22), 有

(23)

對不等式(23)在[0,2π]上積分, 并結合u1的2π-周期性, 有

從而有

(24)

i(A,K∩Ω2,K)=0.

(25)

由式(19),(25)及不動點指數的區域可加性, 有

假設：

f(t,x1,x2,…,xn)≥d1x1+d2x2+…+dnxn,t∈,xi∈[0,δ],i=1,2,…,n;

(26)

f(t,x1,x2,…,xn)≤c1x1+c2x2+…+cnxn,t∈,xi≥H,i=1,2,…,n.

(27)

定理2設a滿足假設(H0),f:×[0,+∞)n→[0,+∞)連續, 且關于t以2π為周期.若f滿足假設條件(H3)和(H4), 則方程(1)至少存在一個正 2π-周期解.

證明: 設Ω1,Ω2?C2π()如式(13)所定義,A是式(10)定義的全連續算子.下證當r充分小、R充分大時, 算子A在中有不動點.

(28)

由u0∈K∩?Ω1, 根據錐K及Ω1的定義,u0滿足式(15).由式(26), 有

f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn))≥d1u0(t-τ1)+…+dnu0(t-τn),t∈.

(29)

由式(28),(29), 有

(30)

對不等式(30)在[0,2π]上積分, 并結合u0的2π-周期性, 有

從而有

(31)

i(A,K∩Ω1,K)=0.

(32)

(33)

由u1∈K∩?Ω2, 根據錐K及Ω2的定義,u1滿足式(21).由式(27), 有

f(t,u1(t-τ1),…,u1(t-τn))≤c1u1(t-τ1)+…+cnu1(t-τn),t∈.

(34)

由式(33),(34), 有

(35)

對不等式(35)在[0,2π]上積分, 并結合u1的2π-周期性, 有

從而有

(36)

i(A,K∩Ω2,K)=1.

(37)

由式(32),(37)及不動點指數的區域可加性, 有

例1考慮三階多時滯微分方程

從而f滿足條件(H1).

從而f滿足條件(H2), 因此由定理1知, 方程(38)至少有一個正2π-周期解.

例2考慮三階多時滯微分方程

從而f滿足條件(H3).

從而f滿足條件(H4).因此由定理2知, 方程(39)至少有一個正2π-周期解.