隨機(jī)微分方程依分布周期解的有限元近似

楊 雪, 胡慶婉, 周錦慧

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012; 2. 曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 曲靖 655011)

0 引 言

事物運(yùn)動(dòng)的周期性是自然界中常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)之一, 如四季的氣候變化、 天體的運(yùn)動(dòng)等. 隨機(jī)因素的影響通常不可避免, 這些運(yùn)動(dòng)規(guī)律均可用隨機(jī)微分方程刻畫(huà), 因此， 研究隨機(jī)微分方程的周期解及其計(jì)算方法有一定的應(yīng)用價(jià)值. Zhao等[1]首次給出了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)周期解的定義； Feng等[2]證明了依路徑隨機(jī)周期解的存在性； Chen等[3]從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度定義了解的隨機(jī)周期性, 即通過(guò)隨機(jī)過(guò)程分布函數(shù)的周期性描述隨機(jī)周期解的存在性； Jiang等[4]進(jìn)一步研究了隨機(jī)牛頓系統(tǒng)中依分布隨機(jī)周期解的存在性.

由于Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性導(dǎo)致大部分隨機(jī)微分方程很難求出解析解, 且隨機(jī)微分方程解的密度函數(shù)滿足Fokker-Planck方程[5-7]. Fokker-Planck方程描述了It型隨機(jī)微分方程的解過(guò)程在給定初始狀態(tài)下的密度函數(shù)隨時(shí)間的演化過(guò)程, 在物理和工程動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛. Chen等[3]研究了具有時(shí)間周期性的擴(kuò)散系數(shù)和漂移系數(shù)的Fokker-Planck方程周期解的存在性, 證明了當(dāng)隨機(jī)微分方程依分布隨機(jī)周期解存在時(shí), 相應(yīng)的Fokker-Planck方程存在周期解. 因此， 可通過(guò)求解Fokker-Planck方程獲得隨機(jī)周期解的密度函數(shù)， 進(jìn)而研究隨機(jī)微分方程周期解的統(tǒng)計(jì)性質(zhì). 當(dāng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的噪聲為Brown運(yùn)動(dòng)時(shí), Fokker-Planck方程是一個(gè)拋物型偏微分方程, 一般該方程僅在某些特殊情形下能得到解析解[8]. 但在大多數(shù)情形下, 只能用數(shù)值方法進(jìn)行求解. 常用的數(shù)值方法包括差分法[9-10]和有限元法[11-12], 而求解系數(shù)與時(shí)間相關(guān)的Fokker-Planck方程更困難. 本文給出一種用有限元法求解Fokker-Planck方程周期解的方法， 并證明Fokker-Planck方程在上的有限元半離散解關(guān)于空間積分的守恒性, 以及在有限區(qū)間上的有限元半離散解關(guān)于空間積分的近似守恒性, 并用兩個(gè)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證該方法的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮一維隨機(jī)微分方程

(1)

其中X0是隨機(jī)變量,W是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),b,B:×[0,∞)→分別是漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù).假設(shè)下列條件成立：

(H1)b和B都是連續(xù)函數(shù), 且關(guān)于時(shí)間以T為周期;

(H2)b和B是連續(xù)可微的函數(shù), 且存在常數(shù)L>0, 使得

max{|b|,|B|,|bx|,|Bx|,|Bxx|}≤L;

(H3) 存在常數(shù)γ>0, 使得?x∈,t∈[0,T], 有B2(x,t)≥γ.

定義1[3]假設(shè)(H1)成立,X(t)是方程(1)的一個(gè)解, 且X(t)滿足下列條件：

1)X(t)與X(t+T)具有相同分布;

則稱(chēng)X(t)為方程(1)的一個(gè)依分布隨機(jī)周期解.

根據(jù)定義1, 可將研究隨機(jī)微分方程的周期解轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯科浣膺^(guò)程密度函數(shù)的周期性.假設(shè)方程(1)的解過(guò)程X(t)的概率密度函數(shù)p(x,t)存在且光滑, 則p(x,t)滿足Fokker-Planck方程:

(2)

文獻(xiàn)[13]證明了方程(2)解的存在性, 并得到了若方程(2)的初值滿足

則存在常數(shù)C,ρ>0, 使得對(duì)任意的t∈[0,T], 有如下指數(shù)衰減性估計(jì):

(3)

在假設(shè)(H1)和(H2)成立且具有Lyapunov穩(wěn)定性的條件下, 文獻(xiàn)[3]證明了方程(1)存在唯一的以T為周期的一致漸近穩(wěn)定的依分布隨機(jī)周期解, 且相應(yīng)的Fokker-Planck方程(2)存在以T為周期的周期解.

性質(zhì)1[8]假設(shè)(H2)成立, 則Fokker-Planck方程(2)的解在實(shí)數(shù)空間上積分守恒, 且

2 Fokker-Planck方程周期解的有限元近似

2.1 有限元近似

由于Fokker-Planck方程(2)定義在整個(gè)實(shí)數(shù)空間上, 無(wú)法直接用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算, 因此需將其截?cái)嗟接邢迏^(qū)間G=[-α,α]上, 根據(jù)密度函數(shù)的陡降性, 本文引進(jìn)零邊值條件, 先得到有限區(qū)間上的初邊值問(wèn)題, 再求解該方程的時(shí)間周期解.考慮如下初邊值問(wèn)題：

(4)

(5)

xj=-α+jh(j=-n,-n+1,…,n).

(6)

(7)

在式(6)中取vh=φj, 則式(7)中的系數(shù)函數(shù)ui(t)滿足常微分方程：

(8)

此時(shí)N1=-n+1,N2=n-1.

(9)

其中:j=-n+1,-n+2,…,n-1;k=0,1,…,m-1.

根據(jù)文獻(xiàn)[14]和假設(shè)(H3), 可得如下有限元半離散解在L2范數(shù)下的誤差估計(jì)：

則對(duì)任意的t∈[0,T], 半離散問(wèn)題(6)的解ph(x,t)滿足

‖ph(x,t)-p(x,t)‖≤Ch2.

2.2 數(shù)值解的近似守恒性

定理2假設(shè)(H2),(H3)成立, 則Fokker-Planck方程(2)在空間上的有限元半離散解關(guān)于空間積分守恒, 即對(duì)?t∈[0,T], 有

其中K(h)>0是依賴(lài)于h的常數(shù).

將式(8)中第一個(gè)等式左右兩端關(guān)于j求和, 可得

經(jīng)計(jì)算可得

(φi-1,φi)+(φi,φi)+(φi+1,φi)=h,

(11)

a(φi,φi-1)+a(φi,φi)+a(φi,φi+1)=0.

(12)

由式(3)以及b(x,t),B(x,t)滿足假設(shè)(H2)可知a(φi,φj)有界, 故有

從而式(10)左右兩端無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 因此求和可換序， 進(jìn)而有

證畢.

定理3假設(shè)(H2),(H3)成立, 則Fokker-Planck方程(2)在有限區(qū)間G上的有限元半離散解關(guān)于空間積分近似守恒, 即對(duì)?t∈[0,T], 有

其中C>0為常數(shù).

由

(13)

以及式(11)和式(12), 將式(8)中第一個(gè)等式左右兩端關(guān)于j求和， 可得

由式(3)以及b(x,t),B(x,t)滿足假設(shè)條件(H2), 可得

其中C>0為常數(shù).故

證畢.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1求解方程

dX=-X(sin2t+1)dt+0.1(cost+2)dW.

(14)

顯然,b(x,t)=-x(sin2t+1)是關(guān)于時(shí)間t以π為周期的函數(shù),B(x,t)=0.1(cost+2)是關(guān)于時(shí)間t以2π為周期的函數(shù), 并且滿足假設(shè)條件(H2)和(H3)以及Lyapunov穩(wěn)定性條件[3], 所以隨機(jī)微分方程(14)存在唯一的以2π為周期的依分布隨機(jī)周期解.方程(14)解過(guò)程密度函數(shù)滿足的Fokker-Planck方程為

pt(x,t)=0.005(cost+2)2pxx(x,t)+x(sin2t+1)px(x,t)+(sin2t+1)p(x,t).

(15)

令α=1,N=96,m=15 000, 對(duì)方程(15)在時(shí)間上采用向前差分格式, 空間上采用有限元離散.為方便觀測(cè)解的周期性， 給出方程(15)在兩個(gè)周期內(nèi)的數(shù)值解, 如圖1所示.在空間上固定一點(diǎn)x=0, 觀察方程(15)數(shù)值解p(0,t)的周期變化情況, 結(jié)果如圖2所示.

圖1 方程(15)在[-1,1]×[0,4π]上的p(x,t)

圖2 方程(15)在[0,4π]上的p(0,t)

在log-log尺度上畫(huà)出誤差收斂階, 結(jié)果如圖3所示.由圖3可見(jiàn)， 其收斂階為2.

圖3 方程(15)的L2誤差收斂階

表1 方程(15)的p(x,t)與p(x,0)關(guān)于空間積分的差

例2求解非線性方程

(16)

令α=1,N=96,m=20 000, 對(duì)方程(17)在時(shí)間上采用向前差分格式, 空間上采用有限元離散.給出方程(17)在兩個(gè)周期內(nèi)的數(shù)值解, 如圖4所示.在空間上固定一點(diǎn)x=0, 觀察方程(17)數(shù)值解p(0,t)的周期變化情況, 結(jié)果如圖5所示.圖6為有限元法求解方程(17)關(guān)于空間變量x的L2誤差收斂階.由圖6可見(jiàn)， 其收斂階為2.

圖4 方程(17)在[-1,1]×[0,4π]上的p(x,t)

圖5 方程(17)在[0,4π]上的p(0,t)

圖6 方程(17)的L2誤差收斂階

計(jì)算部分時(shí)間節(jié)點(diǎn)處Z的值, 結(jié)果列于表2.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了定理3的近似守恒性.

表2 方程(17)的p(x,t)與p(x,0)關(guān)于空間積分的差