小學數學起點型核心知識長程教學的內涵、價值與路徑*

魏光明

站在立德樹人的高度來看小學數學教育，我們應該堅持兒童立場，深度挖掘并充分發揮數學學科知識的育人價值，讓學生通過數學知識的學習獲得數學核心素養的提升，實現智力水平、學習情感和價值觀念等協同發展。在全面落實“雙減”政策的大背景下，小學數學教學要實現減負提質，促進每一個學生可持續、高質量地發展，科學遴選并長程教學數學核心知識，特別是起點型核心知識，就具有重要的現實意義，有利于促進數學核心素養在課堂教學中有效落地，真正實現學科育人的長遠目標。

一、起點型核心知識長程教學的內涵分析

數學教學要有全局觀、整體觀，提倡瞻前顧后，實施長程教學。要對起點型核心知識實施長程教學，首先需弄清楚以下三個基本問題。

其一，什么是起點型核心知識？我們知道，數學知識之間普遍存在著邏輯聯系，借助這種邏輯聯系，可以實現從知識點到知識鏈再到知識體系的不斷生長和擴展。在縱橫聯結的知識體系中，有一些適用范圍廣、自我生長和遷移能力強、不可或缺、處于基礎和中心地位、具有關鍵性、結構性、統攝性和生發性的知識，這些知識就是數學核心知識。由于知識不斷生長，知識體系不斷進階，必然會存在一些相對意義上的起點型知識。其中，處于某個知識領域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置、具有“種子”作用的核心知識，就可以稱為起點型核心知識。起點型核心知識具有根基性、原點性和生長性，是眾多知識中的干細胞，是知識生長的起點，是搭建知識框架的承重柱，是支撐知識體系的根基。起點型核心知識一般指向數學基本思想、基本方法、基本概念、基本原理、基本關系等內容初次集中教學的節點。起點型核心知識既可以按照其具有的特點進行判斷，也可以采用抽象度分析法進行遴選。

其二，什么是長程教學？眾所周知，教學是教師把知識、技能、方法等傳授給學生的過程，這一過程是緩慢的、不斷進階的，反映在學生身上，就是持續建構的過程。教學時，我們不能孤立地看問題，將眼光局限于某一課時范圍內的特定知識，人為割裂所教知識與現實生活、其他知識或問題解決之間的聯系，而應立足知識整體，聯系現實生活，設計并實施長程教學。本文所指的長程教學，是根據知識之間的邏輯聯系以及不同階段學生的年齡特點、認知規律和思維水平，著眼一個長線的教學過程，可以是一個單元或幾個單元，可以是一個領域或幾個領域，也可以是一個學段或幾個學段，對特定教學內容進行進階性的系統設計，再根據階段教學要求來分步實施。

其三，什么是起點型核心知識的長程教學？從一定意義上說，就是要求教師能夠依據數學課程標準，在整體把握數學課程內容和學情的基礎上，梳理所要教學的起點型核心知識的來龍去脈，在縱向上弄清這一知識在不同單元、不同年級、不同學段的呈現形態，理順過去、現在與將來的關系；在橫向上弄清這一知識與其他知識的內在關聯，打通不同知識之間的“隔離墻”，引導學生整體感知、整體建構、遷移應用，逐步從單點走向結構，提高知識的活力。

二、起點型核心知識長程教學的價值追問

每一門學科都具有獨特的育人價值，整合所有學科的育人功能，就能有效落實立德樹人的根本任務。就小學數學學科而言，實現學科育人目標應該堅持以數學核心素養為導向，培育數學核心素養應該以數學核心知識為載體，教學數學核心知識應該先從起點型核心知識著手。簡言之，我們應該以培育數學核心素養為目標，從起點型核心知識開始實施長程教學。

一方面，起點型核心知識的內涵豐富，在它的表層數學符號概念背后，大多蘊含著漫長的誕生歷史、復雜的產生背景、多樣的數學模型、基本的認知圖式、常規的思維方式、一般的學習路徑和重要的思想方法。這些在教材中沒有用圖片或文字明確呈現出來的隱性成分，往往比顯性的概念符號具有更為重要的育人價值，有利于學生產生濃厚的數學學習興趣，感受廣泛的應用價值，培養積極的數學情感，確立正確的數學觀念，發展理性的數學思維。

另一方面，起點型核心知識自身具有的根基意義、生發價值和遷移功能，以及與其他相關知識在內容形式上的相似性、數學本質上的同一性、內在邏輯上的連貫性、認知圖式上的遷移性、學習路徑上的進階性、思想方法上的一致性、核心素養上的連續性，決定了它們在學生進行知識學習和知識體系建構過程中發揮著極其重要的作用。

從上述意義上說，我們應該將起點型核心知識置于整體知識體系之中，按照知識發生、發展的脈絡進行整體審視、解讀和分析，在此基礎上，匹配學生現有的認知水平，遵循數學學科的學習規律，科學擬訂細化的學習目標，確定進階的學習路徑，設計長線的學習活動，切實解決當下數學教學存在的各說各理、前后割裂等問題。具體教學時，我們應該重視引導學生積極參與、深度卷入長線的學習活動，經歷創生學習、探究學習和遷移學習的過程，不斷積累發現、建構、理解和應用起點型核心知識的經驗，學會長時間思考和結構化思考，學會獨立解決問題和提出新問題，逐步發展和完善數學核心素養，落實數學學科育人目標。

三、起點型核心知識長程教學的一般路徑

對起點型核心知識實施長程教學，還需明晰起點型核心知識在整個知識體系至少是單元知識體系中處于什么位置，它從哪里來，又將往哪里去，它與相關聯的知識在數學本質、認知圖式、思維方式、思想方法、核心素養等方面存在怎樣的一致性，學生在學習時一般沿著怎樣的學習路徑，教師應該選擇怎樣的教學策略來支持學生建構新知、遷移學習和有聯系地思考。限于文章篇幅，這里僅從以下三個方面談談起點型核心知識長程教學的常規路徑。

1.著眼育人，體現核心素養的連續性

數學核心素養體現數學的本質，是數學學科育人目標的具體化。數學核心素養是學生在學習數學和應用數學的過程中逐漸形成的，是一種相對穩定的心智結構和思維方式，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界等三個方面。起點型核心知識的長程教學，應將與所教具體知識相關的數學核心素養貫穿始終，并且不斷進階。

比如，“5以內數的認識”是一個起點型核心知識。現在幾乎所有幼兒園的小朋友都能流利地唱數10以內的數，那么，進入一年級以后，學生再次學習“5以內數的認識”的價值究竟在哪里呢？這就需要我們跳出知識本位，堅持素養導向，為培育一年級學生的數學核心素養開個好頭，定個方向。以“1”的認識為例進行說明，首先，呈現1個蘋果、1個梨、1個桃，讓學生依次說一說這是什么，再引導學生比較它們的個數，并鼓勵學生用“○”“□”“△”等圖形來表示；接著，引導學生比較幾種圖形的數量，引出自然數“1”。這里從實物或實物圖到圖形再到數“1”，目的在于引導學生學習兩級數學抽象，學習用數學的眼光觀察現實世界：第一級抽象是去除所有實物的物理背景，只保留實物的數量屬性，即都是“1個”，實現從感性具體到感性一般；第二級抽象是去除具體的量，只保留抽象的數的形式，揭示第一個數概念“1”，實現從感性一般到理性具體。

這樣大費周折地教學，旨在引導學生參與數學抽象的過程，學習、感悟和了解數學抽象的一般方法，以便于在后續學習中發揮積極的作用。從5以內數的認識開始，到10以內數的認識、20以內數的認識、100以內數的認識、萬以內數的認識……再到分數的認識、小數的認識，然后到用字母表示數，在這樣一個長線的過程中，學生就會慢慢形成并逐漸增強符號意識。沿著這樣的路徑，到初中再學習式的認識等知識時，學生就會逐步形成并發展抽象意識。到了高中階段，結合相關知識的學習，學生就會逐步形成數學抽象能力。從符號意識到抽象意識再到抽象能力，反映了長程教學中學生數學抽象素養不斷進階的層級。當然，不同類型的知識對應的數學核心素養有所側重，教學時需要科學地分析，有針對性地培育。

2.整體把握，凸顯知識本質的同一性

數學是一門研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的學科，數學知識的本質是對現實世界的數量關系、空間形式、變化規律、結構模式等的抽象描述，可以用于解釋現實世界的現象，解決現實世界的問題。起點型核心知識的長程教學應該深度挖掘、完整理解其本質，利用和保持其與相關知識在知識本質上的一致性，用同一個“理”貫穿一個知識單元、一個知識序列、一個知識領域，甚至更大的范圍。

比如，“可能性”是一個起點型核心知識。教材中的摸球游戲，帶給學生的更多是覺得好玩，并印證他們對簡單事件發生的可能性的直覺判斷。但是，如果從知識體系和集合理論的角度來看，“可能性”背后隱藏著一個數學大概念——“概率”，其本質是對簡單隨機事件發生可能性大小的度量。就小學階段學習“可能性”首先遇到的古典概型而言，簡單隨機事件的可能結果是有限的，且每個結果發生的可能性是相等的。弄清楚這些，與“可能性”相關的內容教學就會更加連貫。我們可以這樣教學“可能性”：首先給2個紅球編號，引導學生說出并記錄所有可能摸出的結果，即1號紅球、2號紅球；接著將2個紅球放入袋中，讓學生隨機摸球，摸后放回打亂，記錄多次摸球結果；再引導學生觀察、比較，得出“摸出的要么是1號紅球，要么是2號紅球”的結論，從而認識“摸出的一定是紅球”“摸出的不可能是黃球”這兩種確定性事件；然后，將2個紅球替換為1個紅球和1個黃球，重復上述操作，引導學生認識“摸出的可能是紅球”這一不確定性事件。

這樣教學，旨在引導學生感悟和理解運用確定性的數學語言來表達不確定性的隨機現象，學會有根有據地討論隨機事件，為后續包括中學階段學習概率知識預留寬敞的通道。就拿列出所有可能的結果這一點來說，將來就可以據此進行比較，討論簡單隨機事件發生的可能性（概率）的大小；對接集合理論下樣本點和樣本空間等概念；運用隨機事件發生的頻率來估計概率和推斷樣本點；計算簡單隨機事件發生的概率（包括最簡單的用分數或百分數來表示）；理解必然事件發生的概率為1，也就是100%，不可能事件發生的概率為0，隨機事件發生的概率在0～1或0～100%之間。事實上，所有的起點型核心知識教學都應該立足長程視野，借助知識本質的同一性打通知識教學的“堵點”，讓教師教得順暢，學生學得通透，體會到許多知識講的是一回事，用的是一個理。

3.發展思維，利用認知圖式的遷移性

皮亞杰認為：發展是個體在與環境不斷地相互作用中的一種建構過程，圖式是被構造出來的，是人們為了應付某一特定情境而產生的認知結構，是人們表征、組織和解釋經驗的一些思維和動作模式或心理結構。認知圖式具有很強的吸附、解釋和遷移功能。起點型核心知識的長程教學，應該借助學生在起點型核心知識學習時形成的基本認知圖式，通過同化和順應，經由自身調整或自身調節，持續建構和理解新知識，擴充和完善認知結構，識別和解決相似或相近的實際問題。

比如，“認識厘米”是一個起點型核心知識。學生在學習“認識厘米”時，一般會經歷這樣的過程：一是觀察兩條長短明顯不一的線段，知道線段是有長有短的；二是采用重疊等方法直接比較兩條線段的長短，并提出“兩條線段的長度究竟相差多少”的問題；三是分別用非標準單位去測量線段的長度，發現測量得出的結果不同，產生統一測量單位的需求，感受統一測量單位的必要性；四是由數學史引出統一的長度單位，揭示學生正式認識的第一個通用標準長度單位“厘米”，通過反復操作和比較，建立“1厘米”的表象；五是用“1厘米”連續測量線段的長度，初步感悟和認識測量的本質是單位的重復和累加；六是將多個標準單位“1厘米”依次連接，創造出測量工具直尺，知道直尺與單位的關系，并用直尺正確測量線段的長度；七是從不同刻度出發，用直尺靈活測量指定線段的長度。在這一過程中，學生不僅認識了第一個長度單位“厘米”，建立了1厘米和幾厘米的表象，理解了長度測量的本質，更重要的是，伴隨著這一過程，學生同步建構了關于測量的一般認知圖式。

這樣教學，旨在引導學生著重學習“認識厘米”的方法、程序和結構，并能夠將獲得的學習經驗遷移到其他測量知識的學習中去，逐漸形成相對穩定、前后關聯、具有生長活力的認知圖式。整體審視“測量”板塊，無論是長度還是面積、體積，或者是角的測量，本質上都是對與其相對應的某種測量單位的重復與累加，不同的只是研究對象從一維空間變成二維空間再變成三維空間。清晰地建構“認識厘米”獲得的認知圖式之后，借助認知遷移，可以更加有效、快速地學習其他有關測量的知識。

綜上所述，教師要以起點型核心知識的發生、發展為生長線索，匹配學生的認知能力和思維水平，科學設計學習路徑，實施長程教學，從而引導和支持學生深度卷入學習，學會數學思考，提高數學關鍵能力，形成數學核心素養，最終實現人的心智、情感、信念等的完整發展。