基于共軛曲線的羅茨泵轉子漸開線型線設計

薛海燕，陸祖鑫，杜海寧

（甘肅彥皓工程技術有限公司，蘭州 730000）

0 引言

羅茨真空泵是一種在真空行業廣泛應用的容積式抽空泵，其一對轉子相向轉動以實現抽氣，因此轉子作為核心部件是決定羅茨泵性能的重要因素之一。目前，針對型線的設計研究較多，有的專注于轉子新輪廓探索；有的專注于幾何設計與分析；有的專注于新的設計方法等。當前，市場上的羅茨泵轉子型線主要有圓弧、漸開線、擺線等多種型線，或彼此間組合型線[1-5]。現階段羅茨泵轉子型線的設計主要采用幾何分析的方法，尤其是對于漸開線轉子型線的分析求解[6-10]，設計分析過程復雜。羅茨泵轉子型線為中心對稱和軸對稱曲線，轉子運行過程中兩型線始終保持連續相切接觸。因此可將轉子型線視為一對相向轉動的共軛曲線，并運用共軛曲線的特性求解羅茨泵轉子的型線[11-12]。依據羅茨泵轉子型線的特點，建立轉子1/8的漸開線和頂部圓弧，然后求解已知1/8型線的共軛曲線，最后，根據對稱性設計獲得整個羅茨泵漸開線轉子型線。

1 轉子漸開線分析

首先，羅茨泵漸開線型轉子型線有2個獨立可變參數，一般為節圓半徑為R1及壓力角αmin；據此，在△FDO中，漸開線基圓的半徑OD=R0=R1cos αmin，此時節圓的方程為

圖1 羅茨泵轉子型線

1.1 漸開線設計

圖2 漸開線型線分析圖

圖3 漸開線方程求解

過點M作基圓的切線，切點為I，連接OI，則在△MIO中OM長度的計算公式為

直線MI與節圓相交于點J，MI是漸開線發生線，也是其法線，因此M點逆時針旋轉φ時與其共軛曲線相切，φ=αmin-ψ-∠FOG，由前面分析可知∠FOG=αmin-π/4，因此可得

據此，由式（2）～式（5）就可以確定羅茨泵轉子漸開線的范圍及其方程。

式中，自變量γ角度取值范圍為（αmin，π/2）。

由式（7）和式（8）便可確定羅茨泵漸開線轉子型線的1/8部分，然后由共軛曲線特性求解出其對應的1/8轉子型線，便可根據轉子型線的對稱性獲得整個轉子型線。

1.2 共軛曲線部分

共軛曲線可以描述為給定運動規律的一對光滑曲線在運動過程中沿給定接觸方法始終保持連續相切接觸[11]。對于給定的運動過程中的兩條共軛曲線，滿足如下條件：1）曲線是光滑的規則曲線；2）在每一時刻，曲線作點接觸，即沿著接觸點相切；3）兩條曲線在一個周期內，均在唯一的時刻進入接觸；4）兩條曲線互為共軛曲線。

如圖4所示，建立共軛曲線的3個坐標系，分別為x1O1y1、x2O2y2、xOy，簡稱坐標系S1、S2和S。平面中任意點M在3個坐標系中的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），其中S1與S2為動坐標系，S1與轉子1固定，S2與轉子2固定，S為固定坐標系。各坐標系之間的變換關系分析如下[11-12]。

圖4 共軛曲線中的3個坐標系

假設某一時刻，羅茨泵2個轉子旋轉至圖5所示位置，其中轉子1逆時針旋轉，轉子2順時針旋轉，此時坐標系S與S1之間的關系可以表示為：

圖5 共軛曲線中坐標系的變換

式中：φ1為坐標系S1在某一時刻旋轉的角度；d1為O點至O1點的距離。

同理求得坐標系S與S2之間的變化關系：

式中：φ2為坐標系S2在某一時刻旋轉的角度；d2為O點至O2點的距離。

由式（9）和式（10）可知坐標系S1到S2的關系為：

式中：d為坐標系S1和S2原點間的距離。對于羅茨泵，2個轉子相向轉動，尺寸大小一致、轉速相同，因此方程中φ1=φ2，式（11）可簡化為：

綜上，羅茨泵漸開線型線的設計流程如圖6所示。

圖6 羅茨泵漸開線轉子型線設計流程

2 漸開線型線設計

按照上述分析步驟，假設某型羅茨泵轉子節圓半徑為R1=80mm，壓力角αmin=3π/10，則漸開線、共軛曲線、頂部和腰部的銷齒圓弧方程如下。

1）轉子型線漸開線部分方程為：

式中，自變量α角度取值范圍為（0.942，1.138）。

2）共軛曲線部分。共軛曲線部分由式（12）確定，其自變量φ的由式（6）確定。共軛曲線位于坐標系S2中，需要將其移動至坐標S1中，并瞬時針旋轉π/2。

3）頂部銷齒圓弧部分方程為：

式中，自變量γ角度取值范圍為（0.942，1.571）。

4）腰部銷齒圓弧部分方程為：

式中，自變量γ角度取值范圍為（2.199，3.142）。

根據式（12）～式（15）求解獲得1/4羅茨泵轉子曲線，如圖7所示。將其沿x軸和y軸分別作對稱圖形，得到羅茨泵轉子漸開線型線，如圖8所示。

圖7 1/4漸開線轉子型線

圖8 漸開線轉子設計型線

3 結論

綜上根據漸開線和共軛曲線特性分析求解羅茨泵轉子型線過程可獲得以下結論：1）羅茨泵轉子漸開線型線的設計可分為漸開線設計、共軛曲線設計及頂部和腰部圓弧設計3個部分；2）漸開線部分的設計中主要確定漸開線的發生線及其旋轉角，同時發生線又為漸開線的法線，其與節圓的交點旋轉至兩節圓相切點時，該點進入嚙合；3）共軛曲線法設計過程中建立3個坐標系及其轉換關系，其中兩個動坐標系S1和S2與轉子固定且旋轉，固定坐標系S位于兩個轉子中間。