聚焦學科素養 凸顯“三性”教學 指向深度學習
——有感于浙江省2021年中小學正高級評審之“弧度制”說課環節

馮 斌, 劉次律

(1.寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315000；2.夢麟中學，浙江 余姚 315400)

“說課”是促進教師專業水平提升的重要途徑，被廣泛用于各級評優活動、教師職稱評審環節.“弧度制”是高中數學公認的“難教、難學”的內容之一.本文根據浙江省2021年中小學正高級評審之說課環節的“弧度制”說課內容，在新課程、新教材“雙新”背景下，結合平時的教學調研基礎上加以提煉的成果.在此談談筆者的體會與感悟，以拋磚引玉.

1 對“說課”的認識

“說課”顧名思義，對象是“課”，方式是“說”，是在備課的基礎上，面對同行或專家領導，在規定的時間內，針對具體課題，根據課程標準、教學理論、學生學情等，采用講述為主的方式，闡述自己的教學設計及理論依據.“說課”不僅要說清“為什么學”“學什么”“怎么學”,還要說清“為什么這么學”“學得怎樣”.說課的基本內容有：說教材內容、說學習目標、說學情、說學法、說教學過程、說目標檢測、說教學反思等，其中“說教學過程”是務實部分，其他為務虛部分，務虛與務實的時間一般按“三七”或“二八”分配.

2 對“弧度制”一課的教學思考

2.1 “弧度制”一課的育人價值

本節課是人教A版新教材普通高中教科書《數學(必修1)》第五章中“任意角與弧度制”的第二課時，內容包括：“1弧度”的定義、弧度與角度的互化、弧度制下的弧長公式與扇形面積公式.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對此內容的要求是：了解弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性[1].本節課的重點是：弧度制含義的理解、弧度與角度的互化.弧度制不僅豐富了角的度量方法，還是學習三角函數的預備知識，也為高等數學微積分的研究奠定了基礎.弧度制的本質是用線段長度度量角的大小，弧度制下角的集合與實數集合建立了一一對應關系，為數學研究帶來優越性和更廣泛的應用性.本節課蘊涵著豐富的數學教學方法，如類比、特殊到一般、數形結合等，是提升學生數學抽象、數學運算、邏輯推理素養的良好載體.

2.2 “弧度制”一課的教學問題診斷分析

學生對本節課的認知基礎主要有：

1)關于度量制度，學生在初中階段學過兩類，即十進制和六十進制，積累了如度量長度、質量的經驗，初步認識到不同的度量制度能給解決問題帶來方便.

2)對角的度量，學生在初中階段學習了角度制、角度制下的弧長公式和扇形面積公式，對學習的路徑、方法具有初步的體驗.

3)上節課學習了任意角的概念，知道角有正角、負角和零度角，為弧度制下角的集合與實數集合建立一一對應關系奠定了基礎.

學生戲稱“弧度制”為“糊涂制”，究其原因：一是學習弧度制的目的不清楚；二是定義“1弧度角”的原因不明了.為此，讓學生經歷“弧度制”概念的形成過程，體會研究過程所蘊涵的類比、特殊到一般、數形結合等思想方法.

2.3 “弧度制”說課的重點與難點

說課如同上課一樣是有重點的.筆者認為“弧度制”一課是一節典型的概念課，本節課的說課重點是：說清楚弧度制建構的“三性”，即必要性、合理性、優越性.

2)合理性：弧度制的理論基礎是弧長與半徑比值的不變性.在同一量的不同度量方式中，需要滿足一一對應、同增同減的基本關系，一般情況下需要滿足正比例關系或線性關系.教學時在學生“最近發展區”設計適合學生思維水平的數學問題鏈，使得知識的形成自然而合理.

3)優越性：在中學階段，建立弧度制的優越性主要體現在兩個方面：一是統一進制，“角度制”的度、分、秒里的數并用了十進制與六十進制，“弧度制”下統一用十進制，給數學研究帶來方便；二是簡化公式，弧度制下弧長與扇形面積公式非常簡潔，這符合數學追求簡潔美的需求.

本節說課的難點是弧度制的建構，主要內容包括：弧度制的度量單位是什么？弧度制的本質是什么？弧度制的進位制是什么？角度與弧度有何換算關系？突破難點的主要教學策略是：類比學生已有的認知基礎“角度制”來建構，以“問題引領學習”，通過學生自主學習、合作交流的方式逐步推進，并結合多媒體輔助教學.

3 “弧度制”一課的說課片段分享

本輪課改是以學科核心素養為導向的，數學教學的終極目標是“三會”.筆者的教學主張是“學習即研究，教學即研究指導”，以研究一個數學對象的基本套路為依據，以問題引領學習，通過主干問題驅動，用問題分解學習目標，在問題研究與解決的過程中達成學習目標.本節是典型的概念學習課，學習方式按概念的形成來進行，教學過程包括：背景—概念—表示—深化—應用.以下就“說教學過程”環節中的“弧度制的引入”“弧度制概念的建構”“角度制與弧度制的換算”這3個部分的說課與同行們分享.

3.1 弧度制的引入——說“必要性”

度量是人類生產生活、科學研究不可缺少的內容，要進行度量必須要確定度量單位.由于不同的需要，同一個量可能有多個度量單位，如度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質量可以用千克、磅等不同的單位制.不同的單位制能給解決問題帶來方便.對角的度量，初中階段已經學過“角度制”及“角度制”下的度、分、秒里的數并用了十進制與六十進制，角度制會對研究帶來很多不便(如60°+1=？)，自然要問：能否像度量長度那樣，用十進制的實數來度量角的大小呢？

設計意圖學生在初中階段已學過角度制，習慣了用角度制度量角的大小，“引言”制造學生認知上的沖突，激發學習興趣，體現了弧度制學習的必要性.美國著名教育心理學家奧蘇柏爾曾說過：“要我將教育心理學的規律總結為只有一條就是：‘要知道學生已經知道了什么，探究它，并據此進行教學’.”[2]筆者認為這也是教學的一條基本原則.

3.2 弧度制概念的建構——說“合理性”

弧度制概念的建構是本節說課的重點也是學生學習的難點.通過教師設計“問題串”與追問，以問題引領學習，通過主干問題驅動，通過學生自主學習、合作交流的方式逐步推進，結合多媒體輔助教學，突出重點，突破難點.

情境1如圖1，自行車的大齒輪與小齒輪通過鏈條相連，當鏈條移動一定的長度時，大齒輪轉過的角度比小齒輪轉過的角度小.為什么？

圖1 圖2

情境2如圖2，用直扳手扳動螺母時，螺母轉過相同的角度，扳手臂上手握點越近則轉過的弧長越小；手握點越遠則轉過的弧長越長.為什么？

設計意圖弧度制的建構需要經歷一個過程，不能急于求成.從學生身邊的實例出發，激發學生的好奇心與學習興趣，引導學生用數學的眼光觀察現實生活中的現象，分析現象背后的數學本質，學會用數學的思維思考問題.同時激活舊知，聯想初中建立的圓心角與圓心角所對的弧長、半徑這三者的制約關系，為弧度制的建立奠定基礎.

問題1利用幾何畫板作出多個同心圓，并設定一個固定大小的圓心角α，對每個畫出的圓度量出角α所對的弧長與半徑，得到一組組數對(li，ri)，并將這些數對放在直角坐標系中，觀察有怎樣的關系？

追問1初中角度制的研究經歷了“定義單位角—命名單位角—用單位角度量其他角”的過程，類比角度制的研究，我們如何合理定義十進制下的單位角？如何給它命名？如何用單位角度量其他角？

師生活動教師給出問題后，借助多媒體輔助教學，先讓學生獨立思考，再小組交流，然后讓學生閱讀教材：“1弧度”的規定、記號、表示、讀法，弧度數的絕對值公式，特別地，當r=1時，可以直接用弧長度量角.

追問2依照以前概念研究的套路，接下來我們應該進行怎樣的研究？

設計意圖讓學生通過從定性到定量、特殊到一般，經歷“1弧度角”概念的形成過程，體會定義的合理性.追問1、追問2的設計是對數學學習活動與經驗的再梳理，明確研究的路徑，局部范圍內滲透單元學習的理念，凸顯系統思維視角，幫助學生養成良好的數學學習習慣，促進學生深度學習[3]，從而進一步提升學生的數學抽象、邏輯推理核心素養.

3.3 角度制與弧度制的換算——說“優越性”

關于單位換算，學生在義務教育階段學過同一度量制下兩種單位的換算，例如米、厘米、毫米的換算，度、分、秒的換算等；也學過兩種不同度量制的換算，如公頃與平方米的換算等.角度制與弧度制是角的兩種度量制，它們也必有內在聯系，發現這種內在聯系是數學研究的一個基本任務.為此，通過設計以下3個問題引導學生探究換算公式及簡單應用，并從中體會引進弧度制的優越性.

問題3學習了角的度量的兩種制度，請同學們對弧度制與角度制做個比較.

師生活動通過生生、師生互動，從兩種制度的“名稱、單位、進制、本質”等維度形成共識，進一步深化對“弧度制”的認識，使學生對“弧度制”不再“糊涂”.

問題4弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間應該可以換算，如何換算？填寫特殊角的度數與弧度數的對應表(如表1所示)：

表1 特殊角的度數與弧度數

問題5利用弧度制證明下列關于扇形的公式：

其中R是圓的半徑，α(其中0<α<2π)為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積.

設計意圖體會弧度制下角的集合與實數集R建立的一一對應關系，體會弧度制下弧長、扇形的面積公式的簡潔性，建立弧度制的優越性，從而進一步提升學生的數學運算核心素養.

4 結束語

“雙新”背景下的關鍵詞是學科核心素養，“說課”的內容必然圍繞核心素養組織和展開，并最終指向學生核心素養的生成和發展，如“說教材內容”應站在單元教學視角揭示內容本質、研究方法、育人價值；“說學習目標”應圍繞“四基、四能、核心素養”展開；“說教學過程”應以“研究一個數學對象的基本套路”為指導設計說課內容.以上弧度制概念建構的說課環節體現“必要性、合理性、優越性”，筆者認為一般數學概念教學的說課都應該以這3個屬性為主線展開，充分體現概念的形成過程、思維的層次性與深刻性.