辨析三類錯解根源 提升邏輯推理能力

張 淦

(新昌中學，浙江 新昌 312500)

“學生的錯題,教師的寶”.在教學活動過程中,雖然“錯解”總是遭人討厭,但是“錯解”展現了學生的思維活動過程,是教師了解、掌握學情的重要途徑.特別是一些“不露痕跡”的錯解,洞悉錯誤之處需要學生具有良好的數學素養,需要學生對相關概念、關系、結構有明確的認識和理解,對解答過程中各步驟有清晰的邏輯分析,而不是“機械式”“無意義”地進行數學活動.

此類隱蔽性強的錯解問題,是教師教學中的寶貴財富,正如皮亞杰所說:“錯誤是有意義的學習所必不可少的.”教師應當引導學生,辨析錯解根源,吃透概念,理清對象間的關系,提升學生的邏輯推理能力.

1 必要不充分型錯解——理清關系,抓住本質

必要不充分型是主要的錯解類型,學生在解題過程中,弱化問題條件往往是導致錯解的根源所在.

例1在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinB+sin(A-C)=cosC.

1)求角A的大小;

從而

a2+b2=2b2-6b+12∈(12,20).

解法2由余弦定理可得

a2=b2-6b+12.

即

得b∈(3,4),從而

a2+b2=2b2-6b+12∈(12,20).

想不到的是,有學生非要讓筆者看他的解答過程并抱怨道“知道自己的解答是錯的,但是想了老半天,就是沒發現哪一步有問題”.

錯解由余弦定理可得

a2=b2-6b+12.

因為a2=b2-6b+12∈(3,4),所以

b∈(2,3)∪(3,4),

于是a2+b2=2b2-6b+12

圖1

1)略.

錯解2)由題意可知

整理可得

故只需

得

得

故二者不等價.因此,例2解法中存在瑕疵,需要進一步完善.

2 充分不必要型錯解——實事求是,注重論據

充分不必要型是重要的錯解類型,學生在解題過程中,由于對概念、定理、公式理解不清或受思維定勢的影響,主觀強加問題條件是這類錯解的根源所在.

例3如圖2,在多面體ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∠A1B1C1=∠ABC=90°,四邊形A1B1BA為正方形,B1C1=A1B1=2BC=2,E為棱A1B1的中點．

圖2 圖3

1)求證:BE∥平面A1CC1;

2)求直線A1C與平面A1AC1所成角的正弦值．

下面僅對第1)小題進行分析.

1)錯證如圖3，取A1C1的中點M,聯結EM.因為點E,M為中點,所以

EM

又BC故四邊形EMCB為平行四邊形,BE∥MC.又因為BE?平面A1CC1,MC?平面A1CC1,所以BE∥平面A1CC1．

上述證法在學生的解答中普遍存在,然而在證明中,學生強加了“BC∥B1C1”這一條件.事實上,應先補充證明BC∥B1C1.因為平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,且BC⊥平面ABC,所以BC⊥平面A1B1BA,同理可得B1C1⊥平面A1B1BA,于是BC∥B1C1.

例4如圖4,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

圖4 圖5

1)證明:CE∥平面PAB;

2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

(2017年浙江省數學高考試題第19題)

1)略.

2)錯解如圖5,以AD的中點為坐標原點O、分別以OB,OD,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系(解答過程略).

當年筆者有幸參加了閱卷工作,上述向量代數解法是典型的錯誤類型.學生空間感知能力不足,忽視點、線、面的位置關系,不經思辨論證,強行添加了平面PAD⊥平面ABCD這一條件是錯解的根源.

3 既不充分也不必要型錯解——大膽猜想,小心求證

既不充分也不必要型錯解,往往是學生猜想答案引起的.事實上,學生通過不完全歸納法、類比法、簡單枚舉法、數據分析等或受一般數學觀念影響,推斷問題結果.究其實質,應該是歸納推理.

一般觀念、個人直覺在數學結論發現的過程中具有重大作用,但是并不“保真”;嚴謹性的功能不在于發現知識,而在于解釋知識[1].在數學教學活動過程中,教師應將演繹推理和邏輯推理能力培養并重,鼓勵學生大膽求證、小心求證.

實際上,由xy=6可得

一堂好課的生成,離不開好的數學問題.學生在發現問題、分析問題、解決問題的過程中,有體會、感悟、反思.特別是存在錯解的數學問題往往觸及學生的知識盲區或能力不足之處,此類問題是學情的“晴雨表”,是教師珍貴的教學資料和備課素材.對于此類問題,教師應當抓住教學契機,引領學生,深刻剖析錯誤根源,引導學生有邏輯地思考問題,把握事物之間的關聯,形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神.