從教材立意，走向深度學(xué)習(xí)
——挖掘?qū)?shù)概念的立意

江蘇省淮陰中學(xué) 胡桂東 陳伏香

江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

立足于教材立意，對教師認(rèn)識理解數(shù)學(xué)具有啟發(fā)意義，才能充分發(fā)揮教材對數(shù)學(xué)教育的功能.在暴露思維的解題活動(dòng)中，為讓復(fù)雜問題簡單、形象、生動(dòng)，提升學(xué)生探究問題的能力，從而走向深度學(xué)習(xí)，教師要對教材進(jìn)行精心創(chuàng)作，在幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程中為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供廣闊的空間.

1 高中導(dǎo)數(shù)課程與教學(xué)現(xiàn)狀概述

高中“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容是建立在必修一“函數(shù)”基礎(chǔ)之上的選修課程.用高等代數(shù)的方法研究函數(shù)問題，是對初等函數(shù)問題研究的延續(xù)、內(nèi)容的擴(kuò)充、方法的提升、思想的引領(lǐng)，是研究與完善函數(shù)問題的關(guān)鍵之舉.教材的立意格局是開闊和深邃的，教師應(yīng)當(dāng)從中可尋找到：是什么？為什么？怎么做？換言之，將“知識背景、章節(jié)理念、過程實(shí)踐、文化詮釋、主線梳理”等環(huán)節(jié)都貫穿于教材立意之中.

新課標(biāo)教材中“導(dǎo)數(shù)”這一章的內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中的地位格外重要，函數(shù)圖象的切線成為命題的熱點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).但是，“導(dǎo)數(shù)”課程教學(xué)的“尷尬”之處在于教師在教學(xué)這程中普遍重視刷題，用教輔資料取代教材，忽視教材立意與格局，違反教學(xué)規(guī)律，學(xué)生沒有知識基礎(chǔ)：(1)沒有學(xué)過極限直接學(xué)導(dǎo)數(shù)，本身給導(dǎo)數(shù)教學(xué)帶來的是一種不清不楚的知識環(huán)境；(2)高中數(shù)學(xué)對切線的概念并沒有詳細(xì)的說明(僅在《選修2-2》中有描述性介紹)；(3)導(dǎo)數(shù)中很多結(jié)論直接給出并要求學(xué)生學(xué)會運(yùn)用，學(xué)生掌握的知識很脆弱.所以教學(xué)中絕大部分學(xué)生是“食之無肉，去之無味”，在綜合題中表現(xiàn)為理解能力不足，忽視教材教學(xué)導(dǎo)向功能，應(yīng)當(dāng)改變目前高中教材使用現(xiàn)狀，深入理解、領(lǐng)悟教材立意，正確認(rèn)識教材的教學(xué)價(jià)值導(dǎo)向，筆者根據(jù)選修教材“導(dǎo)數(shù)”中對導(dǎo)數(shù)概念的理解，結(jié)合案例談?wù)劷滩牡牧⒁?

2 教材的立意探索

2.1 建立理解目標(biāo)

在課堂教學(xué)實(shí)踐中，教師為了凸顯教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)，往往以簡單的記憶、訓(xùn)練來代替對數(shù)學(xué)問題的理解，一味地把教學(xué)的重心指向所謂的學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識“核心”，學(xué)生在觀察、思考過程中，因?yàn)樗季S沒有深度參與，形成對所學(xué)數(shù)學(xué)知識概念的“概念表象”，阻礙了學(xué)生向?qū)W習(xí)目標(biāo)深處追溯的意愿，降低了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度，使得“高效課堂”的背后埋藏著未被學(xué)生掌握的“核心知識”.

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯提出過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”的精辟論述，要聚焦解決什么問題，才能建立理解目標(biāo).在教材“導(dǎo)數(shù)”章引言的案例中，氣溫“陡增”的數(shù)學(xué)意義是什么？用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量的快與慢？所以，如何建立平均變化率模型就是引領(lǐng)學(xué)生深度思考，探究問題本質(zhì)的關(guān)鍵；建立平均變化率的模型，就是建立導(dǎo)數(shù)概念的理解目標(biāo).

2.2 建構(gòu)理解系統(tǒng)

無論是立于一章的設(shè)計(jì)，還是立于一節(jié)課的設(shè)計(jì)，都應(yīng)當(dāng)考慮教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生整體思維的過程，在知識構(gòu)建、探究策略、反思總結(jié)、拓展升華等方面建構(gòu)理解系統(tǒng).通過問題情境—問題提出—問題解決—學(xué)生活動(dòng)(建立數(shù)學(xué)—運(yùn)用數(shù)學(xué)—反思升華)這個(gè)過程提煉、建構(gòu)理解系統(tǒng)，能夠讓學(xué)生全面掌握章節(jié)核心知識，這也是教學(xué)設(shè)計(jì)的主線.如何建構(gòu)？可以結(jié)合教材的章引言、教材每節(jié)的標(biāo)題、章節(jié)回顧、文化閱讀提煉關(guān)鍵的線索.建構(gòu)導(dǎo)數(shù)概念的設(shè)計(jì),如圖1所示.

圖1

2.3 明確理解主體

現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程.因此，要對數(shù)學(xué)知識形成過程中的內(nèi)部認(rèn)知加以分析，數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷感性到理性、從領(lǐng)會到形成、從鞏固到應(yīng)用的發(fā)展過程.如何讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念便是該章節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，教材中對“陡峭程度”是這樣描述的：平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“可視化”，前者是“數(shù)”的表達(dá)，后者是“形”的立意.

數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過程需要經(jīng)歷以下4個(gè)階段：

(1)辨認(rèn)：通過初中的已知物理概念“平均變化率”的相關(guān)知識，確認(rèn)數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個(gè)方面.

(2)分化：從函數(shù)曲線“增與減”的直觀代數(shù)化和“平均變化”到“瞬時(shí)變化”的幾何化對心理產(chǎn)生不同的刺激反應(yīng).

(3)交互：幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化以彼此對立的方式在心理上運(yùn)行.

(4)內(nèi)化：數(shù)形結(jié)合思想，以一種綜合的心理圖式轉(zhuǎn)化為內(nèi)部觀念.

課堂實(shí)踐要以學(xué)生為教學(xué)主體.教師要引導(dǎo)學(xué)生在探索與創(chuàng)造的過程中培養(yǎng)認(rèn)識、搜索與整理信息的能力，不能將自己的主觀經(jīng)驗(yàn)直接灌輸給學(xué)生，知識傳播要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要建構(gòu)對理解的目標(biāo)設(shè)計(jì).因此教師必須足夠重視教材對概念的引導(dǎo)和啟發(fā).

2.4 發(fā)掘理解項(xiàng)目

奧蘇伯爾認(rèn)為：學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)是否成功的前提.教師在幫助學(xué)生對問題進(jìn)行深入學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)著眼于學(xué)生思維的發(fā)展.在解決問題的過程中完成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識、對項(xiàng)目的理解，應(yīng)注重學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)，重視認(rèn)知過程的層次性；同時(shí)，在解決問題的過程中，使其自身不斷產(chǎn)生新的問題，促進(jìn)學(xué)生對原來問題進(jìn)一步的認(rèn)識，隨著新問題的提出使其自身思維進(jìn)一步發(fā)展.

圖2

教材中，利用割線逼近切線的方法，通過圖示的動(dòng)態(tài)模擬方式建構(gòu)導(dǎo)數(shù)概念的初步感性認(rèn)識，挖掘?qū)?shù)概念的內(nèi)涵進(jìn)行深度學(xué)習(xí).結(jié)合教材圖示(如圖2)，嘗試解讀.

5.1.2.2 應(yīng)根據(jù)經(jīng)營食品的特性及風(fēng)險(xiǎn)等級確定檢測項(xiàng)目、檢測頻率。蔬菜應(yīng)在每次收貨時(shí)抽樣檢測農(nóng)藥殘留；豬、牛羊肉應(yīng)確保每周抽樣檢測3次或以上瘦肉精。

2.4.1 割線斜率的動(dòng)態(tài)變化與切線靜態(tài)斜率之間建立的等量與不等量關(guān)系的內(nèi)涵

圖3

2.4.2 割線斜率的動(dòng)態(tài)變化揭示直線與靜態(tài)函數(shù)曲線之間位置的內(nèi)在聯(lián)系

例2設(shè)k，b∈R，若不等式kx+b≥lnx對任意實(shí)數(shù)x∈(0,+∞)恒成立，求k+b的最小值.

圖4

圖5

思路點(diǎn)撥：過點(diǎn)(0,b)分別作f(x),g(x)的切線，使直線y=kx+b在兩切線之間.如圖5.

例4已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)).若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路點(diǎn)撥：不等式(x-1)f(x)≥0恒成立可等價(jià)于x≥1時(shí)，(x+1)lnx≥a(x-1)恒成立；0

簡解：根據(jù)數(shù)形結(jié)合法可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍(0,2].

通過幾個(gè)案例分析，了解了切線與函數(shù)圖象的位置關(guān)系，題目的立意幾乎都源自導(dǎo)數(shù)的概念.數(shù)學(xué)解題是一種思維活動(dòng)，教師要摒棄繁雜套路的解題教學(xué)，回歸教材關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

2.5 梳理理解成果

圖6

將對教材的研究融入課堂實(shí)踐，在概念教學(xué)中尋找新的生長點(diǎn)，立足于教材結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)教學(xué)是學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)的前提，也是問題設(shè)計(jì)的思想源泉.挖掘教材內(nèi)涵，發(fā)揮教材教學(xué)功能，讓教學(xué)回歸良性的教育生態(tài).