運用化歸思想求函數(shù)最值的策略*

黑龍江省佳木斯市第一中學(xué) 孔祥文

黑龍江省佳木斯大學(xué) 方海文

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)尊重教育規(guī)律，努力把學(xué)生培養(yǎng)為學(xué)習(xí)的主人，使學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生.但是教師要問自己：教室里大多數(shù)的學(xué)生，學(xué)習(xí)真的發(fā)生了嗎？有的教師無視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動機(jī)，剝奪學(xué)生做事情的權(quán)利，省略與學(xué)生的有效對話，抑制學(xué)生探索的欲望.為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，教師應(yīng)該把課堂學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，課堂應(yīng)該充滿更真實的對話、認(rèn)真的意見和真正的引導(dǎo)，展示“真正的學(xué)習(xí)”是什么樣子的.

1 運用化歸思想解決問題的一般模式及基本觀點

在問題解決的過程中，將待解問題不斷變形、轉(zhuǎn)化，直至把它歸結(jié)為已經(jīng)解決的或容易解決的問題，最終得到原問題的解答.這就是化歸思想[1].

1.1 運用化歸思想實現(xiàn)問題解決的一般模式

化歸思想一般模式如圖1所示.

圖1

1.2 基本觀點

(1)運動與變化的觀點

事物不是靜止的，它是在不斷地變化著的．解決數(shù)學(xué)問題時，把靜止變成運動，把常量變成變量，利用運動與變化的方法解決問題．

(2)聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點

事物不是獨立存在的，是相互聯(lián)系并能夠轉(zhuǎn)化的．在解決數(shù)學(xué)問題時，要不斷地找出問題之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的方法，來解決數(shù)學(xué)中的問題.

(3)優(yōu)選化歸的觀點

一般的數(shù)學(xué)問題可以分為兩種，一種是創(chuàng)造新方法解決問題，一種是與以前所學(xué)的知識相結(jié)合共同來解決問題.同時，后一種方法在實際中最常用，并且在解決問題中常常利用化歸的方法.所以，在面對數(shù)學(xué)問題時，我們通常優(yōu)先考慮化歸方法[2].

2 運用化歸思想求解函數(shù)最值的策略

2.1 等價轉(zhuǎn)化法求最值

兩個命題A和B，若A?B，則稱A與B邏輯等價.等價轉(zhuǎn)化法是把待解命題A通過某種方法轉(zhuǎn)化與其同真同假的等價命題B，通過轉(zhuǎn)換的方法解決命題B得出結(jié)果，就意味著解決了命題A的問題.

例1已知拋物線y2=4(x-1)，試在這個拋物線上找一點P，使點P到焦點與到點(4,1)的距離之和最小.

圖2

2.2 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化求最值

通過數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，不僅可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)變成圖形分析的問題，還可以利用圖形關(guān)系的分析，在圖中直接看出變量之間的關(guān)系，從而解決問題，節(jié)省時間，開發(fā)思維能力.

數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，通常有以下幾種情形：(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；(2)函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；(3)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；(4)以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念；(5)所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.

(1)用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解平面幾何的最值問題

平面幾何中與三角形、圓等有關(guān)的問題，可以利用建立坐標(biāo)系的方法，把圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運算問題來解決.

圖3

化簡，得

(x-3)2+y2=8(y≠0).

(2)用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解圓錐曲線問題

解析幾何中求代數(shù)式的最值問題常常可以聯(lián)系代數(shù)式中各量的的幾何意義，轉(zhuǎn)化為斜率、截距、距離等模型去解決.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，合理應(yīng)用圓錐曲線的定義是解決此類問題的有效途徑.

圖4

由橢圓定義，可知|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|.

所以 |PF1|+|PA|

=6-|PF2|+|PA|

=6+|PA|-|PF2|.

2.3 利用基本不等式化歸轉(zhuǎn)化求最值

利用不等式求最值主要是指運用基本不等式或它的一些變形式求代數(shù)式的最值.這種方法主要適用于和為定值或積為定值(或可轉(zhuǎn)化為和或積為定值)時的最值求解問題.

(1)直接應(yīng)用基本不等式化歸轉(zhuǎn)化求最值

若待求式的和或積為定值，則可以直接應(yīng)用基本不等式求解.使用公式時應(yīng)注意基本不等式成立的條件.

例4已知x>0,y>0，且滿足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.

所以lgx+lgy的最大值是lg 6.

(2)應(yīng)用不等式化歸轉(zhuǎn)化的技巧

基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形求最值，有的需要對待求式作適當(dāng)變形后才可求最值.

(ⅰ)加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值.

A.-4 B．1 C．5 D．-1

解：由x<3,得3-x>0，所以

所以f(x)的最大值-1．故選：D.

(ⅱ)平方后再使用基本不等式.

(ⅲ)用“1”的代換法化歸轉(zhuǎn)化求最值.

解：因為x>0,y>0,所以

3 結(jié)語

本文中基于本真課堂系統(tǒng)研究了如何運用化歸思想方法求解最值問題，同時將最值問題通過相互轉(zhuǎn)化的方法使解題思路變得簡單易懂.通過研究可以得出，最值問題解題思想方法的學(xué)習(xí)，不僅可以積累解題經(jīng)驗，還可以鍛煉思考能力和開拓創(chuàng)新能力.因此，最值問題是極其具有研究意義的，也是非常重要的.