數學理解：發展學生核心素養的教學策略

荀步章

(寶應縣實驗小學， 江蘇 寶應 225800)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在“課程理念”中提出“促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和運用數學的思想與方法，獲得數學的基本活動經驗”等要求。當前數學教學存在表征方式較單一、知識建構缺系統、思想方法感悟不透、問題解決能力不足等問題。正如章建躍教授所說“課堂教學抓不住數學概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數學思想主線，在學生沒有基本了解數學概念和思想方法時就進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，在無關大局的細枝末節上耗費學生寶貴時間，數學課堂中效益、質量‘雙低下’”[1]。數學理解是發展學生核心素養的基礎和關鍵，也為發展學生核心素養提供進階與策略。通過理解數學知識、學會數學方法、感悟數學思想、形成數學經驗等過程逐步發展數學核心素養。那么，什么是數學理解？數學理解有哪些進階？數學教學如何發展學生的數學理解？本文擬從指向核心素養的數學理解這一既是過程又是結果的命題作闡述與探討。

一、數學理解內涵：發展學生核心素養的新要求

從認知主義視角來看，數學理解是學習者對信息的感知、接收、編碼、記憶和提取的一系列過程。李新成教授認為：“學習者根據自己的已有經驗和認知結構，主動建構心理表征進而獲得心理意義，在此過程中原有知識與新的外界刺激相互作用，發生了意義同化。”[2]用圖1可簡要表示數學理解的認知過程。

圖1 數學認知過程

學生感知新知識，找到新知識的數學特征，把新知識與舊知識聯系對比，找到若干支撐和關聯的已有經驗，通過類屬學習或數學推理形成橫向聯系或縱向聯系，從而把新舊知識有效鏈接，建構知識網絡或知識地圖，促進學生個性化建構數學認知結構。李士锜教授認為：學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了[3]。

數學理解是建構數學認知結構的基礎，也是檢驗認知結構的主要指標。數學表征是數學理解的有效載體，通過多種形式的數學表征能夠促進數學理解的生成與達成。數學表征方式包括情境表征、言語表征、實物表征、圖形表征和符號表征等。這些表征可獨立呈現，不同表征之間又相互關聯、相互促進，形成一個完整的表征系統(如圖2)，完整的表征系統對學生的數學理解起支持性和外顯性作用。數學知識通常劃分為陳述性知識和程序性知識，每類知識教學采取不同的表征方式，以幫助和達成學生的數學理解，完善學生的數學認知結構，形成數學關鍵能力。

圖2 數學理解的五種表征及其關系

斯根普把數學理解分為“關聯性理解”和“工具性理解”[4]。“關聯性理解”即知道如何做、做什么，并知道為什么這樣做；而“工具性理解”只知道如何操作，不知道為什么這樣操作的理由。后人完善為“工具性理解、關系性理解、直覺性理解和形式性理解”。數學理解是幫助學生在已有的數學知識和經驗的基礎上，生成新的數學知識、方法和思想，不斷補充和完善認知結構，達到靈活運用認知經驗的能力。

二、數學理解層級：發展學生核心素養的新進階

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出“三會”核心素養的要求，基于數學課程內容和核心素養的主要表現，構建數學理解模型(如圖3)。

數學理解模型從三個維度建構：一是從橫軸課程內容維度。數學課程內容包括數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐。二是從豎軸核心素養的主要表現維度。小學數學核心素養的主要表現包括數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識和模型意識，這些“指標”與數學課程內容緊密相關，有利于數學理解層級的實施與評價。三是從縱軸數學理解層級維度。主要包括五個層級：表象層理解、解釋層理解、聯系層理解、思想層理解、創新層理解。數學課程內容和核心素養的主要表現兩條軸構成了二維平面圖，加入數學理解五個層級，使平面圖模型立體化，從三個維度不同要素共同組成了數學理解的空間模型。

圖3 數學理解模型

建構數學理解模型并非為了割裂數學課程內容、核心素養主要表現和數學理解層級三者關系，而是從數學課程內容或核心素養主要表現不同維度具體分析學生數學理解的進階水平。如“數與代數”中“分數”這一概念的理解，可以從這五個層級進行劃分，第二學段側重分數的實物表征和情境表征，在表象層理解分數，初步解釋幾分之一或幾分之幾；第三學段采用圖形表征和言語表征，在解釋層理解分數的意義，初步理解分數和小數的關系，運用圖形表征和符號表征在具體情境中理解分數并解決實際問題。學生對分數的理解從直觀的“具體意義”到形成“關系思維”再到學會“創新應用”，分數理解是一個螺旋上升的過程，在數學理解的層級上不斷進階。

數學理解在課程內容和核心素養的主要表現中不斷遞進，表1呈現了數學理解各層級的具體數學表現，學生在數學學習過程中逐步感受數學意義和價值。

表1 數學理解層級

第一，表象層理解。表象層理解是數學內容在學生大腦中所保持的直觀形象，是數學技能和數學方法能夠初步復現，具體包括借助表象陳述數學結論、操作數學技能、驗證數學規律、復述數學方法等。數學知識和技能到數學能力的形成需要借助直觀形象為載體進行理解。表象是學生對數學知識的一種映象或結果，也是學生進行數學心理操作的主要過程。表象層理解借助情境表征、實物表征、圖形表征等方式，用直觀形象的圖像思維進行數學理解。

第二，解釋層理解。學生用數學多元表征解釋數學規律、學會數學方法中的“理”，用自己的獨立思考進行舉例驗證、識別錯誤、釋譯規則、表達歷程等。解釋層理解學生能夠初步深入到數學的原理層，借用生活事例、具體情境、實物操作、言語描述、符號表達等不同方式進行“自我”解釋，在已有的數學知識和經驗上，形成數學初步觀點。但解釋層理解局限于數學概念、技能或問題本身，缺少概念聯結和跨領域內容的關聯。

第三，聯系層理解。學生逐步學會在數學知識、技能和方法的相互聯系中形成“自我”觀點。具體包括發現不同知識點之間的聯系，運用舊知編織新概念，學會歸納新內容，建構新知識網絡。這一層級強化學生對數學知識、技能和方法等不同領域的聯系與聯結。由知識點向知識線、知識網、知識面的擴展，由單一技能向組合技能、復合技能的“升級”，由生活操作向實驗操作、數學操作的“進階”，在數學聯系中走向數學理解、綜合理解，培養學生的必備品格和關鍵能力。

第四，思想層理解。學生在學習數學知識、技能和方法的過程中，逐步感悟數學思想，通過數學學習幫助學生學會思考、學會思維。數學理解中的思想層包括建立數學模型、形成一般方法、運用數學策略、反思數學轉化。這一層級側重數學思想方法的培育、生長、發展到運用，從數學的具體方法到一般方法，從數學的一般思想到基本思想——抽象、推理和模型，發展學生核心素養。

第五，創新層理解。學生的核心素養是在學習過程中逐步發展起來的，核心素養的培育離不開教師的引導點撥和學生的自我經驗。創新層數學理解是學生對自己學習經驗的深度調動、多樣編組、自動遷移、問題解決。創新能力是學生面對新情境新任務，能夠從已有經驗出發，主動發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，對舊知、已知和未知進行自主搭建，形成解決問題的新通道，實現學科綜合的自覺跨越，對學生而言是“個體首創性”。

綜觀這五層“進階”，數學理解具有層次性、連續性和跳躍性，從簡單到復雜、從低級到高級、從具體到一般的螺旋上升過程。從同一層級看，又表現為由表層、淺層向深層發展的過程。如表象層理解這一層級，由單一表象到多元表象，從情境表象到言語表象，從實物表象到符號表象，體現了表象理解的廣度、高度和深度。

指向核心素養的數學理解模型，為小學數學課堂教學和評價提供實踐導向和評價路徑，為低階數學理解發展高階數學理解提供基礎和支撐。當然，學生呈現某一方面的高階數學理解并不意味著低階數學理解的全面達成，也可能只是某些內容和方法上的單一表現。高階數學理解可以促進低階數學理解的進一步發展，它們之間是相互支撐、相互促進、相互融合、統一發展的共同體。

三、數學理解教學：發展學生核心素養的新策略

(一)表象層理解：多元表征豐富學生數學概念圖式

數學概念圖式是有組織、有結構的數學概念知識網絡，具有一般性和概括性。要幫助學生形成準確的數學概念圖式，應通過對數學概念多元表征豐富學生頭腦中的數學概念，達到表象理解的情境性、概括性和符號性。如“分數的初步認識”教學：一是情境表征。從猴媽媽“分餅”開始，把1塊餅平均分給2只小猴，每只小猴分得幾塊(半塊)？二是實物表征。餅的形狀各種各樣，出示長方形、正方形、三角形、圓形不同形狀的餅，怎樣表示出它的一半呢？三是操作表征。學生分組操作，用紙片代表不同形狀的餅，通過折一折、畫一畫、涂一涂，都表示出半塊餅。四是圖形表征。通過對不同圖形的操作過程，學生感悟到“一半”的意義。如果畫一條線段表示1塊餅，怎樣圖示它的一半？觀察這些圖形，表示“一半”的方法有哪些共同點呢？(平均分；分成2份；表示1份)五是符號表征。學生嘗試創造表示“一半”的數學符號，這個符號應體現上述三個共同的特點。學生在經歷多元表征的基礎上獨立思考，合作交流，達成共識。上述教學活動充分關注學生已有經驗，借助情境和生活經驗思考，形成“半個”的概念。實物表征和圖形表征相結合，讓學生感悟“半個”存在的特征，先平均分成2份，表示其中1份的過程。符號表征強化對“一半”的符號理解與創造。學生已有經驗對“半個”有基礎，是單個物體的一半。現加強凸顯兩者關系，即“半個”與“1個”的比較，體現分數的無量綱性，平均分2份中的1份，用“1/2”表示。教學過程要不斷豐富數學概念表征形式，讓不同學生有不同的理解與表達，對學生建構數學概念圖式起支撐性發展性作用。

(二)解釋層理解：加強勾連發展學生數學釋別能力

弗賴登塔爾認為：“不要教孤立的片段，應該教連貫的材料，這個觀念從原則上看是正確的。”楊澤忠教授說：“數學理解的過程起始于積極主動的探索，由學生在接觸到新概念時的言語和回顧陳述可知，學生面對一個新概念時，起初雖不理解，但并非完全默然，幾乎都有一個根據新概念的有關信息主動猜測的過程，也就是主動聯系舊知識、積極嘗試與舊知識建立聯系的過程。”[5]如“梯形的認識”教學：第一步回憶識別。讓學生回憶一下梯形是什么樣子的圖形，在頭腦中提取舊經驗，識別梯形表象。第二步分類辨別。信封里有很多圖形(如圖4)，找一找哪些是梯形？哪些不是梯形？把它們分類。學生把(1)(2)(3)分為一類，(4)(5)(6)(7)分為一類，前面三個不是梯形，后面四個是梯形。

圖4 圖形分類示例

教師問：“梯形到底是怎樣的圖形？”學生辨別后面四個圖形發現“梯形是只有一組對邊平行的四邊形。”繼續追問：“為什么要加‘只有’兩個字？”學生說：“如果不加這兩個字，只知道一組對邊平行的四邊形，另一組對邊是不是平行就不知道了。”第三步轉化釋別。讓學生把(1)(2)(3)號圖形剪一刀變成一個梯形。引導學生思考：“剪一刀，能不能隨便剪，怎么剪呢？”學生抓住梯形的本質說：“長方形和平行四邊形要破壞一組平行線，因為長方形和平行四邊形都是有兩組對邊平行”“三角形要創造一組平行線，三角形沒有一組對邊平行，就要創造一組”“因為梯形只有一組對邊平行”，數學概念的形成需要在識別、辨別、釋別中加深理解，在解釋中理解數學本質。

(三)聯系層理解：自主建構發展學生數學認知結構

建構主義強調現實與意義是主體用意識主動建構，強調學習主體的知覺性，主張“學習”是學生認知結構的修正與重建。讓學生在具體情境中實現“自我”發現、編譯、調整、儲存和運用等一系列建構過程。如“長方體體積計算公式”教學：一是課始發現長度、面積、體積的計量方法的相通性。計量長度。出示一條5厘米線段。教師問：“知道它有多長嗎？怎么辦？”學生答：“用尺量，它里面包含多少個1厘米，就是幾厘米長。”要計量一條線段有多長，看它包含多少個相同的長度單位。采用類推的方法計量面積、計量體積。二是課中呈現長方形和長方體的動態變化的過程。動畫演示，長方形長與寬的變化引起面積的變化。長延長或縮短寬不變，寬延長或縮短長不變，觀察長方形面積變化情況。發現“長方形的面積與長、寬都有關”“長方形的面積等于長乘寬”。再動態演示長方體長、寬、高的變化引起體積的變化。引發學生猜測，長方體的體積可能與什么有關？長方體的體積公式可能是什么？三是課尾展現不規則物體體積與生活經驗的鏈接性。課后布置探究作業：準備一個雞蛋，一個裝有水的正方體容器，一把直尺，想辦法求雞蛋的體積？讓學生充分利用身邊的素材解決實際問題，在解決問題的過程中完善數學認知結構，發展核心素養。

(四)思想層理解：經歷過程培育學生數學思想方法

史寧中教授說：“我確信：數學素養的培養特別是創新人才的培養，是‘悟’出來的，而不是‘教’出來的，因為數學結果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的。可以想象，會‘悟’會‘看’的底蘊是把握數學思想，會‘悟’會‘看’的教育是一種經驗的積累。”[6]如“長方形的面積公式”教學，出示一個長方形，引發思考，如何求出這個長方形的面積？獨立思考，實踐操作，合作探究。學生匯報擺法一(如圖5)，這個圖形的面積是20平方厘米，一排正好放5個小方塊，可以放4排，面積是20平方厘米。擺法二(如圖6)，一排可以放5個小方塊，一共放4排，這些空白不需要擺，仍然是20平方厘米。擺法三(圖7)，直接用尺量了長和寬，做上標記，長是5厘米，寬是4厘米，這個圖形的面積是20平方厘米。教師引導：“這三種方法，你們覺得哪一種簡便？”學生一致認為第三種方法。教師追問：“長方形的面積如何計算呢？”學生討論后回答：“因為長是小方塊每排的個數，寬是小方塊擺出的排數，小方塊一共個數是每排的個數乘排數，長方形的面積等于長乘寬。”

圖5 擺法一

圖6 擺法二

圖7 擺法三

教學通過三個層次引導學生理解長方形的面積計算公式：一是設置情境任務，用擺小方塊的方法求一個長方形的面積；二是比較發現學生不同的擺法，以及擺法背后的思考過程，全部擺滿，只擺長邊和寬邊，用尺量出長和寬；三是發現規律，擺出小方塊的個數和長方形面積之間的相等關系，每排個數與長相等，排數與寬相等，建構數學模型，形成長方形面積計算的方法，感悟“簡潔”的數學思想。

(五)創新層理解：設置挑戰助力學生數學問題解決

圖格子圖表示法

圖點子圖表示法

總之，發展學生核心素養的數學理解是基于學生、指向學生、為了學生。數學理解是從學生已有表象出發，逐步分析，聯系經驗，重組或改造認知結構的過程。這一過程不是固定的、形式化的，更應遵循學習規律、尊重個體差異。▲