問題解決模式下“空間三角”單元教學研究

沈 良

(蕭山區第五高級中學，浙江 杭州 311202)

在以核心素養培養為目標的新課程背景下，單元教學顯得越來越重要，它有利于將碎片化知識轉化為系統性知識，有利于提升學生的學習能力，從學習專家結論轉變為能像專家一樣思考問題.而如何更好地理解教材、挖掘教材，更好地開展單元教學值得我們深入研究.本文以喻平教授關于“以問題解決過程線索為主題的單元教學模式”的理論為指導，探索“空間三角”(本文指“異面直線所成的角”“直線與平面所成的角”和“二面角的平面角”)的單元教學研究，談談問題解決模式下數學單元教學的落實與推進.

1 內容重構的背景

2019年人教版高中《數學(必修2)》第8.6節“空間直線、平面的垂直”中，包含“直線與直線垂直”“直線與平面垂直”“平面與平面垂直”這3個部分內容，其中又涵蓋了“異面直線所成的角”“直線與平面所成的角”“二面角”的學習.“空間直線、平面垂直”與“空間三角”的定義交織在一起，通過異面直線所成角為直角定義了兩條異面直線垂直；通過直線與平面垂直找到斜線在平面內的射影，從而定義了直線與平面所成的角；通過二面角的直二面角定義了面面垂直.以垂直為主線展開研究，有兩個方面重要意義：一方面，繼續加強從“一般觀念”上的引導，讓學生明確“什么是空間直線、平面的垂直”以及“當空間直線、平面垂直時，其要素中有什么確定的不變關系”；另一方面，充分類比空間直線、平面平行關系的研究方式，引導學生研究空間直線、平面之間的垂直關系.

開展以空間三角為主線的單元教學實踐需考慮以下4個方面：

1)問題的普遍性.空間三角作為刻畫直線、平面之間相對傾斜程度的幾何量，在生產、生活實際中具有普遍性，是我們研究直線、平面位置關系經常需要面臨的度量問題.而垂直作為一種特殊的位置關系固然值得我們重點研究，但特殊寓于一般中，設計從一般到特殊的學習路徑同樣值得我們研究.

2)思想的一致性.教材中，空間三角定義給出平面化的方法，滲透了降維思想.兩條異面直線所成的角通過平移用相交直線所成角刻畫，直線與平面所成角用直線和它在平面上的射影所成角定義，而二面角的平面角則用棱上一點在兩半平面內分別作棱垂線的夾角定義.概念建構思想的一致性，有利于我們開展空間三角的類比學習.

3)知識的發展性.“點動成線、線動成面、面動成體”，從降維思想出發，引申出這樣的思考：直線與平面所成角可否用該直線與平面內直線所成角刻畫，平面與平面所成角能否用直線與平面所成角去度量刻畫.也就是從事物的發展性考慮，尋找“線線角、線面角、二面角”建構過程中的內在聯系性.

4)內容的系統性.當有了3個空間角的概念后，在一般化的問題中，特別是在變化過程中，我們需要更進一步研究這3個角的聯系，培養學生從孤立到聯系看問題的習慣.同時，數學是人類對事物抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，能否抽象出一個幾何模型刻畫空間三角的大小關系，這是培養學生模型意識的重要方面.

2 內容重構的路徑

基于上述思考，筆者嘗試以“空間三角”為主線、“空間直線、平面垂直”為輔線進行單元教學設計.又因空間三角是我們現實中經常會面臨的度量問題，這類問題具有極強的現實意義，故筆者開展以“問題解決過程為線索”的主題單元設計.以問題解決過程線索為主題組織單元，是指在解決問題的過程中可能會出現許多新問題，然后以這些新問題串為主線展開研究進而產生新知識學習的單元教學設計[1].

本單元總共包含5課時內容設計，主要為“異面直線所成的角”(1課時)、“直線與平面所成的角”(1課時)、“二面角”(2課時)以及“空間三角聯系”(1課時).每課時主要包含“問題聚焦、概念生成、模型建構、聯結應用”這4個段落推進.基于問題解決感知各空間角的度量，通過操作確認感受直覺合理性，借助幾何模型開展推理論證感受數學嚴謹性，最后進行計算應用.

1)問題聚焦.在以問題解決過程為線索設計空間三角教學中，一個好的問題包含3個方面重要特征：①情境性，空間角的度量源于生活，在教學中應盡可能選擇一些生動的情境，激發學生學習的積極性，也能使學生了解數學學習的現實意義；②建構性：問題的選擇不僅要實現解決問題本身，也要能較好地實現知識建構，特別是在以空間三角為研究對象的過程中，需要融入“空間直線、平面垂直”的學習，故選擇的情境問題要利于知識的建構與發展；③度量性：空間三角本身就是為度量而用，因此教學中選擇的問題盡量以具體運算為對象，讓學生在計算過程中，感知角的定義與大小，由感性認識發展到理性認識.

2)概念生成.以問題解決過程作為單元教學的主題，一定程度上顛覆了教材中以知識邏輯結構為順序的過程，它從解決問題入手，分析可能產生的概念和命題，厘清知識產生的緣由，還原知識的形成過程[1].在空間角問題解決過程中，逐步完善空間角定義，逐步提出“空間直線”“平面垂直”的定義，進而得出空間直線、平面垂直相關的判定定理和性質定理等.

3)模型建構.明確概念的內涵和外延之后，需要思考概念所具有的性質，特別是能否找到探索概念性質的一般規律或模型，從而對概念進行結構化處理.立體幾何中相關性質的探索必然是借助特殊幾何體模型實現的.在空間角的學習中，重要的是思考線面角、二面角的性質具有怎樣的性質，可以發現最小角性質定理和最大角性質定理，且這兩個性質定理可在幾何體“鱉臑”中有較好的呈現.

4)聯結應用.“聯結應用”指的是對概念的進一步理解和應用.在建構完知識體系后，接下去是呈現知識學習的意義，體現數學的應用價值，也是對教學中一開始提出問題和解決問題的呼應，空間角學習的意義自然是刻畫空間直線、平面的相對傾斜程度.

3 內容重構的目標

以“空間三角”為主線的單元學習，教學目標包含以下5個方面：

1)理解空間三角所表達的物理意義——刻畫相對傾斜程度，對數學中的“定量刻畫”有一定認知;

2)理解空間三角的定義，能運用定義求解簡單的空間角大小;

3)運用聯系的觀點看待空間三角關系，構建幾何模型證明三者的不等關系，得出空間角的兩個性質定理，并能在簡單問題中判斷空間角的大小;

4)在問題解決過程中，滲透空間直線、平面的垂直關系的概念，由平行類比學習空間直線、平面的判定定理和性質定理等;

5)通過空間三角的學習，體會轉化思想在空間幾何度量中的作用(空間問題平面化)，并對數學概念的建構有一定認知，進一步培養學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理等素養.

4 空間三角單元教學實踐

以“問題解決過程為線索”的主題單元設計，往往會選取一些比較經典的實際問題，在沒有明確嚴格定義一些概念的情況下，通過直覺感知的方式嘗試解決問題.這是一個從問題提出、問題解決、再逐步修正完善概念、最后利用概念度量相關問題的過程.這個過程與教材中以邏輯嚴密的方式呈現內容不同，更加注重學生問題解決的直覺性，使學生能更好地明白概念學習的必要性，更有利于學生從學習專家結論到能像專家一樣思考的轉變.

下面筆者結合教學實踐，從“第2課時：直線與平面所成的角”“第3課時：二面角(1)”的教學過程，談問題解決模式下的單元教學實踐.

4.1 “第2課時：直線與平面所成的角”的教學過程

4.1.1 問題聚焦

例1如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練．已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小．若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，試求tanθ的最大值.

圖1

(2014年浙江省數學高考理科試題第17題)

教學中拋出問題，先讓學生獨立思考，然后小組討論，最后師生共研.教師主要引導學生思考兩個方面核心內容：

1)如何表示這個仰角；

2)如何刻畫仰角的正切值.

在教學中，學生提出過點P作BC的垂線PD，聯結AD，則∠PAD為仰角θ.設PD=x，得

教師肯定了學生們的智慧，在還沒有完全明確線面角概念學習的情況下，憑數學直覺找到了這個角，既體現了數學的自然性，也體現了學生直覺的正確性.教師進一步梳理：所謂仰角指的是直線AP相對于水平面ABC所成的角，這個角可稱為直線與平面所成的角.

4.1.2 概念生成

那么一般地，如何定義直線與平面所成的角？師生將目光共同聚焦于線面角的定義探索.教師給出一個平面α和它的一條斜線l(如圖2)，讓學生嘗試定義線面角.

圖2 圖3

共同研究后，得出在直線l上任找一點P(如圖3)，過點P作平面α的垂線PO(其中O為垂足)，則∠PAO就是直線l與平面α所成的角，即平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

進一步，引導學生思考“如何界定一條直線與一個平面垂直”.這樣的設計層層遞進，首先通過觀察旗桿與地面垂直的現象，發現旗桿與其在地面上的影子始終垂直，得出線面垂直的定義，并記此時線面角的大小為90°.再完成折紙探究，即如何翻折△ABC卡片，使折痕AD垂直于桌面，學生發現：當AD⊥BC，即在翻折過程中，AD⊥BD，AD⊥CD時，AD⊥平面BCD.由此猜想得到線面垂直的判定定理.最后通過類比線面平行，猜想與論證線面垂直的性質定理.

至此，從現實問題出發，通過“感知線面角(仰角)”到“一般化找線面角”，最后實現“精確定義和線面垂直判定”，在問題解決中一步步建構與完善概念，使學生深刻感受到數學學習的重要性.

4.1.3 模型建構

線面角本質上是運用平面化方法降維成一個線線角，用直線與其射影刻畫該直線與平面的相對傾斜程度，那么“直線與它在平面內射影所成的角”和“直線與平面內任意直線所成的角”又具有怎樣的關系呢？從而得出最小角定理：平面的斜線和它在平面內射影所成的角是這條斜線和這個平面內任一條直線所成的角中最小的角.這個關系的探索可以讓學生先通過測量的方式進行初步判斷，再通過幾何畫板演示等方法建立模型進行推理證明.

如圖4，斜線AP在平面α內的射影為AO(其中PO⊥平面α)，作PB⊥AB，聯結OB，則

圖4 圖5

且

PO≤PB，

從而

sin∠PAO≤sin∠PAB，

于是

∠PAO≤∠PAB，

最小角定理得證.

4.1.4 聯結應用

例2如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

1)求直線A1B和平面ABCD所成的角；

2)求直線A1B和平面D1B1BD所成的角；

3)求直線AA1與平面AB1D1所成角的正弦值.

分析以正方體為載體進行線面角問題求解.通過求解可知，要找線面角，關鍵找線面垂直.

1)由AA1⊥平面ABCD可知直線A1B和平面ABCD所成的角為∠A1BA=45°.

2)取B1D1的中點O，易證A1O⊥平面D1B1BD，則A1B和平面D1B1BD所成的角為∠A1BO=30°.

3個問題從易到難，步步遞進，關注知識本質，促進概念理解和問題求解.

4.2 “第3課時：二面角(1)”的教學過程

4.2.1 問題聚焦

圖6 圖7

1)你認為如何刻畫水壩與庫底的相對傾斜程度？

2)嘗試求庫底與水壩所成角的大小.

學生先獨立思考，再小組討論，最后師生共研.學生普遍想到過點B作BEAD(如圖7)，聯結CE，用∠CBE的大小來衡量水壩與庫底的相對傾斜程度，通過計算可求得∠CBE=120°.盡管沒有學習過二面角以及二面角的平面角的概念，學生還是能夠比較自然地找到用∠CBE來刻畫大小，再一次說明了數學的自然性.

4.2.2 概念生成

通過水壩與庫底的結構圖，聯系生活中翻書、開門等實際場景，抽象出二面角的概念以及用二面角的平面角來刻畫相對傾斜程度.當二面角是直二面角時定義兩個平面互相垂直，后續可類比面面平行去研究面面垂直的判定定理和性質定理，梳理出空間直線、平面垂直的線索.這個內容可以在下一課時獨立完成學習.

4.2.3 模型建構

雖然“二面角的平面角”本質上也是用線線角刻畫，但當我們逐步降維去看時，可以發現“二面角”可轉化為“線面角”，“線面角”再轉化為“線線角”.由此引發我們思考：平面內任意動直線與另一個平面所成角大小與二面角大小的關系，從而猜想和論證最大角定理：在一個銳二面角中，二面角是一個半平面內任意一條直線與另一個半平面內直線所成角的最大角.

圖8

4.2.4 聯結應用

例4如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求下列二面角的余弦值.

圖9

1)二面角D1-AB-D；

2)二面角C1-BD-C.

圖10

5 研究結論

5.1 增強學生的問題意識

“問題解決過程為線索”的設計模式，凸顯了數學問題在數學學習中的價值，增強了學生的問題意識，進一步發展了學生“問題發現和提出、問題分析和解決”的能力.問題可以驅動思維，思維需要問題激勵.以問題探究為學習起點，在問題解決過程中完善知識建構，激發學生的求知欲.如何結合情境設計能激發學生深度思考的核心問題是重中之重，因為它關乎學習任務的認知水平，直接影響學生在執行過程中的思維含量，指引活動的思考方向[2].“射擊中仰角的大小”“水壩與庫底之間夾角的大小”等，都是我們日常會面臨和思考的問題，具有較強的典型性，引入到一般性思考就是刻畫空間直線、平面的相對傾斜程度，這正是數學需要思考和解決的問題.通過本單元的學習，可以讓學生發現空間三角的概念既有直覺上的合理性，又有數學推理中的嚴密性.

5.2 培養學生的數學大觀念

數學學習的一個重要方面是幫助學生形成良好的數學觀念，以數學大觀念統攝數學學習.數學大觀念是內容、過程和價值的融合，既包含對于核心內容本質的理解，也包括知識形成和應用過程中所體現出來的思想方法和思維方式[3].空間三角的學習，在問題提出和解決中要明確研究對象，建立數學概念，構建知識體系，提供一般化刻畫的方法.特別是經歷空間三角的學習，一方面，感悟一個概念抽象建構的完整過程，經歷從感性到理性、猜想到論證的過程；另一方面，感悟空間角的升維和降維(升維指空間角的發展性，從線線角到線面角，線面角再到二面角；降維指空間角解決方法的平面化，從二面角到線面角，線面角再到線線角)，這也體現了事物的兩面性.

5.3 利于學生形成知識結構

一節一節、一章一章地學習，盡管一定程度上也能達成夯實基礎、提升技能的目標，但缺乏運用聯系的觀點看問題，容易使學生“只見樹木，不見森林”[4].單元學習有利于將知識從零散走向系統，讓知識建構通過一條問題解決的主線實現串聯與遷移，幫助學生學會學習.平面化將空間三角緊密聯系在一起，通過“問題聚焦、概念生成、模型建構、聯結應用”建立起了空間角的學習線索，在問題解決過程中生成了相應的垂直概念，又通過類比空間直線、平面平行得到了空間直線、平面垂直相應的判定定理和性質，形成良好知識網絡結構圖(如圖11).

圖11