《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中“三會”的數(shù)學教育意義闡釋

胡吉振 李永桃 陶然

摘 要 《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了“三會”，即“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。在這“三會”中，“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”其實就是會用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界，在解釋現(xiàn)實世界中要采用數(shù)學的思維方式，這就是以數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，數(shù)學思維離不開數(shù)學語言，采用數(shù)學語言表達數(shù)學思維的同時也表達了現(xiàn)實世界，可見“三會”是一個有機系統(tǒng)的整體。“三會”的“中心”是“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”，這個“中心”可以稱為“一體”，而“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”和“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”是“兩翼”，“三會”就是“一體兩翼”的關(guān)系。

關(guān)鍵詞 數(shù)學的眼光；數(shù)學的思維；數(shù)學的語言；《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》

中圖分類號 G633.6

文獻標識碼 A

文章編號 2095-5995（2022）10-0048-04

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》把“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”（下文簡稱“三會”）作為培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的指導(dǎo)思想，并用來統(tǒng)領(lǐng)“四基”和“四能”［1］，可見“三會”的重要性是毋庸置疑的。有學者認為“會用數(shù)學的眼光觀察世界”是“看”，“會用數(shù)學的思維思考世界”是“想”，“會用數(shù)學的語言表達世界”是“用”［2］。但筆者認為把“會用數(shù)學的眼光觀察世界”理解為“看”太過于簡單。這里的“觀察”不是一般的“看”，而是帶著數(shù)學工作者的職業(yè)習慣去“看”，“觀察”前面的“眼光”二字也絕不是生物學意義上觀察具體事物的眼光。因此，筆者認為，把“觀察”理解為“解釋”是比較合理的。把“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”理解為“想”也是不妥當?shù)模绱死斫猓瑳]有突出數(shù)學的本質(zhì)特征，因為無論什么學科都是需要思考的。“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”如果簡單地理解成“用”，也沒有反映數(shù)學的本質(zhì)特征，而且實際上會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界并不是突出數(shù)學的應(yīng)用，而是把現(xiàn)實世界與數(shù)學世界建立對應(yīng)的聯(lián)系，以便更好地用數(shù)學的語言來解釋現(xiàn)實世界和滿足數(shù)學交流的需要。筆者秉承以迦達默爾哲學詮釋學為代表的后現(xiàn)代主義哲學的思想觀點，嘗試對《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中的“三會”進行解讀。

二、內(nèi)涵闡釋

（一）“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”的內(nèi)涵

筆者認為“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”中的“眼光”可以解釋為“理論”，“觀察現(xiàn)實世界”可以解釋為“解釋現(xiàn)實世界”，“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”就是會用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界，二者的意思是一樣的，為了簡便起見，在行文上只用其一。一個人雖然長得很美，但是拍照片不上相，其實我們可以用數(shù)學的眼光觀察這個問題或解釋這個現(xiàn)象。按照幾何學或代數(shù)學相關(guān)的維數(shù)理論，人是三維立體的，立體的人像投射到平面上——也就是照片上，就變成了二維的圖像，在這個數(shù)學變換中會有很多三維的信息沒有反映出來或被扭曲了，這就造成很美的人但是卻不上相，這樣就用數(shù)學理論解釋了現(xiàn)實世界存在的問題，這就是“會用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界”，也就是“三會”中的“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”。

有的學者認為小學生所學數(shù)學知識有限并且很簡單，讓小學生用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界，這樣不太合適。事實上，讓小學生養(yǎng)成用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的習慣非常重要：一方面可以讓小學生認識到數(shù)學與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，至少讓小學生認識到數(shù)學在現(xiàn)實世界中是有用武之地的，這樣小學生才不會以孤立的、靜止的、片面的形而上學的方式學習數(shù)學知識，而是用普遍聯(lián)系的思想觀點學習數(shù)學知識；另一方面也可以培養(yǎng)小學生對數(shù)學的興趣，如果不將數(shù)學與現(xiàn)實世界聯(lián)系在一起，而僅僅給小學生灌輸純粹的數(shù)學知識，在沒有現(xiàn)實生活經(jīng)驗的情況下，小學生對數(shù)學可能不會產(chǎn)生興趣。因此，用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界的習慣應(yīng)該從小學就開始培養(yǎng)。

（二）“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的內(nèi)涵

上文說到“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”本質(zhì)上就是用已經(jīng)學過的數(shù)學理論解釋現(xiàn)實世界，但是解釋的方式是什么？如何解釋現(xiàn)實世界？由于數(shù)學已經(jīng)從現(xiàn)實世界中抽象出來并成為一種理論，這樣只能用抽象的思維方式解釋現(xiàn)實世界，這就是說數(shù)學是以抽象的思維方式來思考現(xiàn)實世界的。

抽象的思維方式是認識或解釋現(xiàn)實世界的重要手段。從數(shù)學的視角來看，人們運用這種思維方式把現(xiàn)實生活中紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象世界或事實世界抽象為只剩下數(shù)學屬性的理論世界，這個抽象的過程是一個把現(xiàn)實世界數(shù)學化的過程，也是把客觀世界主觀內(nèi)化的過程。用數(shù)學理論去解釋紛繁復(fù)雜的物質(zhì)世界，既是對物質(zhì)世界簡潔而抽象的符號語言表達，也是使這個復(fù)雜的現(xiàn)實世界在數(shù)學化的同時更加趨于簡潔，而且更能反映現(xiàn)實世界在數(shù)學屬性方面的一些本質(zhì)特征。

用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界時，其中一個重要的結(jié)果就是把客觀世界抽象化，這個過程也是一個學習者內(nèi)化或數(shù)學化的過程，外部世界的數(shù)學性質(zhì)在數(shù)學學習者的思維方式思考下就反映出來了。在用數(shù)學的思維方式思考現(xiàn)實世界的過程中，由于采用抽象的方式建立了現(xiàn)實物質(zhì)世界和抽象簡潔的數(shù)學符號之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系可以幫助人們更好地解釋或理解現(xiàn)實世界。還以上面的拍照不上相為例，三維的人投影到二維平面上的時候，其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系就是一個具有立體感的人抽象為一個二維的平面照片，這個照片是抽象（投影）過的，可以把人當作客觀世界中的事物，而照片就是通過數(shù)學思維——抽象（投影）方式得到的，這里的投影或抽象就體現(xiàn)了數(shù)學的思維方式，也體現(xiàn)了一種對應(yīng)關(guān)系。

（三）“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的內(nèi)涵

數(shù)學知識需要用數(shù)學符號語言來表達。僅僅用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，獲取現(xiàn)實世界的數(shù)學知識是不夠的，因為獲取現(xiàn)實世界的數(shù)學知識是一種輸入活動，關(guān)鍵還是要輸出，這就是說僅僅以數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界還不夠，而且以數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界也不是目的，解釋現(xiàn)實世界才是目的。要解釋現(xiàn)實世界，就需要把數(shù)學知識通過數(shù)學符號語言表達出來。要形成數(shù)學知識，就要以抽象而簡潔的符號語言為載體進行數(shù)學知識的輸出活動，這個活動本身也是一種用抽象而簡潔的數(shù)學語言表達數(shù)學思維、思考現(xiàn)實世界的過程，也就是說數(shù)學的思維必須借助數(shù)學語言才能實現(xiàn)。只有把思維的結(jié)果和思維過程用抽象而簡潔的語言符號表達出來，才能更好地用數(shù)學理論理解或表達現(xiàn)實世界，繼而解釋現(xiàn)實世界。這就顯示了運用抽象而簡潔語言符號表達數(shù)學知識和數(shù)學思維的重要性。數(shù)學的符號語言是表達數(shù)學思維最重要的載體，也是解釋現(xiàn)實世界的工具。

數(shù)學研究或數(shù)學學習是需要交流的。十七、十八世紀歐洲數(shù)學家之間的交流促進了數(shù)學的發(fā)展。帕斯卡與費爾馬通過書信交流數(shù)學思想觀點，萊布尼茨和伯努利家族的幾位數(shù)學家通過書信交流數(shù)學思想觀點，歐拉與拉格朗日、達朗貝爾等數(shù)學家之間的數(shù)學交流都在一定程度上促進了數(shù)學的發(fā)展。同樣的，當今中小學生學習數(shù)學也是需要交流的。用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界是使現(xiàn)實世界數(shù)學化的過程，這就要求中小學生要逐漸學會用數(shù)學語言解釋或表達現(xiàn)實世界，并在現(xiàn)實生活中學會用數(shù)學語言與他人進行交流。按照哲學詮釋學集大成者伽達默爾的觀點來講，表達或表現(xiàn)真理比真理本身更重要［3］。從這個意義上講，會用數(shù)學的語言表達數(shù)學知識或表達現(xiàn)實世界對數(shù)學交流而言非常重要。

三、關(guān)系分析

（一）數(shù)學是解釋現(xiàn)實世界的理論

用數(shù)學理論解釋現(xiàn)實世界一直是古今中外學者的追求。中國古代社會強調(diào)“天圓地方”，這就是用數(shù)學理論來解釋現(xiàn)實世界的例證之一。畢達哥拉斯提出“萬物皆數(shù)”的觀點，強調(diào)的就是用數(shù)學理論來解釋現(xiàn)實世界。柏拉圖講“宇宙是上帝按照幾何學的形式設(shè)計的”也是用數(shù)學理論來解釋現(xiàn)實世界。愛因斯坦用黎曼幾何為理論基礎(chǔ)建立廣義相對論來解釋宇宙。馬克思在《關(guān)于費爾巴哈的提綱》中說：“哲學家們只是用不同的方式解釋世界，而問題在于改變世界。”［4］數(shù)學在很大程度上是解釋世界的工具，而用數(shù)學改變世界可能是間接的——通過自然科學和社會科學領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學，作用于現(xiàn)實世界的時候才可能改變現(xiàn)實世界，但是這不是數(shù)學的內(nèi)容。因此對人類而言，數(shù)學主要是解釋世界的。

美學家朱光潛說：“假如你是一位木商，我是一位植物學家，另外一位朋友是畫家，三人同時來看一棵古松。我們?nèi)丝梢哉f同時都‘知覺到這一棵樹，可是三人所‘知覺到的卻是三種不同的東西。你脫離不了你的木商的心習，你所知覺到的只是一棵做某事用值幾多錢的木料。我也脫離不了我的植物學家的心習，我所知覺到的只是一棵葉為針狀、果為球狀、四季常青的顯花植物。我們的朋友畫家什么事都不管，只管審美，他所知覺到的只是一棵蒼翠勁拔的古樹。我們?nèi)说姆磻?yīng)態(tài)度也不一致。”［5］朱先生的這個例子沒有考慮到數(shù)學家，如果讓數(shù)學家參與，數(shù)學家可能會用數(shù)學理論來解釋這棵古松的數(shù)學性質(zhì)，這就是受到“三句話不離本行”職業(yè)習慣的影響。這就說明了會用數(shù)學理論解釋現(xiàn)實世界是重要的。數(shù)學工作者喜歡把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決。就像笛卡爾強調(diào)任何一個現(xiàn)實生活問題都可以轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題［6］。所以說“三會”中會用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界才是最重要的，會用數(shù)學的思維和會用數(shù)學的語言僅僅是用數(shù)學解釋現(xiàn)實世界的一種方式。

（二）“三會”發(fā)生的同時性

在“三會”中只要用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界，也會不自覺地運用數(shù)學的思維方式思考現(xiàn)實世界，因為數(shù)學的理論與數(shù)學的思維方式是密切聯(lián)系的。數(shù)學思維方式不是孤立存在的，而是存在于數(shù)學知識之中，是以數(shù)學知識為載體的，所以說當用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界的時候，同樣要具備數(shù)學的思維方式，而數(shù)學的思維需要抽象而簡潔的符號語言作為工具。這就說明了只要會用數(shù)學理論解釋現(xiàn)實世界，數(shù)學思維與數(shù)學語言作為兩個重要的工具就要運作起來。同樣的，當用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界時，思考的過程在一定程度上也是用數(shù)學理論解釋現(xiàn)實世界的過程和用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的過程，這就說明了三者是同時運作的關(guān)系。

（三）思維與語言的并列關(guān)系

表達數(shù)學的思維是需要運用抽象而簡潔的數(shù)學符號語言的，這就反映了會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界和會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界是相關(guān)的。人類對思維與語言關(guān)系研究的一個共識是：思維與語言是十分密切的關(guān)系。一般而言，沒有語言就沒有辦法表達思維，沒有思維就談不上語言表達的方式，甚至表達的內(nèi)容。思維與語言的這種雞生蛋和蛋生雞的關(guān)系也說明了會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界和會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界是密切相關(guān)的，甚至是和諧統(tǒng)一的。蘇聯(lián)心理學家列夫·維果斯基的《思維與語言》就論證了二者的密切關(guān)系［7］。“三會”中后“二會”本質(zhì)上是前“一會”的延伸或派生，只不過一個從思維的角度來闡釋如何用數(shù)學的理論更好地解釋現(xiàn)實世界，而另一個從語言的角度來表達如何更好地用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界。在這里“思維”和“語言”可能就是一個事物的兩個方面，這就像量子力學中的“波粒二象性”一樣，只不過呈現(xiàn)的是兩種不同的現(xiàn)象而已，但是本質(zhì)只有一個。我們更應(yīng)該從辯證統(tǒng)一的視角來分析這個問題，用數(shù)學的思維方式思考問題不是目的，僅僅是一種手段，同樣用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界也僅僅是一種工具，二者的目的是更好地用數(shù)學理論解釋現(xiàn)實世界。

（四）課標中“三會”的關(guān)系

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中“三會”出現(xiàn)了很多次，下面我們選擇主要體現(xiàn)“三會”之間關(guān)系的內(nèi)容進行分析。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》多處強調(diào)學生學習數(shù)學時“三會”在“四能”中是有先后順序性，例如在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中的第72、79、84頁等強調(diào)“三會”的順序性。事實上“三會”是沒有先后順序之分的。一般而言，用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界不僅可以用于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析問題，對解決問題同樣是適用的。提出問題本身都是通過數(shù)學的抽象思維獲得的，提出問題的過程是需要用數(shù)學語言表達和數(shù)學思維思考的。這再一次說明了數(shù)學語言與思維幾乎是同步的，而且都是圍繞用數(shù)學的理論來解釋現(xiàn)實世界這個中心的。發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題這“四能”都是需要語言表達的，如果語言表達不清晰，說明對某個問題還沒有思考清楚。“四能”都是需要用到數(shù)學思維的，并不是僅僅在分析問題的時候用數(shù)學思維，而在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的時候就不需要數(shù)學思維了。總之，筆者認為，提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程自始至終貫穿了“三會”中的每“一會”。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“教材編寫建議”中強調(diào)“三會”的獨立性［8］。其實“三會”的密切聯(lián)系性遠遠大于獨立性。小學生的抽象思維還不是太發(fā)達，在數(shù)學語言上就必須主要借助形象具體的語言；到了中學高年級階段，甚至大學階段，學生的抽象思維有一定程度的發(fā)展，其表達現(xiàn)實世界的語言也不再是小學數(shù)學中具體形象的語言，而是更為抽象的符號語言。語言與思維關(guān)系是很密切的，二者在數(shù)學中，當一個發(fā)生變化時，另一個也要隨之發(fā)生變化的，語言與思維的對應(yīng)關(guān)系也可見一斑。

四、總結(jié)

以上筆者對《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出的“三會”進行詮釋，把“會用數(shù)學的眼光觀察世界”解釋為“會用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界”，但是如何用數(shù)學的理論解釋現(xiàn)實世界，這就需要用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界和用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界和會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界基本上是同步的。會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的過程也就是會用數(shù)學的思維方式去思考現(xiàn)實世界的過程。因此，在“三會”中，“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”是“三會”的中心或統(tǒng)帥，是“一體”，而會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界和會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界是并列的“兩翼”。顯然，“三會”中的“兩翼”是為“一體”這個中心服務(wù)的。

有學者可能會說，如果這樣理解“三會”，沒有強調(diào)數(shù)學廣泛的應(yīng)用性，而廣泛的應(yīng)用性是數(shù)學在當代社會重要的三個性質(zhì)（其余的兩個性質(zhì)是數(shù)學的抽象性和嚴謹性）之一。其實“三會”強調(diào)了數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，關(guān)于應(yīng)用問題是包含在這“三會”之中的。這就是筆者對2022版數(shù)學新課標中“三會”內(nèi)涵的一種闡釋。

（胡吉振? 李永桃??? 陶然，麗水學院教師教育學院，浙江 麗水，323000）

參考文獻：

［1］ 史寧中.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養(yǎng)［J］.教師教育學報，2022（3）：92-96.

［2］ 曹希剛，馮輝.基于“三會”的鄉(xiāng)村初中數(shù)學情境教學研究［J］.初中數(shù)學教與學，2022（8）：9-12.

［3］ 伽達默爾.詮釋學I：真理與方法（修訂譯本）［M］.洪漢鼎，譯.北京：商務(wù)印書館，2019：169.

［4］ 馬克思，恩格斯.馬克思恩格斯文集（第一卷）［M］.中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局，譯.北京：人民出版社，2009：502.

［5］ 朱光潛.談美·談美書簡［M］.南京：江蘇鳳凰文藝出版社，2019：11.

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［7］ 維果斯基.思維與語言［M］.李維，譯.北京：北京大學出版社，2010：180.

［8］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：72，79，84，92.