基于能量平衡原理的機床柔度優化方法

孫士玉，李郝林，王家樂，汪能洋

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

0 前言

機床在切削或磨削的過程中出現的不穩定現象往往是由機床在切削過程中的動態特性和機床-刀具-工件系統的模態特性之間的相互作用產生的[1]，會影響加工質量并限制生產效率。其中，由切削厚度變化而引起的再生顫振是最常見的并且危害性最大的。為了解決機床的再生顫振問題，國內外學者做了多方面的研究。MEI[2]從波的角度設計一種主動控制器，在一定的頻率范圍內吸收顫振的能量，從而減少顫振的產生。HAYASAKA等[3]建立了螺旋立銑刀與機床發生再生顫振的關系，改變刀具的螺旋角度以消除顫振的產生。MUNOA等[4]通過旋轉彈簧和渦輪模塊來控制工作臺的夾緊方式，以提高機床的動態剛度和銑削穩定性，來提高機床抵抗再生顫振的能力。WANG[5]利用非線性調諧質量阻尼的吸振原理抑制顫振的產生。張勇[6]采用超磁致伸縮制動器及PID控制算法抑制機床的顫振。烏利齊·拉通德[7]通過調整附加質量塊的質量來改變刀具頭的振動特性，從而抵消機床的再生顫振。這些措施都是在機床設計完成后所采取的措施，雖然對機床顫振有一定的抑制作用，但不能從根本上解決機床問題。為此，本文作者從機床設計的角度出發，調整機床質量、剛度的分布，以提高機床自身抵抗再生顫振的能力。

目前通過降低機床系統動柔度并使各階模態柔度分布更加均勻的優化方法相對較少。將能量平衡原理、正交試驗方法和響應面法結合，實現一種提高機床抵抗再生顫振能力的方法。通過模態柔度和能量平衡原理尋找出機床的薄弱模態和薄弱子結構，即需要調整的質量和剛度；結合正交試驗方法和響應面方法對機床的剛度、質量進行優化；得到最優的剛度配置方案和質量配置方案，以提高機床抵抗再生顫振的能力。以某機床廠曲軸磨床為例，說明該方法的具體過程。

1 能量平衡優化原理

評判機床在切削顫振作用下抵抗再生顫振的能力，通常很難通過直接計算而獲得，往往通過某個參數來間接性地進行評價。目前，公認的是采用穩定性極限切削寬度bm判斷機床是否產生再生顫振[8]，bm越大說明機床抵抗再生顫振的能力越強，而它與機床動柔度的最大負實部成反比例關系。因此，為提高機床抵抗再生顫振的能力，應使其動柔度的最大負實部絕對值減小。

機床動柔度的最大負實部是一個綜合性指標，它是由機床的模態柔度和模態阻尼比所決定，而目前對機床阻尼的計算尚未成熟，文中將機床視為在無阻尼系統情況下運行，假設機床在點e處受到激振力Fe，在點c處響應時，系統的交叉動柔度為

(1)

(2)

顯然，機床的各階模態柔度對機床系統的動柔度有著決定性的影響，它們又是由機床各個子結構在各階模態下能量的分配情況所決定的，而機床能量的分布主要取決于各個子結構質量和剛度的分配。由此，將提高機床抵抗自激振動能力問題轉化成了優化機床結構剛度和質量的問題。

機床在正常運轉的過程中，不是每一個模態都會出現顫振問題，而是具體到某一階或某幾階模態。因此，首先需要找到機床易發生顫振現象的薄弱模態，再對薄弱模態進行優化，當系統的激振頻率接近于0時，由公式(1)得機床的動柔度與各階模態柔度的關系為

(3)

(4)

尋找到系統的薄弱模態后，需要找出該模態下薄弱環節，將機床系統分為N個子結構，機床第s子結構在第r階模態下的最大慣性能和最大彈性能及分布率為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Tsr、Vsr分別為第r階模態下第s子結構具有的最大慣性能、彈性能；ms為第s子結構的質量；As(r)為第r階模態下s子結構的振幅；Ks為第s子結構的剛度；γsr、μsr分別為第r階模態下第s子結構的慣性能分布率和彈性能分布率。

根據求出的能量分布，能確定系統的薄弱環節。當γsr過大時，說明該子結構為慣性能量分布率較高的子結構，質量過于集中，應該減少其質量；當μsr過大時，說明它為彈性勢能分布率較高的子結構，其剛度不足，應著重提高其剛度。研究發現：當提高薄弱環節的剛度時，可以有效降低其模態柔度，并且降低機床系統的靜柔度；當降低薄弱環節的質量時，可以降低該模態的模態柔度，但是不會改變機床系統的靜柔度。因此，尋找出系統的薄弱模態后，首先調整該模態下彈性能分布率高的子結構的剛度，降低該模態的模態柔度和機床的靜柔度；然后，可以調整慣性能分布率高的子結構的質量，在規定的邊界條件下，降低薄弱模態的模態柔度并使得各階模態柔度分布更加均勻。

2 剛度和質量的優化

2.1 剛度優化

統計表明，機床60%的振動問題都來源于其結合部[9]，因此，有必要對其薄弱結合部的剛度進行優化。通過式(4)和(8)可得到系統的各階薄弱模態下的薄弱環節，又通過式(1)可知機床動柔度與靜柔度有關。因此，以各階薄弱模態下的彈性能分布率高的子結構的剛度為變量，以減小靜柔度為目標，對結合面剛度進行優化，其優化設計的模型為

(9)

k=(k1k2…kr…kn)i=1,…,n

s.t.kr∈{kr1…krs…krn}

(10)

fmin=min(fs1…fsi…fsn)

(11)

式中：fs為靜柔度的值；kr為機床子結構剛度值；fmin為靜柔度最小值。為在規定的范圍內尋找出最優的剛度配置方案并減少試驗次數，采取正交試驗方法。

正交試驗法是一種處理多因素的試驗方法[10]，它使用較少的試驗單元篩選若干因子，篩選完成后，在進行試驗的過程中，可以進一步分析各個因子之間的交互作用，最后通過分析各種數學理論模型進行優化試驗設計。

在確定設計變量因素后，結合面的剛度不能隨意調整，因此需要計算出滿足實際情況的幾組剛度，即每個薄弱環節剛度的取值情況，以確定正交試驗的水平kr∈{kr1,…,krs,…,krn}，由此建立正交試驗表，并依據此表重新調整機床模型進行試驗，以計算出每組試驗的靜柔度，并采用極差分析法對試驗的結果進行分析。

2.2 質量優化

研究發現，對機床動態性能的優化除了需要減小靜柔度外，同時應使得各階模態柔度的分布更加均勻，質量的增加或減少并不會對靜柔度產生影響，卻可以改變各階模態柔度的分布情況，降低薄弱模態下慣性能分布率高的子結構的質量以減小該模態的模態柔度，從而達到優化的目的。因此，求出優化剛度后各階模態柔度、模態柔度分布率和各個子結構慣性能分布率，得出機床系統的薄弱模態。在此基礎上得出薄弱子結構，即慣性能分布率高的子結構，作為質量優化的變量，以各階模態柔度分布更加均勻為目標，其優化模型為

(12)

m=[m1…mr…mn]

(13)

σf=min(σf1…σfs…σfn)

(14)

s.t.mmin≤mr≤mmaxr=1,2,…,n

式中：σfr為機床各階模態柔度的方差；mr為要調整的子結構的質量。為在規定的邊界條件下尋找出最優的質量配置方案并減少試驗次數，采取響應面優化設計方法。

響應面法是數學方法與統計方法相結合的產物[11]，能夠處理多變量問題，本文作者利用Design-Export軟件對機床的質量進行優化設計。通過軟件建立試驗設計表，運用MATLAB軟件對表內的參數進行計算，然后利用Design-Export軟件對數據分析擬合，建立各薄弱子結構的響應模型，以各階模態柔度分布更加均勻為目標。通過此軟件進行響應面分析并建立擬合回歸方程，利用Optimization模塊設置邊界條件，得到最優的質量組合。

3 曲軸磨床的優化

3.1 剛度優化

為驗證該方法的可行性，以某機床廠曲軸磨床為例[12]，對其進行優化設計。該磨床主要由頭架、砂輪、砂輪架、尾架、工作臺、工件等組成，考慮到水平方向分量是影響加工精度的最主要因素，故物理坐標都選擇在水平方向上。因此，將機床簡化成具有7個自由度的系統。通過MATLAB軟件對機床的固有頻率、振型、模態柔度進行計算，結果如表1所示。可知：除第4階固有頻率外，其余各階固有頻率計算值與實測值誤差范圍都很小。由結果可得，模態4的模態柔度占比為59.44%，模態5的模態柔度占比為21.97%，模態1的模態柔度占比為11.04%，模態2的模態柔度占比為5.68%。因此，此4階模態為機床系統相對薄弱的模態，可作為優化的目標模態。

表1 優化前的固有頻率和模態柔度

計算機床各階模態下各個子結構的彈性能及彈性能分布率，結果如表2所示。可以看出：在彈性能方面，導致模態4、模態5、模態1和模態2模態柔度值大的原因分別為工件右夾持部剛度過小、主軸前支撐剛度過小、砂輪進給機構剛度過小和工作臺左-床身的剛度過小。因此，以這4個結合面剛度為變量，對機床進行優化。

表2 機床各個子結構的彈性能分布率

根據結合面的選擇要求，分別計算出4個結合面剛度的3個水平值，組成的正交試驗的因素水平如表3所示。其中，工件右夾持部剛度、主軸前支撐剛度、砂輪進給機構剛度和工作臺左-床身的剛度分別用A、B、C、D表示。

表3 正交試驗的因素水平 單位：107 kg·m-1

因此，本文作者選取L9(34)正交表安排試驗，選取工件右夾持部剛度、主軸前支撐剛度、砂輪進給機構剛度和工作臺左-床身的剛度作為影響因素，以減小機床系統靜柔度為目標，設計正交試驗方案，方案及試驗結果如表4所示。

表4 正交試驗的設計方案及試驗結果

通過正交試驗和極差分析可得，工作臺左-床身的剛度是影響靜柔度最重要的因素，其次分別為工件右夾持部剛度、主軸前支撐剛度、砂輪進給機構剛度。根據極差分析選擇出的最優的結合面剛度組合為A3B3C3D3。將求出的最優方案代入機床動力學模型中，優化前后的結果對比如表5所示。可知：各階薄弱模態的模態柔度均有所下降，其中，1階、2階、4階和5階的模態柔度分別下降了39.77%、8.50%、14.38%和63.01%，其余模態的模態柔度都有不同程度的降低。因此，運用能量平衡原理對機床的剛度進行優化，可以有效地降低薄弱模態的模態柔度和機床系統的靜柔度，從而降低系統的動柔度，提高機床抵抗再生顫振的能力。

表5 優化剛度后的模態柔度及變化率

3.2 質量優化

優化剛度后，各階模態的模態柔度比分別為9.27%、7.24%、1.12%、70.91%、11.32%、0.01%、0.13%，模態1、2、4、5為相對薄弱的模態。慣性能分布率如表6所示。可知：影響模態4模態柔度最重要的因素為工件質量，而這是由待加工對象決定的，不屬于機床系統本身。因此，無法通過調整工件的質量使它變小，可通過增大此模態下的模態阻尼比，有效降低其產生自激顫振的概率。

表6 慣性能分布率 單位：%

由表6可知：模態5、1、2為機床系統相對薄弱的模態，而影響模態5、1和2模態柔度的最主要因素分別為砂輪質量、砂輪架質量、工作臺質量。對機床動態性能的優化除了減小靜柔度外，同時應使得模態柔度的分布更均勻。因此，以砂輪架質量、砂輪質量和工作臺質量為變量，在不增加第4階模態模態柔度的前提下，以減小其他6階模態柔度的方差為目標，尋找最優的質量組合。利用Design-Expert軟件對砂輪質量、砂輪架質量、工作臺質量進行三因素三水平響應面試驗設計，各因素的試驗水平如表7所示。

表7 因素的試驗水平 單位:kg

根據變量因素編碼表，通過MATLAB軟件計算出每組試驗所對應的第4階模態柔度R4和其余6階模態柔度的方差。表8所示為試驗設計方案及結果，整個試驗共計20組。

表8 試驗設計方案及結果

對表8的試驗數據進行回歸分析，得出各階模態柔度的方差與第4階模態柔度的多元回歸模型。根據回歸模型分析的結果，運用Design-Export軟件中Optimization功能，以不增大第4階模態柔度和其余6階模態柔度的方差最小為條件，求解回歸模型，得到的最優參數為砂輪架質量1 124.48 kg、砂輪質量89.25 kg、工作臺質量1 278.26 kg。將優化后結果代入機床系統，得到的結果如表9所示。由此可得，運用能量平衡原理，在規定的邊界條件下，在不使得第4階模態柔度增大的情況下，可以使得其余6階模態柔度分配得更加均勻。

表9 優化質量后的方差和第4階模態柔度

3.3 機床整體優化結果

對機床的剛度和質量優化完成后，將優化后的參數代入機床系統，利用MATLAB軟件進行分析，結果如表10所示。可知：各薄弱模態的模態柔度均有所減小，機床的靜柔度下降了28.23%，各階模態柔度的方差也下降了14.95%，各階模態柔度的分布更加均勻。

表10 優化后的各階模態的模態柔度

如表11所示，機床的各階固有頻率均有不同程度的提高，其中第1、2、5階固有頻率分別提高了49.32%、43.27%、39.08%，優化效果非常顯著。由此可知，運用能量平衡理論優化機床不僅可以使機床的靜柔度降低，提高機床的抵抗自激顫振能力，還會提高機床的固有頻率，從而提高機床機床抵抗受迫振動的能力。

表11 優化前后的固有頻率

4 結論

本文作者將能量平衡原理和正交試驗與響應面方法結合，實現了一種提高機床抵抗再生顫振能力的方法。以某機床廠磨床為例，驗證了此方法可以有效降低機床系統的動柔度，并提高機床的各階固有頻率，使機床的整體動態特性得到較大改善。

根據模態柔度和能量平衡原理，尋找出機床的薄弱模態和薄弱子結構，以薄弱子結構的剛度、質量為變量，以降低機床系統靜柔度和各階模態柔度分布更加均勻為目標對機床進行優化。

結合正交試驗方法對機床的剛度進行優化，結合響應面方法對機床的質量進行優化，既可以減少試驗次數、提高優化效率，又可以在規定的條件下，實現最優的剛度配置方案和質量配置方案。