幾種哈密頓量的寫法與變換

吳 超 王海艷

宜春學院物理科學與工程技術學院 江西宜春 336000

J-C模型是量子光學發展的基本模型，已經有近50年歷史，正是J-C模型的建立，才讓物質與光場相互作用的研究越來越清晰。它主要描述的是限制在光學腔中的單個電磁模和一個兩能級原子的相互作用，能量則在場和原子間相互交換，從而可以直接導致相干布居振蕩以及疊加態的產生。由于J-C模型精確可解，相關物理問題就研究更為透徹，比如研究量子糾纏、量子邏輯門、光力等問題。對于復雜系統而言，多能級原子與多模電磁場的相互作用研究顯得更為重要，而將這些復雜系統的哈密頓量簡化成J-C模型則是一項很重要的理論工作。

下文總結了物質與光相互作用系統的幾種哈密頓量，并求解了其中一種較為復雜實際系統的有效哈密頓量，也概述了一些復雜實際系統是如何簡化成J-C模型的有效哈密頓量。這對從事理論量子光學研究有一定參考價值[1-3]。

1 一個兩能級原子與一個外加經典驅動場相互作用的哈密頓量

(1)

2 一個兩能級原子與一個外加量子場相互作用的哈密頓量

(2)

3 一個三能級原子與兩個外加經典驅動場相互作用的哈密頓量

根據理論量子光學理論，第一、第二和第三能級的頻率為ω1、ω2、ω3，與第一個經典驅動場(頻率為μ1)有關的拉比頻率為Ω1，與第二個經典驅動場(頻率為μ2)有關的拉比頻率為Ω2，能夠得到它的哈密頓量為：

H=?ω1|1〉〈1|+?ω2|2〉〈2|+?ω3|3〉〈3|+?Ω1[|1〉〈2|e-iμ1t+|2〉〈1|eiμ1t]+?Ω2[|2〉〈3|e-iμ2t+|3〉〈2|eiμ2t]

(3)

4 一個兩能級原子與一個外加經典驅動場，兩個外加量子場的相互作用的哈密頓量

(4)

現在我們將這一復雜系統的哈密頓量進行推導，導出具有類J-C模型的有效哈密頓量。

首先我們將上式的哈密頓量分解成兩部分：

(5)

σ+=|e〉〈g|=cosθsinθπz+cos2θπ+-sin2θπ,σ=|g〉〈e|=cosθsinθπz-sinθπ++cos2θπ

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

我們也可以得到以上類J-C模型的哈密頓量。

5 幾種復雜實際系統簡化后的J-C模型的哈密頓量

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

很明顯，(12)、(13)、(14)、(15)式也是類J-C模型。

Case2：一個三能級原子與雙模量子場相互作用，這雙模量子場分別為一個為泵浦場，一個為斯托克斯模，|1〉，|2〉，|3〉分別代表原子的三個能級，該復雜系統總哈密頓量為[5]：

(16)

經過幺正變化得到有效哈密頓量為：

(17)

Case3：一個三能級原子與雙模量子腔場相互作用，|1〉、|2〉、|3〉分別代表原子的三個能級，任何高能級與最低能級的躍遷由兩個經典場Ω1和Ω2來驅動，失諧量為Δ，；兩個量子腔模g1，g2分別耦合在能級|3〉?|2〉和|3〉?|1〉之間，失諧量為Δ。該復雜系統總哈密頓量為[6]：

(18)

(19)

(20)

(21)

結語

在物質與光相互作用的研究中，由于模型變得越來越復雜，經常用到單個二能級原子或者多個二能級原子，有時又用到單個三能級原子或多個三能級原子，有時又研究N原子樣本，甚至要考慮用經典場驅動原子躍遷。躍遷過程中有時是共振狀態，有時又是失諧狀態，嚴格點還考慮馬爾可夫效應。所以初始的系統哈密頓量極其復雜，這就使得獲得系統的有效哈密頓量變得很重要。本文給出了一點數學技巧和有效哈密頓量總結，這對更復雜系統優化成類似J-C模型的哈密頓量有參考價值。