一類二階有理差分方程的解的漸近性

全衛貞，王 麗，黃日娣，周敬人，凌偉鐘，阿的史古，陳月婷

（1.湛江幼兒師范專科學校數學系，廣東 湛江 524037；2.嶺南師范學院基礎教育學院數學系，廣東 湛江 524037）

1 引言

差分方程來源于迭代函數，為微分方程的離散化，實際上許多變量的變化都能通過差分來描述，隨著現代技術的飛速發展，差分方程的理論知識在各個領域都有著大量的應用，比如，生態、工程、經濟、數學、計算機等領域都用到了差分方程理論.

線性差分方程的求解理論發展相對成熟，但對二階有理差分方程的精確解卻還在研究階段，這些方程看似簡單，但卻表現出十分復雜的性質.這些年來，許多研究者做了很大的努力，得到了不少的研究成果[1-12].

在參考文獻[3]中，陳云研究了幾類有理差分方程

的解的漸近性.并給出了平衡解是匯點、源點、鞍點、非雙曲點的充要條件.

在參考文獻[4]中，Sedaghat研究了有理差分方程

的解的性態.其中 a，b＞0，初始值 x－2，x－1，x0∈R.當 a，b 取不同的值時，得到了解的不同性質.

在參考文獻[5]中，駱元媛等人研究了有理差分方程

的奇點集和解的漸近性，其中 a，b，c，d∈R，初始值 x－2，x－1，x0∈R.并根據 a，b 的不同取值，得到不同的奇點集和解的不同性質.

受上述研究的啟發，本文將研究二階差分方程

的解的漸近性，其中 a，b，c，d∈R＋，初始值 x－1，x0∈R＋.

2 預備知識

考慮二階有理差分方程（1）

其中 a，b，c，d∈R＋，初始值 x－1，x0∈R＋.

定義2.2由二階差分方程

由此求出特征根.

以下兩個定理為差分方程的動力學定理：定理2.1和定理2.2.

定理2.1[1]

（1）若特征方程（2）兩個根的絕對值都小于1，則差分方程（1）的平衡解是局部漸近穩定的；

（2）若特征方程（2）至少有一個根的絕對值大于1，則差分方程（1）平衡解是不穩定的；

（3）若特征方程（2）沒有模為1的根，則差分方程（1）的平衡解為雙曲的，否則稱為非雙曲的；

定理2.2[1]（1）若，則差分方程（1）的平衡解是局部漸近穩定的，且稱其為匯點；

定理2.3[6]（Routh-Hurwitz判別法）

假設實系數多項式方程為

其中a0＞0，則其所有根具有負實部的充要條件是Δk＞0，k＝1，2，…，n，其中Δk是n階矩陣

的k階主子式.

定理2.4[6]（Schur-Cohn判別法）

方程

所有的根具有負實部.

3 主要結果

4 計算機Matlab的數值計算

例1.根據定理3.1中的（1）（若0＜a＜1時，差分方程（1）的平衡解＝0是局部漸近穩定的），我們取 a＝0.5，b＝0.01，c＝1，d＝0.9，則差分方程（1）變為

取初始值x－1＝0.1，x0＝0.2，利用Matlab的數值計算，解的圖像如圖1.

圖1

由此看出，圖像與定理3.1中的（1）一致.

例2.根據定理3.1中的（2）（若a＞1時，差分方程（1）的平衡解＝0是不穩定的）.我們取 a＝1.1，b＝1，c＝12，d＝5，則差分方程（1）變為

取初始值x－1＝0.1，x0＝1.2，利用Matlab的數值計算，解的圖像如圖2.

圖2

由此看出，圖像與定理3.1中的（2）一致.

取初始值x－1＝0.1，x0＝0.2，利用Matlab的數值計算，解的圖像如圖3.

圖3

由此看出，圖像與定理3.2（2）一致.

5 結 語

我們采用了差分方程的動力學定理、Routh-Hurwitz和Schur-Cohn判別法、計算機Matlab數值計算這三種不同的方法研究了二階有理差分方程的動力學定理，更利于相關研究者對于這些定理的理解.也希望這些方法能用于其他方程的定理的證明.