空間彎管的幾何計算

張發茂，楊宗儒

(中水珠江規劃勘測設計有限公司，廣州 510610)

0 引 言

在水利工程中布置管道時，管軸線盡可能采用直線布置，但由于受地形、空間和水工布置等因素的制約，不可能完全采用直線布置。彎管的布置不可避免，在垂直平面或水平面內轉折的鋼管為平面彎管，其幾何尺寸在垂直平面和水平面的正投影即為管軸線的實際長度，計算較為簡單，文章重點介紹同時在垂直方向和水平方向彎曲的空間彎管幾何尺寸的計算方法。

1 彎管一般計算方法

空間彎管是指在水平面和垂直平面都有彎折的鋼管，在空間不受限的情況下，可采用兩個平面彎管構造，在空間狹小或對水頭損失敏感的部位，就有必要采用一個空間彎管代替兩個不同平面的彎管。空間彎管由于其在垂直面和水平面正投影均不能反應其真實的管軸線長度，故須通過找到兩條空間轉折線確定的唯一平面，在這個平面上投影才能真實反應空間折線的長度和角度[1]。

1.1 空間彎管轉折角計算

由鋼管軸線的幾何關系可知，相交于一點的兩條直線可確定一個平面，故空間管的空間曲線仍為平面曲線，只是該平面為一傾斜面。如圖1，OA’、OB’相交于O點。

圖1 空間彎管曲線平面圖

設定轉折點O為坐標原點：O(xo,yo,zo)即O(0,0,0)

已知空間直線OA’(xA′,yA′,zA′)和空間直線OB′(xB′,yB′,zB′)

ε=cos-1

上述已計算出管軸線的轉折角ε，角度ε等于彎管的轉彎角度，按照角度ε制造出的彎管即A‘OB‘平面內的彎管。

1.2 轉彎切點的確定

管軸線的轉折角計算出來后，彎管的轉彎角度就確定了，為了確定管軸線轉折點之間的鋼管直段的實際長度，所以在幾何尺寸計算時，還應該把彎管的輪廓尺寸確定下來。水利工程鋼管通常為卷制管節再組合焊接成彎管，焊接后的鋼管管壁要平順，水流阻力和水頭損失要小等因素。故管軸線坡度不宜過陡，水平轉彎不宜過急，轉彎角度一般小于90°，最小轉彎半徑一般采用鋼管直徑的3倍較為合適，轉彎半徑大，可減少阻力和水頭損失，但施工安裝工作量大，相應鎮墩體積也大，轉彎半徑過小則彎管管壁不易做得平順，水流阻力和水頭損失較大[2]。

根據以上計算即可設計出AOB平面內彎管的切點坐標。

切點A坐標：

切點B坐標：

1.3 安裝角計算

彎管安裝到空間位置時，彎管自身的平面和它的中心軸線與管軸線上的坐標軸是不重合的，它們之間相差的角度就是空間彎管的安裝轉角。安裝角在上游端管口和下游段管口的角度是不同的，為了安裝的方便時，不僅要知道彎管切點A、B的坐標，還需要知道通過A、B點與鋼管軸線正交的平面，以及彎段如何傾斜，向那一方向安裝，故還須計算彎管上、下切口的安裝角。

1.3.1 上切口安裝角計算[1]

空間彎管AOB所在平面的法向量。

過原點O(0,0,0)AOB平面的點法式方程，記作平面AOB：

il·x+jl·y+kl·z=0

過切點A(xA,yA,zA)垂直于直線OA平面的法向量：m=(xA,yA,zA)

⊥直線OA且過A點的平面點法式方程，記作平面⊥OA：

xA·(x-xA)+yA·(y-yA)+zA·(z-zA)=0

過切點A，A(xA,yA,zA)水平面的法向量：n=(0,0,1)

水平面的點法式方程，記作水平面A：z=zA

上切口安裝角：

1.3.2 下切口安裝角計算

與上切口安裝角計算類似。

過原點O(0,0,0)AOB平面的點法式方程，記作平面AOB見上切口安裝角計算：

過切點B點(xB,yB,zB)垂直于直線OB平面的點法向量：r=(xB,yB,zB)

⊥直線OB且過B點的平面點法式方程，記作平面⊥OB：

xB·(x-xB)+yB·(y-yB)+zB·(z-zB)=0

過切點B，B(xB,yB,zB)水平面的點法向量：s=(0,0,1)

水平面的點法式方程，記作水平面B：z=zB

下切口安裝角：

1.4 圓心坐標計算

平面AOB、平面⊥OA和平面⊥OB的交點即為圓心，聯列3個平面方程：

求解即得出圓心坐標，O′(x′o′,y′o,z′o)。

通過將圓心坐標O’(x′o′,y′o,z′o)與A(xA,yA,zA)、B(xB,yB,zB)兩點分別求距，得出二者距離均等于轉彎半徑，可進一步驗證計算結果，見下式。

1.5 計算算例

以轉折點O為坐標原點，已知點A′和B′的坐標分別為A′(-40,-30,15)，B′(50,-20,-10)，鋼管轉彎半徑R=12m，計算彎管的幾何參數。

1.5.1 轉折角計算

按照上述推導公式可進行空間彎管的計算，管軸線的轉折角ε。

ε=57.173°

1.5.2 上切口安裝角計算

空間彎管AOB所在平面的法向量：

(8.973,5.234,34.395)

過原點O(0,0,0)AOB的點法式方程，平面AOB：

8.973·x+5.234·y+34.395·z=0

過切點A垂直于直線OA平面的法向量：m=(-5.01,-3.758,1.879)

⊥直線OA且過A點的平面點法式方程，平面⊥OA：

(-5.01)·(x+5.01)+(-3.758)·(y+3.758)+1.879·(z-1.879)=0

過切點A，A(-5.01,-3.758,1.879)水平面的法向量：n=(0,0,1)

水平面的點法式方程，水平面A：z=1.879

平面AOB與平面⊥OA交線的方向數：

平面⊥OA與水平面A交線的方向數：

1.5.3 上切口安裝角

φs=1.908°

1.5.4 下切口安裝角計算

過切點B垂直于直線OB平面的點法向量：r=(5.969,-2.388,-1.194)

⊥直線OB且過B點的平面點法式方程，平面⊥OB：

5.969·(x-5.969)+(-2.388)·(y+2.388)+(-1.194)·(z+1.194)=0

過切點B，B(5.969,-2.388,-1.194)水平面的點法向量：s=(0,0,1)

水平面的點法式方程，水平面B：z=-1.194

平面AOB與平面⊥OB交線的方向數：

平面⊥OB與水平面B交線的方向數：

下切口安裝角：

1.5.5 圓心坐標計算

平面AOB、平面⊥OA和平面⊥OB的交點即為圓心，聯列三個平面方程：

求解即得出圓心坐標，O’(2.094,-13.421,1.496)。

2 線路工程簡化計算

在供水線路工程中，管軸線坐標隨管線走向變化，以其中一個轉折點為例，可將鋼管轉折點前段軸線置于XOZ平面，令yA'=0，可知轉折點前段直線OA’(xA',0,zA')，轉折點后段直線OB’(xB',yB',zB')，如圖2所示。

圖2 空間彎管幾何計算圖

根據上述計算過程介紹，空間彎管幾何計算過程已經明確，根據其坐標系，則有:

直線OA′與OB’在AOB平面內的夾角ε滿足下式：

ε=cos-1(-cosθa·cosθb·cosα+sinθa·sinθb)

在線路工程中，θa、θb和α角一般為已知角度，故計算可大大簡化。確定轉彎角度后，切點坐標、上下切口安裝角及圓心坐標計算同第二節，在此不在贅述。

3 結 語

空間彎管各參數計算工作量較大，通過上述公式推導后結合計算軟件，可將其計算參數化，簡化計算過程，簡化后可快速計算出彎管平面轉折角、上下切口安裝角和圓心等參數，在工程設計中可有效提高計算效率[3]。