A-Browder定理及其攝動

孫晨輝，王寧，曹小紅

（1.渭南師范學院數學與統計學院，陜西 渭南 714099； 2.陜西師范大學數學與統計學院，陜西 西安 710119）

A-Browder定理及其攝動

孫晨輝1，王寧2，曹小紅2

（1.渭南師范學院數學與統計學院，陜西 渭南 714099； 2.陜西師范大學數學與統計學院，陜西 西安 710119）

運用新定義的譜集，刻畫了有界線性算子滿足a-Browder定理的充要條件。通過該譜集，分別研究了有界線性算子的a-Browder定理與單值延拓性質的緊攝動問題，并對二者之間的關系進行了探索。

a-Browder定理；單值延拓性質；譜；攝動

20世紀初期，Weyl在檢驗自伴算子的Weyl譜時發現了Weyl定理。之后，Weyl定理得到進一步推廣和發展。例如，HARTE等［1］獲得了Browder定理；RAKO?EVI?［2］刻畫了Weyl定理的另外2種變形：a-Weyl定理和a-Browder定理。這些變形被稱為Weyl型定理。有界線性算子的Weyl型定理能很好地反映各類譜集的結構特征和分布情況，因此對Weyl型定理的研究是譜理論的重要課題之一。近年來，Weyl型定理備受關注，并取得了許多好的結果［3-5］。算子的攝動理論有助于更好地了解攝動后特征值的分布規律，國內外學者對滿足Weyl型定理的算子的攝動進行了有益的研究［6-8］。本文將以半Fredholm算子特性為基礎，運用文獻［9］中定義的譜集對有界線性算子a-Browder定理的判定做等價刻畫，不僅給出了不同于傳統定義的判定方法，而且能更深刻地了解當線性算子滿足a-Browder定理時各類譜集的結構特征與分布情況。另外，分別研究了線性算子a-Browder定理與SVEP的緊攝動問題，探討了二者在緊攝動下的關系。

1 預備知識

本文主要探討與有界線性算子a-Browder定理相關的問題，通過新的譜子集與的關系，給出了算子滿足a-Browder定理的充要條件，并運用新譜集研究有界線性算子的a-Browder定理與單值延拓性質的穩定性，得到了一些有意義的結果。

2 A-Browder定理的判定

顯然

若不然

證明 （i）→（ii）。由定理1，知

3 A-Browder定理及單值延拓性質的緊攝動

下面研究線性算子的SVEP與a-Browder定理的緊攝動及二者之間的關系。

用類似的方法可證

由定理2，可得：

證明 必要性。由推論3，必要性顯然成立。

反之，由條件（ii），利用類似于定理2的證明方法，可以驗證連通，所以。由定理2的必要性證明，知存在緊算子，使得，且對任意的，。從而由定理2，可知充分性成立。

下面討論a-Browder定理的緊攝動。

［1］HARTE R， LEE W Y. Another on Weylapos;s theorem［J］. Transactions of the American Mathematial Society， 1997，349（5）： 2115-2124. DOI：10.1090/s0002-9947-97-01881-3

［2］RAKOCEVIC V. On a class of operators［J］. Mathematicki Vesnik， 1985， 37（4）：423-426.

［3］WU X F， HUANG J J，CHEN A. Weylness of 2×2 operator matrices ［J］. Mathematische Nachrichten， 2018，291（1）： 187-203. DOI：10.1002/mana.2016 00424

［4］DONG J， CAO X H，DAI L. On Weylapos;s theorem for functions of operators ［J］. Acta Mathematica Sinica， 2019，35（8）： 1367-1376. DOI：10.1007/s10114-019-7512-8

［5］GUPTA A， KUMAR A. Properties （BR）and （BgR）for bounded linear operators ［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo， 2020，69（2）：601-611. DOI：10.1007/s12215-019-00422-3

［6］AIENA P， TRIOLO S. Weyl-type theorems on Banach spaces under compact perturbations ［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2018，15（3）： 126. DOI：10.1007/s00009-018-1176-y

［7］JIA B， FENG Y. Property （R）under compact perturbations ［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2020，17（2）， 73. DOI：10.1007/s00009-020-01506-6

［8］SHI Y M. Stability of essential spectra of self-adjoint subspaces under compact perturbations［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2016，433（2）： 832-851. DOI：10.1016/j.jmaa.2015.08.017

［9］CAO X H， GUO M Z，MENG B. Weylapos;s spectra and Weylapos;s theorem［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2003，288（2）： 758-767. DOI：10.1016/j.jmaa.2003.09.026

［10］FINCH J K. The single valued extension property on a Banach space ［J］. Pacific Journal of Mathematics， 1975，58： 61-69. DOI：10.2140/pjm.1975.58.61

［11］TAYLOR A E. Theorems on ascent，descent， nullity and defect of linear operators［J］. Mathematische Annalen，1966， 163（1）：18-49. DOI：10.1007/BF02052483

［12］JIANG C L， WANG Z Y. Structures of Hilbert Space Operators［M］. Hackensack：World Scientific Publishing， 2006.

［13］ZHU S， LI C G. SVEP and compact perturbations ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2011，380： 69-75. DOI：10.1016/j.jmaa.2011.02.036

A-Browderapos;s theorem and its perturbations

SUN Chenhui1, WANG Ning2, CAO Xiaohong2

（1. School of Mathematics and Statistics，Weinan Normal University，Weinan714099，Shaanxi Province，China；2. School of Mathematics and Statistics，Shaanxi Normal University，Xiapos;an710119，China）

In this paper, by using the newly defined spectrum set, the necessary and sufficient conditions for bounded linear operators satisfying a-Browderapos;s theorem are obtained. Moreover, by using the spectrum set, the compact perturbations of a-Browderapos;s theorem and the single valued extension property for bounded linear operators are studied respectively, and the relationship between them is discussed.

a-Browderapos;s theorem; single valued extension property; spectrum; perturbation

O177.2

A

1008?9497（2022）03?287?07

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.004

2020?08?25.

陜西省教育廳2021年度一般專項科研計劃項目（21JK0637）；渭南師范學院2021年人才項目（2021RC16）.

孫晨輝（1986—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9151-9494，女，博士，講師，主要從事算子理論與算子代數研究， E-mail：sunchenhui1986@163.com.