互動式數學科普設計與實踐
——以素數與密碼為例

劉新 楊曉英 文 陽 李盤潤

（四川信息職業技術學院，四川 廣元 628040）

數學是自然科學的基礎和國家重大技術創新發展的基礎，已成為航空航天、國防安全、信息、人工智能、先進制造等領域不可或缺的重要支撐[1]。自十八大以來，習近平總書記在很多場合強調了數學的重要性。2020年9月，習近平總書記在科學家座談會上強調“要加強特別是要把原始創新能力提升擺在更加突出的位置，努力實現更多‘從0到1’的突破?；A研究是科技創新的源頭。人才是第一資源?！盵2]要加強數學、物理等基礎學科建設，吸引基礎拔尖學生投身基礎研究。2019年，教育部、科技部、中國科學院和國家自然科學基金委聯合印發《關于加強數學科學研究工作方案》[3]（以下簡稱“方案”），凸顯了國家對于數學的重視。2020年，教育部發布了《教育部關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》，也稱“強基計劃”[4-5]，主要是為了選拔基礎學科拔尖的學生，重點在數學、物理等相關專業招生。國家對基礎學科的重視落到了實處。培養優秀數學人才首先要培養中小學生對數學的興趣，除了常規的教育教學之外，數學科普也是十分重要的方式，扮演著重要的角色。在《方案》中也特別指出支持高校開展數學科普工作和數學文化建設。

1 廣元市數學科普現狀

廣元市作為欠發達地區，近年來以“科技之春”科普月、全國科技活動周、“科普大篷車”等形式開展了形式多樣的科普活動，全市各類科普基地已達到34個，每年服務10萬余人次，在提升全民科學素質方面起到積極的促進作用。但科普活動多以環保、航空、消防、自然保護、博物館等類別為主，而針對數學的科普報道較少。

2 國內數學科普現狀

隨著國家重視度的提高和《方案》的發布，數學科普尤其是線上數學科普活動近年來顯著增加，以中國數學會、中國工業與應用數學學會、運籌學會、中科院等國家級機構單位為主。目前國內主要的科普形式有兩種：

第一種是科普講座。科普專家在線講、學生在線聽，內容以數學發展史、數學家的故事、經典數學知識講解為主，優點是科普主講人都是院士、教授和數學科研工作者，他們對數學歷史和未來趨勢了解透徹，講解也比較通俗易懂、深入淺出。但是缺點也很明顯：（1）由于宣傳力度不夠，科普覆蓋度不夠；（2）中小學生學習期間無法使用手機或電腦，甚至一些學生沒有智能設備，加之學校沒有進行合理的統籌規劃，所以大部分學生沒有時間和渠道觀看了解這些科普講座；（3）欠發達地區基礎設施不完善，而且接觸院士、教授講座的機會非常少，也進一步制約了學生了解數學的機會和對數學興趣的培養；（4）線上講座，一瞬而過，學生只能快速了解，難以加深對數學的理解。

第二種科普形式是創建數學科普館或數學科普展示室。以實物的形式進行操作，輔以講解員的講解，實物大相徑庭，主要有方輪自行車、孔明鎖、勾股定理、最速下降線、單葉雙曲面、橢圓焦點等。此類科普形式的優點是有實物，學生們可以操作；而缺點有：（1）實物設備數量少，不能滿足更多學生操作；（2）講解員數量少，不能照顧到大多數學生；（3）實物設備的更新率低，設備購買費用是大多數學校無法承擔的；（4）受場地的局限，每次參觀的學生人數比較少。

最后，我們通過2022年春季學期數學科普活動的開展，也認識到欠發達地區中小學對科普和科普重要性的認識不夠，甚至于聞所未聞，這也在一定程度上制約了教育對原始基礎理論創新的貢獻度。

鑒于以上原因，四川信息職業技術學院數學應用研究中心的老師們發揮專業特長和數學研究的優勢，在廣元市中小學開展了“互動式數學科普”活動，將素數與密碼、3D打印、搜索引擎等與生產生活密切相關的技術領域結合，通過互動游戲融入科普活動中，學生深入了解數學的“無用之用、方為大用”，積極參與互動游戲中，引導學生開拓創新的意識，受到學校師生的普遍歡迎。做“不走的”廣元數學科普團隊。

3 素數與密碼科普設計與實施

素數與密碼是團隊一直構思的科普主題。習近平總書記指出“沒有網絡安全就沒有國家安全”。網絡安全首先要做到密碼安全，密碼學自然成為重要的學科，而數學與密碼學密不可分，這里我們介紹其中的一類：公鑰密碼學。

隨著信息時代的飛速發展，互聯網互聯互通已成為現代社會的發展方式，那么通訊保密就成為互聯互通的基礎，即信息安全問題。1976年美國年輕數學家和計算機專家棣弗（W.Diffe）、赫爾曼（M.Hellman）提出一種全新的公開密鑰體制。1977年美國麻省理工學院的羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）[6-7]依據棣弗和赫爾曼設想提出了一種具體的公開密鑰體制，后稱其為RSA加密算法[8]，該算法于2002年獲得“圖靈獎”。

RSA公開密鑰密碼體制的原理是：根據數論，尋求兩個大素數比較簡單，而將它們的乘積進行因式分解卻極其困難，那么可以將乘積公開作為加密密鑰[9-11]。而RSA算法依賴的另外一個數學基礎是“中國剩余定理”。

基于以上背景，我們將素數、大數分解、中國剩余定理、摩斯密碼、RSA算法等元素融入“素數與密碼”主題科普中。具體流程如下：

第一，以QQ、游戲登錄需要什么引入“密碼”主題，然后通過愛國影片《永不消逝的電波》中的片段說明密碼系統的重要性，強調國家安全包括網絡安全，就需要建立自己國家的密碼安全體系，以保證國家經濟建設和社會穩定發展。

第二，以小模型輔助科普講解。密碼是人們既熟悉又相對陌生的概念，如何讓學生更好地了解它、熟悉它呢？我們將影片主人翁“李俠”使用的發報機和摩斯密碼融入科普中，通過微型發報機的操作介紹摩斯密碼，通過練習讓學生親身體驗并掌握摩斯密碼的操作，快速引起學生的興趣。

第三，實物演示增進理解。通過主講老師操作發報機，學生破譯老師所發送的信息，提升了同學對摩斯密碼的了解；再邀請學生實際操作發報機，然后其余同學破譯，提升了同學們的參與度，大家在互動游戲中了解了戰爭時期我黨情報人員的基礎工作，增強他們的責任感、自豪感。

第四，介紹素數。素數也稱質數，是小學五年級的知識點，所以無論高年級的小學生還是中學生都能理解，而將一個大數分解為兩個素數的乘積以及與之相關的中國剩余定理是同學們不了解的知識。如果僅僅通過PPT介紹，則過程偏理論、較為枯燥，所以我們將大數分解和摩斯密碼結合在一起，融入此環節的互動游戲中：（1）主講老師通過給定一些由易到難的大數，讓學生們進行分解，逐漸熟悉大數分解的過程，進而理解隨著大數位數的增加，將其分解成兩個素數的難度逐漸增大；（2）設計游戲“百寶箱”：老師通過微型發報機發送一個大數，學生通過摩斯密碼本破譯出老師發送的大數，然后進行整體思考完成大數分解，再將分解出的素數組合成一個密碼，最后學生使用自己的密碼嘗試打開寶箱，獲得箱中的“寶藏”。根據學生的實際情況，我們也可以增加難度，由一組學生自行設置寶箱密碼，小組商議一個可以分解為兩個素數乘積的大數，翻譯成摩斯密碼形式，再通過微型發報機發送，其余小組接收破譯大數，進行大數分解，然后使用分解的素數組合成密碼，嘗試打開寶箱。此過程完全發揮學生的主觀能動性，培養他們的獨立思考能力和團隊協作精神。

通過此游戲將素數分解與摩斯密碼結合在一起，以“寶藏”作為獎勵，可以充分調動學生深度參與游戲的積極性，更加深了他們對素數分解的理解。

第五，思政點融入。素數分解后，主講教師將引入“中國剩余定理”介紹素數分解的歷史淵源。中國剩余定理，也稱孫子定理，是中國古代求解線性同余式組的方法，是數論中的一個重要定理。一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期（距今1600多年）的數學著作《孫子算經》，其中記載的“物不知數”問題是中國剩余定理的一個典型算例。通過此知識點的介紹可以拓展中小學生對中國古代數學偉大成就的了解，增強他們的文化自信。

而RSA加密算法則依賴于線性同余方程組的求解。什么是同余呢？給定一個正整數m，稱之為模。如果用m去除任意兩個整數a與b所得的余數相同，那就稱a,b對模m同余，記作a≡b(modm)[12-13]。

RSA算法的簡潔描述如下[14-15]：

1.任意選取兩個不同的大素數p和q計算乘積n=pq，及歐拉函數φ(n)=(p-1)(q-1)。

2.任意選取一個大整數e，滿足e與φ(n)互質，整數e用做加密鑰。

3.確定解密鑰d，滿足(de)modφ(n)=1，即de=kφ(n)+1,k≥1是一個任意的整數。

4.公開整數n和e，秘密保存d。

5.將明文m（m＜n是一個整數）加密成密文c，加密算法為

c=E(m)=memodn

6.將密文c解密為明文m，解密算法為

m=D(c)=cdmodn

因為只根據n和e是無法推算出d的，所以RSA算法是安全有效的。

通過通俗易懂的語言讓學生了解高深的知識，感受“小知識大用處”，并鼓勵他們保持好奇心和獨立思考的習慣，一定可以做出偉大的成績。

第六，點到面的升華。此時我們將提及著名密碼學家——王小云院士。2004年8月15日，在美國召開的國際密碼大會，來自山東大學的王小云宣布團隊破解了MD5算法[16]，這是密碼學領域的重大發現，引發了密碼學界的極大關注，不久她與團隊再次宣布破解SHA-1密碼算法，再一次震驚世界，但是面對國外眾多研究機構的邀請，王小云院士不為所動，帶領團隊設計的哈希函數SM3現為國家密碼算法標準[17]，已在金融、交通、國家電網等重要經濟領域廣泛使用，為我國的網絡安全做出了突出貢獻。

4 結語

推動科技創新，就必須更加重視基礎研究。同時我們也深知基礎研究實力的提升是一件久久為功的事，需要各個環節通力配合、協同推進，這一過程中，科學普及是深化人民群眾對基礎研究、科技創新認識的重要方式之一。數學研究是基礎中的基礎，更需要我們加大科學普及，讓學生們喜歡數學、愛好數學，培養他們從事基礎研究的興趣；讓廣大教師、人民群眾意識到數學對于國家繁榮富強的重要性，形成全社會重視數學的氛圍，這都有利于早日實現數學強國的目標。