基于約束最小二乘的穩健發射波束零點控制方法

付 偉，柯 濤，宋 佳，吳 儉

(中國船舶集團有限公司第八研究院，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

隨著數字集成電路技術的重大突破，采用數字T/R組件的有源相控陣雷達能夠同時實現發射數字波束形成和接收數字波束形成的功能。相比通過接收數字波束零點控制技術提高雷達抗干擾能力和復雜環境下的目標檢測能力，發射波束零點控制技術[1-2]更加能夠提高雷達的低截獲性能，并且能避免對其他設備的電磁頻譜干擾。

對于理想的陣列結構(假設陣元為各向同性的等幅同相理想點源，陣元之間沒有相互影響，陣元位置精確已知且沒有擾動誤差)，文獻[3]～[5]采用遺傳算法、粒子群優化算法等搜索解空間實現波束的零點控制，存在解的不確定性和不能在線實時計算的缺點。文獻[6]～[8]通過求解附加的多點線性約束優化問題獲得發射波束的最優權值的解析解。為了提高算法的穩健性，文獻[9]～[10]通過最小二乘約束優化來展寬零點。然而，在工程實際中，陣列天線存在互耦效應、陣元通道幅相誤差、陣元位置擾動誤差、正北標校誤差等非理想因素，傳統的零點控制算法性能下降，甚至引起波束主瓣產生畸變，以及零點方向不能正確地指向期望方向。因此，研究陣列誤差下發射波束零點產生算法的穩健性具有重大的理論意義和工程實用價值。

本文針對陣列誤差下穩健的寬零點約束發射波束形成方法，給出了陣列誤差已知和未知條件下的最優權值矢量分析。當陣列誤差已知時，可首先求解理想陣列條件下寬零點約束的最優權值矢量，然后根據陣列誤差矩陣進行修正。當陣列誤差精確值不可知時，可首先求解陣列誤差條件下無零點約束的常規穩健最優權值矢量，然后通過最小二乘誤差逼近求解寬零點約束下的最優權值矢量。數值仿真結果表明，所提方法能夠解決陣列誤差下寬零點約束發射波束形成的穩健性問題。

1 信號模型

本文以均勻矩形陣列為例闡述穩健的發射波束零點產生方法，應用于均勻矩形陣列的方法同樣適用于其他結構布局的平面陣列和立體陣列。

假設空間存在一均勻矩形陣列，如圖1所示。

圖1 均勻矩形陣列幾何坐標示意圖

(1)

工程實際中，由于加工工藝誤差以及安裝誤差等因素，陣列天線存在位置誤差、通道幅相誤差、互耦以及目標指向誤差，則式(1)可修正為：

(2)

式中：x′m′n′(t)=s(t-τ′mn)+snoise,mn(t)；aΔmn和φΔmn分別表示通道幅度誤差和相位誤差;υmn,m′n′表示陣元(m′,n′)對陣元(m,n)的耦合;τ′mn表示帶有位置誤差和目標指向誤差的發射信號空間傳播延時，τ′mn=(R+(mdx+dΔxm)u′+(ndy+dΔyn)ν′)/c，dΔxm和dΔyn分別表示x軸方向和y軸方向陣元位置誤差，u′=cos(β+Δβ)sin(α+Δα)，ν′=sin(β+Δβ)，Δβ和Δα分別表示俯仰和方位目標指向誤差。

將所有陣元發射信號求和，式(2)的矩陣形式可以寫為：

y′(t)=wHυgΔ(s+snoise)

(3)

式中：上標H表示矩陣的共軛轉置；w表示幅相加權矩陣；υ表示互耦矩陣；gΔ表示通道幅相誤差矩陣；s表示陣元發射信號矩陣；snoise表示噪聲矩陣。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

當發射信號s(t)為窄帶信號時，s(t-τ′mn)可近似表示為[11]：

(9)

式(3)可另寫為：

(10)

式中：dΔ表示陣元位置誤差矩陣；v表示陣列導向矩陣，具體表示為：

(11)

(12)

當s(t)表示寬帶發射信號時，可采用文獻[9]中的方法推廣到時域寬帶波束形成中，由于篇幅所限，不再贅述。

2 穩健寬零點約束的發射波束形成方法

2.1 陣列誤差已知

本節首先給出陣列誤差已知的穩健寬零點約束發射波束形成方法。不失一般性，假設目標指向為(u0,v0)，則理想陣列條件下空間合成信號為：

(13)

為了使(u0,v0)方向陣列信號輸出最大，常規波束方向圖歸一化權值選為：

(14)

基于以上最優權值，為了使波束在(ui,vi),i=1,2,…,r方向產生r個零點，采用最小二乘誤差逼近建立如下優化模型[11]：

(15)

為求解式(15)的優化問題，利用拉格朗日乘子法得到最優的權值矢量為：

(16)

工程實際中，由于安裝誤差等因素，存在方位和俯仰角估計誤差，目標指向不能精確獲得。為了有效避免己方設備間的電磁干擾或防止被敵方截獲，在零點附近進行展寬設計，建立如下的優化模型：

(17)

相比于文獻[9]，上式減少了r-1個約束，從而增加了陣列自由度，能夠更好地抑制干擾。上述最優權值可采用文獻[10]中的方法進行求解。

當存在陣列誤差時，式(17)的優化模型可修正為：

(18)

式中：E=υgΔ表示誤差矩陣。

對比式(17)和式(18)可知，陣列誤差下穩健寬零點約束的最優權值矢量wopt滿足：

(19)

2.2 陣列誤差未知

由于陣元位置誤差矩陣dΔ的值隨指向變化，或者當陣列誤差矩陣的精確值未知時，式(19)不再適用。利用收發天線的互易性求解接收狀態下的權值，建立如下優化模型：

(20)

為求解式(20)陣列誤差下穩健零點波束最優權值矢量，定義ε=E-I，I表示MxMy×MxMy的單位矩陣，則：

(21)

式中：εmax表示‖εv(u0,v0)‖2的最大值。

從上式可以看出，要使wHEv(u0,v0)=1成立，式(21)需要滿足：

(22)

式中：κ1表示小的正數。

式(20)等價為：

(23)

式中：Rn=PHP，表示矩陣的cholesky分解。

更進一步地，式(23)可以表示為二階錐規劃問題，借助凸優化工具箱SeDuMi[12]或者CVX[13]進行求解，如下式所示：

(24)

通過求解式(24)可獲得陣列誤差下穩健零點波束最優權值矢量。考慮到實際中干擾源位置誤差、外界環境影響以及接收通道成本等因素，提出一種次優的求解方法，如下所述。

建立如下優化模型：

(25)

(26)

因為：

wHC-ε′max‖w‖2≤wHEC≤wHC+ε′max‖w‖2

(27)

(28)

所以可建立如下的優化模型：

(29)

3 仿真實驗

實驗條件設置如下：均勻矩形陣列，陣元數10×10，陣元間距為最小波長的一半，陣列波束指向為(0,0)，期望零點方向(0.5,0.5)，方位展寬0.2，通道幅度和相位均方根誤差分別假設為1 dB和10°，互耦矩陣元素假設為υmn,m′n′=0.4|m+n-m′-n′|，陣元位置誤差假設服從陣元間距5%的均勻分布。基于以上仿真參數，為了驗證本文方法的有效性，進行如下仿真實驗。

3.1 陣列誤差已知

圖2(a)給出了理想陣列條件下常規零點波束方向圖。從圖中可以看出,波束在(0,0)方向值最大，形成了主波束，在(0.5,0.5)方向值最小，形成了深零點。圖2(b)給出了陣列誤差條件下的零點展寬波束方向圖。從圖中可以看出，由于誤差的影響，陣列雖然在(0,0)方向形成了主波束，但在(0.5,0.5)方向波束失真嚴重，未能形成理想的寬零點。圖2(c)給出了誤差校正后的展寬零點波束方向圖。從圖中可以看出，通過對陣列誤差進行補償，可在期望零點方向形成理想的展寬深零點波束。

為更直觀地展現所提方法的有效性，圖3給出了v=0.5時的剖面圖。從圖中可以看出，常規零點波束方向圖僅在方位為0.5時具有深零點，誤差校正后的展寬零點波束方向圖在u為0.4～0.6之間均具有深零點，而誤差校正前的展寬零點波束方向圖未能形成較深零點。

圖2 零點波束方向圖對比

圖3 v為0.5時零點波束方向圖剖面對比圖

3.2 陣列誤差未知

圖4給出了采用干擾源法形成的波束零點方向圖。從圖中可以看出，不同的干擾源數量對形成的寬零點波束有很大影響。1個干擾源可在1個方向形成深零點，2個干擾源可在2個方向形成深零點，3個干擾源可在一定的區間范圍形成零點，但零點深度受限。4個或4個以上干擾源才能在理想的方向形成展寬深零點波束。在實際應用中該方法會受到測試條件、實施成本以及環境因素等影響，實用性有待商榷。

圖4 不同干擾源數的寬零點波束方向圖

作為一種次最優方法，圖5給出了式(29)求解的權值形成的波束方向圖在v=0.5時的剖面圖。從圖中可以看出，由于受陣列誤差影響，在u為0.4～0.6之間形成了低于-35 dB的零點，能在一定程度上提高雷達的低截獲性能以及避免對其他設備電磁頻譜的干擾。

圖5 本文方法寬零點波束方向圖

4 結束語

陣列誤差下穩健的寬零點發射波束能夠有效減小特定方向的發射能量，避免對己方設備的電磁頻譜干擾及被敵方接收機捕獲，一定程度上提高了雷達的低截獲性能。本文分析了陣列誤差已知和未知情況下的穩健寬零點波束產生方法。當陣列誤差已知時，通過對誤差的精確校正可以形成理想的展寬深零點波束。當陣列誤差未知時通過遠場干擾源法，利用收發天線的互易性可以得到接收寬零點波束權值，應用于發射波束形成穩健發射寬零點波束。針對實際應用場景，本文也提出了一種次最優的寬零點發射波束權值產生方法。仿真分析結果表明所提方法能在一定程度上形成展寬的零點波束，能夠改善多設備間的電磁頻譜干擾及低截獲性能，具有較好的工程實際應用價值。