懸浮隧道子結構簡化模型與動力響應分析

潘權，易壯鵬，楊勝江，顏東煌，楊聰

(1.長沙理工大學 土木工程學院，湖南 長沙，410114；2.貴州交通建設集團有限公司，貴州 貴陽，550001)

懸浮隧道[1-2]是一種新型的水下交通結構，具有跨越能力超強、對水面環境影響小、單位長造價不隨跨度變化等優點。錨索水下固定是一種有效的支撐錨固方式，具有交通承載的功能，國內外學者對其在波浪、洋流、交通荷載、爆炸[3]、地震等動力荷載作用下的結構建模[4]、動力響應[5]和合理參數設置進行了廣泛研究。懸浮隧道由管體、錨索組成，針對這兩類構件單獨建模可很好地了解局部振動并突出某些非線性效應。就管體而言，SATO 等[6-7]提出了簡化之后的均勻彈性地基梁模型，并給出了等間距支撐剛度的取值范圍，在此基礎上，XIANG等[8-9]探討了沖擊荷載下的振動效應；秦銀剛等[10]基于簡支梁模型探討了管體的合理支撐間距；田雪飛等[11]提出了研究管體振動的彈性簡支梁-彈性支撐剛性梁疊加模型。整體上，現有管體模型一般假定每一處錨索支撐剛度是相同的，適用于特定的均勻情形并得到一些相應的規律。然而，跨度范圍內錨索支撐剛度與材料、截面、錨固長度等均相關，實際擬建水域的地形地貌具有長、深、陡等特點，不同位置錨索的支撐剛度不相同。研究實際交通荷載作用下多錨索的懸浮隧道管體建模及分布不均勻等因素的影響具有重要意義，目前人們對這方面的研究較少。為此，本文作者基于一種新的建模思路，即采用子結構離散/整合技術構建懸浮隧道的簡化分析模型，以多錨索約束且其剛度非均勻的懸浮隧道為對象，研究錨索支撐剛度對結構自振特性、移動荷載響應的影響。將管體沿錨索支撐點離散為多段梁單元，采用多節段子結構離散/整合技術[12-13]，建立管體的動力學模型。同時，采用Morison 公式[14]描述水動力荷載，考慮高鐵列車[15]的移動荷載響應。

1 問題描述

1.1 力學模型

為模擬跨越長、深、陡水域的懸浮隧道，適用于跨內錨索多點支撐且支撐剛度不均勻的情形，將任意第i個位置錨索的作用等效為豎向剛度為Ksi的彈性支撐，將管體視為在Ksi處分開的梁節段，其結構示意圖如圖1所示。為探索一般性規律及便于推導，引入如下基本假定和簡化條件：1) 隧道管體簡化為歐拉-伯努利梁；2) 兩端邊界為鉸接；3) 隧道管體材料、截面等參數沿跨徑為常數；4) 采用Morison公式[14]考慮水動力荷載；5) 荷載[15]等效為一列移動集中力。

圖1 跨內多錨索支撐懸浮隧道的結構示意圖Fig.1 Schematic diagrams of a submerged floating tunnel with multiple intermediate cable supports

圖1中，直角坐標系xOy中坐標原點位于左端點；Vi為第i節段的豎向位移；mt為單位長質量；Et和It分別為彈性模量和慣性矩；L為總跨度；n為錨索的數量；D i為錨索處橫坐標。考慮移動荷載列Ph(h=1～m)以速度vp通過懸浮隧道，t時刻的荷載位置為xh=vpt-(h-1)Lm-Di-1(其中，m為集中力數目，Ph為集中力大小，Lm為相鄰集中力間距)。根據假定條件4)水動力荷載Fd(x，t)的表達式為

式中：ρw為流體密度；Cm和Cd為水動力系數；D為管體直徑。借鑒文獻[6-9,16]中處理方法，基于子結構離散/整合技術構建新的懸浮隧道簡化分析模型，第i節段管體節段的量綱一動力方程可寫為

式中：γ為長細比；δ為delta 函數。量綱一變量的轉換關系為

其中：c為阻尼系數；W=EtIt·?2Vi/?x2，Q=EtIt·?3Vi/?x3，分別為管體彎矩與剪力；為考慮流體附加質量的隧道管體單位長度質量；vi，，，di，lm，τ，ksi，，，ph，，和cd分別為與Vi，x，xh，Di，Lm，t，Ksi，W，Q，Ph，vp，c和Cd對應的量綱一變量。彈性支撐ksi位于相鄰節段銜接處，由此處的量綱一位移、量綱一轉角、量綱一彎矩和量綱一剪力滿足變形協調關系[12-13]可以得到：

式中：右上標的加、減號分別表示截面的左、右側。

1.2 自振特性

對于整體結構，系統解為{v1，v2，…，vn+1}T=其中i 為虛數單位，上標T表示裝置，ωj為系統自振量綱一頻率，φji()為第j階模態第i個節段的振動幅度。將其代入與式(2)對應的無阻尼線性自由振動方程，可得如下特征方程：

其解為

其中，2×4 階邊界矩陣BL和BR及4×4 階銜接矩陣Θi均為ηj，di和ksi的函數。整合跨度內n+1個節段可得懸浮隧道的整體特征方程為

由式(8)可求得各階量綱一頻率及向量A1，結合式(7)可得懸浮隧道結構正交規范化的整體模態[17-18]。

1.3 移動荷載響應

懸浮隧道振動系統的量綱一解可以表示為各階模態與對應時間廣義坐標qj(τ)的乘積：

由模態正交性和Galerkin積分取前N階，可得qj(τ)的求解方程：

其中：q(τ)={q1(τ)，q2(τ)，…，qN(τ)}T，為廣義坐標向量；質量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K為對角矩陣，其第j個主對角元素分別為1，cˉ，ω2j；FQ(τ)，FM(τ)和FH(τ)分別為與非線性項、移動荷載項和波流荷載項對應的向量，其與第j階模態相關的分量分別為

式中：sign(x)為符號函數。

2 錨索支撐剛度影響分析

2.1 結構參數、列車荷載與錨索支撐剛度確定

對于尚未建成的懸浮隧道，通過大量參數分析獲取結構性能是可取的途徑。因此，采用所提方法進行分析時，參考文獻[19]選取如下基本結構參數：L=1 000 m，D=15 m，ρw=1 000 kg/m3，ρt=2 500 kg/m3，Et=34.5 GPa，錨索彈性模量Ec=200 GPa，Cm=Cd=1.0。

以高速行駛的列車為背景，考慮作用于懸浮隧道上的移動荷載，車廂軸重力組成的荷載如圖2(a)所示。為便于探討一般性規律，將列車等效為圖2(b)所示的移動集中力[15]。根據所選懸浮隧道基本參數將1列8車廂(每節車廂質量為60 t)高鐵列車的荷載乘以2 作為作用于管體上的移動荷載，于是，取m=8，Ph=1 200 kN，vp=250 km/h，Lm=25 m。

圖2 高鐵列車編組及等效荷載示意圖Fig.2 Schematic view of high speed railway train carriage and equivalent loads

針對錨索豎向剛度，一方面，為了研究ksi變化對頻率的影響，通過量綱一剛度ks建立量綱一剛度ksi之間的聯系。考慮跨度內n有3，4，7 和9個支撐錨索的均勻情形，對應表1內的工況1至工況4，并以n為4和9為例考慮表1所示錨索剛度為不均勻情形的工況2-1至工況2-4、工況4-1至工況4-4，剛度在ksi的基礎上乘以材料安全系數、錨固長度等引起的變化系數。另一方面，為了研究移動荷載引起的位移、內力規律，ksi按照錨索索力與該錨索支撐范圍內凈浮力相等的原則確定，此時，Di處的豎向彈性支撐剛度基準值Ksi可以表示為

表1 懸浮隧道跨度內支撐剛度分布工況Table 1 Distribution of intermediate supporting stiffness of SFT

其中：[σ]為錨索的應力限值，取1 350 MPa；hci為錨索豎向投影長度，取50 m；β為管體浮重比；λ為索力安全系數或放大系數，其取值可作為錨索參數合理性判定指標。當懸浮隧道結構發生流致振動時，錨索索力會出現變化，尤其是出現大位移可能導致錨索出現松弛現象時[20]，錨索的瞬態沖擊力可達到靜態平衡的10 倍左右，因此，取λ=10 對移動荷載下結構位移、內力分布規律進行研究。

式(8)可用于分析懸浮隧道的量綱一頻率等自振特性，式(10)可用于分析移動荷載響應的分布規律，同時，采用ANSYS軟件對部分結果進行有限元(FEM)驗證。各物理量之間的量綱轉換關系見式(3)。為獲取更一般性規律，文中分析結果以量綱一形式給出。

2.2 自振特征分布

圖3 和圖4 所示分別為工況1 至工況4 和工況2-1 至工況2-4 中懸浮隧道各階量綱一頻率ωj隨量綱一剛度ks變化的頻譜圖，其中，1st，2nd，…，10th分別為第1，2，…，10階量綱一頻率的階次。同時，采用ANSYS軟件對工況2-1至工況2-4的理論結果進行驗證，管體和彈性支撐分別采用Beam和Combine單元模擬。圖4(b)中空心三角形表示有限元模擬結果，可知工況2-1 至工況2-4 的理論結果與有限元結果較吻合，二者頻率的最大相對誤差在2%之內。

圖3 均勻工況下量綱一頻率ωj隨量綱一剛度ks變化的頻譜圖Fig.3 Frequency spectrum of variation of frequency ωj versus dimensionless stiffness ks for uniform cases

圖4 非均勻工況下量綱一頻率ωj隨量綱一剛度ks變化的頻譜圖Fig.4 Frequency spectrum of variation of frequency ωj versus dimensionless stiffness ks for no-uniform cases

由圖3 可知：在工況1 至工況4 中，頻譜上每n+1階量綱一頻率為一組，其中第(n+1)整數倍階次量綱一頻率不隨ks變化，而其余階次的量綱一頻率隨著ks的增大而增大。這是因為n+1剛好為梁節段數目，整體特征方程式(8)可進一步寫為含ks項與不含ks項的乘積；每組n+1階量綱一頻率均匯聚于某一個局部區域，對應圖3中的長方形區域，在該區域內量綱一頻率密集匯集，與該區域結構參數對應的結構可能存在模態能量轉換等非線性行為。此外，工況1 至工況4 中，按照式(12)中所得的量綱一豎向彈性支撐剛度基準值ksi分別為2.10×104，2.62×104，4.20×104和5.25×104，這些取值位于或靠近模態聚集區。另外，對比工況1至工況4可發現不同錨索支撐數目時各階量綱一頻率對ks變化的敏感區間不同，如工況1的量綱一頻率敏感區間為量綱一剛度ks∈[103，105]。

在圖4所示的工況2-1至工況2-4共4種非均勻工況中，與均勻工況類似，每5階量綱一頻率為一組且該組量綱一頻率匯集于某一局部區域，量綱一頻率隨ks變化的分布規律也與工況2的類似，敏感區間為量綱一剛度ks∈[103，105]，在此區間內量綱一頻率增大十分顯著。與均勻工況不同之處在于，由于4個支撐剛度在跨度范圍內不對稱，模態匯集區內各階量綱一頻率不再交于某一個類似于交點的小區域，而是分布在一個較大的區域，各階量綱一頻率之間隨著ks變化的接近方式為交叉或轉向。

2.3 位移響應特征

圖5 所示為錨索支撐剛度取式(12)中基準值時，工況2-1 至工況2-4 及工況2 中懸浮隧道xˉ=0.50，0.60 處量綱一位移vi(xˉ，τ)隨量綱一時間τ的變化曲線，圖中結果通過式(10)的多階模態計算迭加獲取，各種工況下管體不同位置結構豎向位移在模態截取階數N≤10時均已收斂，其中，將工況2-1和工況2的量綱一位移結果與對應的ANSYS結果進行對比驗證，最大相對誤差均在3%之內。從圖5(a)可見：各工況下xˉ=0.50處豎向位移峰值均出現在移動荷載列經過該位置前后的時刻，其大小與支撐剛度ksi的取值對應，工況2-2 和工況2-4的位移峰值較小，工況2-1 和工況2-3 的位移峰值較大，工況2的位移峰值最大。從圖5(b)可見：xˉ=0.60 即彈性支撐ks3處的豎向位移峰值在不同工況下差別不大，這是由于各種工況下此處支撐剛度均為基準值(即ks3=ks，見表1)，同時，移動荷載對管體支撐剛度處豎向位移的影響范圍僅限于該彈性支撐附近，其原因在于列車長度相對于懸浮隧道長度較小，且支撐剛度在位移影響因素中占主導。

圖5 懸浮隧道的荷載響應曲線(n=4)Fig.5 Dynamic response curves of SFT(n=4)

從工程和設計的角度來說，外荷載引起的位移或內力變化范圍及上下限需重點關注。圖6所示為基于本文方法繪出的不同參數組合下懸浮隧道在移動列車荷載作用下的量綱一位移包絡圖，即每種工況下跨度范圍內懸浮隧道量綱一位移vi(，τ) 的限值。

對比工況1至工況4的位移包絡圖可知當彈性支撐數目增加即錨索支撐間距減小時，位移的上、下限的絕對值均減小，這是間距減小使得結構整體剛度增大所致；對比邊子跨、中子跨的跨中位移可知，邊子跨豎向位移下限值大于中子跨的豎向位移下限值，且不同中子跨下限值一致，這與等跨連續梁的各子跨豎向位移分布規律相同；此外，每個子跨跨中的豎向位移限值顯著小于彈性支撐點的豎向位移限值。

對比圖6(b)中不同浮重比對應的位移包絡曲線可知：隨著浮重比增大，豎向位移下限絕對值減小，這是由于浮重比增大時凈浮力增大，凈浮力既可以平衡一部分列車荷載，也會導致支撐錨索截面與剛度均變大，因而，位移減小。此外，中間部分不同子跨范圍內位移限值的分布規律一致。

圖6 懸浮隧道位移包絡曲線Fig.6 Displacement envelope curves of SFT

從圖6(c)所示不均勻的工況2-1至工況2-4的位移包絡圖可見：當彈性支撐數目較少(n=4)時，其剛度較大；當列車荷載經過時，不均勻剛度對位移的影響較小。與之對應，在圖6(d)所示工況4-1至工況4-4 的位移包絡圖中，彈性支撐數目較多(n=9)，剛度較小，列車荷載經過時不均勻剛度對位移的影響較大，所以，不同工況的豎向位移限值相差較大。

2.4 內力分布特征

圖7至圖9所示為不同參數組合下懸浮隧道在移動列車荷載作用下的內力包絡圖，即跨度范圍內懸浮隧道量綱一彎矩和量綱一剪力的限值，彎矩以上緣受拉為正，剪力使隔離體順時針轉動為正，最大/最小值對應圖中每種工況的上/下限值。

圖7 懸浮隧道不同跨內支撐數目的內力包絡曲線Fig.7 Internal forces envelope curves for SFT with different numbers of intermediate elastic supports

圖8 懸浮隧道不同浮重比的內力包絡曲線Fig.8 Internal forces envelope curves for SFT with different buoyancy-weight ratio

圖9 懸浮隧道跨內支撐剛度不均勻時的內力包絡曲線Fig.9 Internal forces envelope curves for SFT with no-uniform stiffness of the intermediate elastic supports

從圖7可見：隨著彈性支撐數目增加，彎矩和剪力的上、下限值均減小，這是由于此時錨索支撐間距減小，內力隨之減小；正彎矩峰值出現在子跨跨中位置且邊子跨峰值大于中子跨峰值，負彎矩峰值出現在錨索支撐處且局部還存在1個較小的增大值；正負剪力的限值均位于錨索支撐處，類似于多跨連續梁的剪力分布，不同之處在于連續梁在橋墩處存在橋墩豎直向上“頂”的作用力，而懸浮隧道在錨索處存在錨索豎直向下“拉”的作用力。

浮重比是懸浮隧道的重要結構參數。由圖8可見：在各種不同浮重比下，正彎矩峰值位于子跨跨中且邊子跨峰值大于中子跨峰值，負彎矩峰值位于錨索支撐點；隨著浮重比增大，錨索支撐剛度變大，此時，正彎矩峰值減小，而負彎矩峰值增大且局部集中效應顯著，在設計時，該位置的管體結構需要局部加強。不同浮重比時剪力在每個子跨的分布基本類似，峰值均位于錨索支撐處，且其正負剪力峰值均隨浮重比增大而增大。

圖9所示為支撐剛度不均勻時列車荷載作用下的彎矩、剪力包絡圖。從圖9 可見：在不同工況下，錨索支撐剛度的不均勻性對正負彎矩峰值影響較大，總體來說，ksi越大，所對應的正彎矩峰值越小，而錨索支撐處的負彎矩峰值顯著越大，局部效應十分明顯；錨索支撐剛度的不均勻性對正負剪力峰值影響也較明顯，當跨度范圍內的ksi取較大值時，該處剪力正負限值隨之變大。產生這種現象的原因是支撐錨索的剛度ksi在很大程度上決定了彎矩、剪力的峰值。

3 結論

1) 將各錨索等效為豎向彈性支撐，采用子結構離散/整合技術建立了懸浮隧道管體的動力方程，通過結構自振特性、移動列車荷載響應的分析及與有限元的比較驗證了所提方法的正確性。

2) 頻譜圖存在與錨索支撐數目相關的量綱一頻率組，多階量綱一頻率匯集于一個局部區域，各階量綱一頻率之間隨著支撐剛度變化的接近方式為交叉或轉向，不同支撐數目時量綱一頻率隨ks變化的敏感區間不同。

3) 在各種參數組合下，懸浮隧道結構子跨跨中和錨索支撐點的豎向位移峰值均出現在移動列車經過該位置時刻，位移的上、下限值與錨索支撐數目、浮重比及剛度不均勻性密切相關。

4) 彎矩、剪力對多種結構參數較敏感，總體上說，當錨索支撐數目減少、浮重比增大且支撐剛度變大時，內力包絡圖中正負彎矩上、下限值變大，錨索支撐處剪力上、下限值也變大。