一類圓內接四邊形的系列結論及應用
——以一道中考模擬題為例

虞 會

(浙江省寧波市鎮海蛟川書院,315201)

一、試題呈現

(1)∠DAB=______(請用α的代數式表示),并求證:DA=DB;

(3) 如圖2,連結AM并延長,交BC于點F, 交⊙M于點E,

② 若3BF=2OD,請直接寫出四邊形ABDC的面積.

此題為2022年寧波市鎮海區中考模擬卷中的一道壓軸題,涉及圓的基本性質、直角三角形、勾股定理、相似三角形等相關知識,三小問難度層層遞進,全面考查了學生分析問題,解決問題的能力.從學生的答題情況來看,第(1)、(2)問學生尚能解決,第(3)問很多學生難以入手,究其原因還是對特殊圓內接四邊形的認識不足.

二、圖形分析

筆者發現,在去掉平面直角坐標系的背景后,此題可歸結為圓中的一類內接四邊形(兩條對角線互相垂直且一條對角線等于一條邊的圓內接四邊形)問題.

1.圖形初步認識

如圖3,已知在⊙O的內接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,從此圖中可以得出哪些結論?

從角的方面考慮:

結論1:若∠CAD=α,則圖形中所有的角都可以用α來表示.

特別地,∠BAC=∠BDC=2α.

從線段的方面考慮:

結論2:因為AC⊥BD,所以有四組線段滿足勾股定理.

結論3:由于四邊形ABCD內接于⊙O,故有兩對相似三角形.

結論4:(托勒密定理)AB·CD+AD·BC=AC·BD.

從角和線段相結合的方面考慮:

2.圖形變式認識

變式1如圖4,已知在⊙O的內接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,連結AO交BD于點F,連結CF,從此圖中又能得出哪些關鍵結論?

結論6:?ABF≌?ACF≌?ADC,

結論7:CD+DE=BE.

由結論6,可得BF=CF=CD,FE=DE,從而可證結論7.

結論7 其實就是阿基米德折弦定理,如果知道此定理,則在圖形初步認識里面就可以得出結論7.

結論8:?AFD∽?ABC(手拉手相似),Rt?AEF∽Rt?BEC,Rt?ABE∽Rt?FCE.

變式2如圖5,已知在⊙O的內接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,連結BO交AC于點G,從此圖中又能得出哪些關鍵結論?

結論9:?ABG∽?DBC和?ABD∽?GBC(手拉手相似).

結論10:若已知AG,CG的長,則可求得圖中所有線段的長.

結論11:如圖6,若延長BG交⊙O于點H,連結AH,DH,則四邊形AHDC為等腰梯形.

變式3如圖7,已知在⊙O的內接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,連結CO交BD于點H,延長CO交AB于點Q,從此圖中又能得出哪些關鍵結論?

結論12:CQ∥AD.

結論13:DC=DH.

結論14:BH=2DE.

∵BE=DE+DC(結論7),

DC=DH(結論13),

∴BH=BE-HE

=DE+DH-HE=2DE.

結論15:?ECH∽?EBC.

三、試題解答

(1) 由圓的性質,可得∠DAB=∠DCB=90°-α.

∵∠DBC=∠CAD=90°-2α,

∠ABC=∠ADC=α,

∴∠DBA=90°-α.

∴∠DAB=∠DBA,進而得DA=DB.

在Rt?AOC中,由結論5,可得

OC∶OA∶AC=3∶4∶5.

由結論15,可得?OAF∽?OBA,

解得OB=5,∴BF=4.

② 由結論14,可知BF=2CO.

∴3×2CO=2OD,即3CO=OD,

在Rt?AOC中,由結論5,可得

AO∶CO∶AC=3∶4∶5.

四、解后思考

正如章建躍博士在《幾何研究中的數學思維方式》中所說:幾何學的課題就是研究和理解幾何圖形的本質與結構.本質是指事物的根本性質,是事物自身組成要素之間相對穩定的內在聯系;結構是指事物內部各組成要素之間的相互聯系、相互作用的方式.在近幾年的中考模擬或者中考試題中,對壓軸題的要求往往是去模型化,更加關注學生的思維,更趨向于考查學生的分析問題,解決問題的能力.所以,教師在平時講解幾何綜合題時,一定要追本溯源,讓學生學會拆分復雜的圖形,厘清基本圖形之間的相互聯系,能遷移所掌握的基本圖形性質,這樣才能提高學生應用知識,解決問題的能力.