幾何極值

單 墫

(南京師范大學數學科學學院,210023)

如圖1，過∠A內一定點P引直線與∠A的兩邊交于點B，C.

(1)當PB=PC時，?ABC面積最小;

(2)當BC邊外的旁切圓與BC切于點P時，?ABC周長最??；

(3)當AB=AC時，PB·PC最小.

劉國梁老師選了一批幾何極值問題，頗有趣.筆者做了與中學幾何有關的幾題，其中初中部分即以上3題.

證明(1)如圖2，對任一過點P的線取B′C′(點B′，C′分別在AB，AC的延長線上)，則有∠BCC′>∠B，所以過點C在∠BCC′內作CD，使∠BCD=∠B(即CD∥AB).

設CD交PC′于點D，則由BP=PC，可得

?PBB′≌?PCD.

所以S?AB′C′>S?ABC.

(2)如圖3，設旁切圓分別切直線AB，AC于點E，F，則BP=BE，PC=CF，所以?ABC的周長等于AE+AF.

對另一?AB′C′(B′C′過點P且點B′,C′分別在AB，AC的延長線上)，設B′C′交旁切圓于另一點Q.

所以B′E+C′F≤p+q+r.

所以?AB′C′周長=AB′+AC′+B′C′≥AB′+B′E+AC′+C′F=AE+AF=?ABC周長.

(3)如圖4，∠B=∠ACB>∠C′.

設⊙B′BC交B′C′于點D，則∠B′DC=∠B>∠C′，所以點D在線段PC′上.

所以PB·PC=B′P·PD