新高考數學多選題的考查類型剖析

◎ 海南省農墾中學 龐怡婷

新高考多選題具有無需解題過程，考試分值小、考查容量大、解題思路廣、數學思想豐富等特點，題中多個正確選項的設置將會影響學生的作答時間和得分率，能對學生進行多層次區分，對學生能力的考查更加深入，要求學生具備完整、細致、全面的思維。下面就2020-2022年新高考多選題進行研究分析，從中思考其考查類型，為教育教學改革提供借鑒。

一、基本概念的考查

例1（：2021年新高考Ⅱ卷，9）下列統計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的 離散程度的是（ ）。

A.樣本x1，x2，…，xn的 標準差

B.樣本x1，x2，…，xn的 中位數

C.樣本x1，x2，…，xn的 極差

D.樣本x1，x2，…，xn的 平均數

【點評】2021年高考題例1考查了平均數、中位數、標準差和極差的概念，為基本概念的考查。

【啟示】數學概念是數學學習的起點，是數學體系的形成元素，概念中的每個符號，每句術語都有明確的含義，都是數學認知結構中的重要組成部分，盡管數學題型千變萬化，里面蘊含的數學概念永恒不變。多選題中出現概念考查，體現了新高考試題注重基礎知識，回歸教材的特點，教師在教學中應指導學生端正態度，重視基礎，認真學習研究教材中的基本概念、基本定理和基本方法等，通過持續鞏固數學基礎知識，可以更好地構建數學認知結構，提升問題解決能力。

二、數量關系的考查

例2：（2021年新高考Ⅰ卷，10）已知O為坐標原點，點P1（cosα，,sinα，），P2（cosβ,-sinβ），P3(cos（α，+β）sin（α，+β))，A（(1，0），則（ ）。

【點評】例2考查了向量的模長、數量積的計算以及兩角差的余弦公式的化簡，屬于數量關系的考查。

【啟示】數量關系是數學知識體系的重要組成部分，在高考中占據較大的比重，其中包含基本的數與式的運算、化簡或量化等，主要考查學生的數學運算化簡能力。多選題的數量關系更是從多個側面、多個角度對學生進行多次的考查，對運算能力要求更高。教師在教學中應指導學生熟記一些常用公式、法則和數據，重視解題技巧的培養，比如運算技巧和簡便方法等，還要重視培養學生良好的計算習慣，引導其細心審題，規范書寫，使學生真正具備“細心、靈活、迅速、正確”的運算能力。

三、變形變式的考查

例3（：2020年新高考Ⅱ卷，11）圖1是函數y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（ ）。

例4：（2020年新高考Ⅱ卷，12）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（ ）。

【點評】例3先利用周期和特殊點確定ω和φ的值，求出函數的解析式為，再利用誘導公式進行等價變形變換，即，屬于變形變式的考查。

例4圍繞一個不等式鏈展開，即

（當且僅當a=b時等號成立），不等式鏈是由基本不等式變形延伸而來的，內涵豐富，實際應用相對于基本不等式更為廣泛，考查了學生的變形拓展能力，屬于變形變式的考查。

【啟示】變形變式是指同一個知識點，適當地變換條件或結構，變換表述或形式，從而出現多個變形的結果。變形變式有利于檢測學生的思維深度，教師在教學中要注重培養學生的變形能力，比如在三角函數教學中，要突出誘導公式的轉換、三角恒等變換、正余互化、切弦互換、和積互化、平方消元等變形技巧；在不等式教學中，要拓展基本不等式的各種不同變形，比如不等式鏈等；在解方程教學里，要指導分組分解、提取公因式、配方法、系數變換法等變形技巧。巧妙靈活地應用變形技巧，可以化繁為簡、化難為易，提升學生對知識的靈活變換能力，進而鞏固了基礎知識和基本技能，起到舉一反三的作用。

四、形數兼備的考查

例5：（2021年新高考Ⅰ卷，11）已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4，0)、B(0，2)，則（ ）。

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當∠PBA最小時，

D.當∠PBA最大時，

例6:（2022年新高考Ⅱ卷，10）已知O為坐標原點，過拋物線C:y2=2px(p＞0)焦點F的直線與C交:于A(A、B兩點，其中A(在第一象限，點M(p，0)，若|AF|=|AM|，則（ ）。

A.直線AB的斜率為

B.|OB|=|OF|

C.|AB|＞4|OF|

D.∠OAM+∠OBM＜180°

【點評】例5考查了點到線的距離，以及數形結合思想解決角的最值問題；例6需要利用拋物線的圖像及性質來求解點、線、角等基本量，均屬于形數兼備的考查。

【啟示】數學的研究對象不僅是數，還有圖形，而且對數和圖形的討論與研究，不是孤立進行，而是有分有合，辯證統一，圖形中常常隱藏著代數問題，而代數問題中往往又寓有圖形的問題，因此，形數兼備是高考數學中的一種重要考查題型，特別是對函數、圓、圓錐曲線、復數幾何意義、取值范圍等問題。教師在教學中要引導學生牢記各種方程、函數、圓錐曲線等對應的圖形，并能適當拓展，繪制一些相關的特殊圖形，必要時建立坐標系，建立起數與圖的關聯，學會觀察分析數與形的關系，學會以形助數、以數解形，在講解例題時，注重引導，傳授數形結合的方法和技巧，以提升學生數形結合的能力。

五、辨析思維的考查

例7：（2020年 新 高 考Ⅱ卷，10）已 知 曲 線，（ ）。

A.若m＞n＞0，則C:是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m=n＞0，則C:是圓，其半徑為

C.若mn＜0，則C:是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m=0，n＞0，則C:是兩條直線

例8：（2021年 新 高 考Ⅱ卷，11）已 知 直 線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是（ ）。

A.若點A(在圓C:上，則直線l與圓C:相切

B.若點A(在圓C:內，則直線l與圓C:相離

C.若點A(在圓C:外，則直線l與圓C:相離

D.若點A(在直線l上，則直線l與圓C:相切

【點評】例7考查了曲線方程及其系數之間的關系，要求學生能動態分析參數的變化并加以辨別分析，例8考查了點、直線和圓之間的位置關系，也是要求學生能辨別分析各種不同的位置關系，這些屬于辨析思維的考查。

【啟示】辨析即辨別分析，對于一些相似或相關的知識，給出一定的發散條件，讓學生進行辨別和分析。比如涉及參數變化的開放式題型，要分類討論問題，分析動態變化的結果等。數學是邏輯學科，具有高度的抽象性和嚴密性，很多相似或相關的知識和結論，都需要非常嚴格的條件去辨別分析，任何細微條件的忽略都會引起辨別錯誤。教師在教學中要引導學生注重細節，注意輔助條件和隱含條件。對于帶參數的類型，要深入理解參數的各種變化及其影響；對于動態問題，分析時要做到不缺不漏；對于分類討論的問題，要能全方位地思考、研究、判斷、推理等，從而提高學生觀察、分析、邏輯推斷和辨析的綜合能力。

六、幾何直觀的考查

例9：（2020新高考Ⅱ卷，9）我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是（ ）。

A.這11天復工指數和復產指數均逐日增加

B.這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量

C.第3天至第11天復工復產指數均超過80%

D.第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量

例10（：2022年新高考Ⅱ卷，11）如圖2，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F-ABC，F-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（ ）。

A.V3=2V2B.V3=V1

C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

【點評】例9考查了折線圖，例10考查了空間幾何體的體積，屬于幾何直觀的考查。

【啟示】幾何直觀是指依托、利用圖形描述和分析問題，它包含兩個層次：一是幾何，即圖形，二是直觀。直觀不僅僅是直接看到的圖形，更突出由圖形得到的更深層次的思考，所以幾何直觀本質上是通過圖形展開的想象和分析，與邏輯、推理不可分割。主要包括：利用圖形圖表描述分析數學問題，借助平面或空間圖形認識事物的位置關系、量化特征、運動規律等。圖形是數學體系的重要組成部分，幾何直觀是數學學習的必備思維能力，教師在教學中應該全方位、多角度地培養學生的幾何直觀思維，提高學生的識圖能力，培養學生平面圖形思維和空間圖形思維，使其能從圖中分析求解相關的量。

七、綜合能力的考查

例11：（2021年新高考Ⅱ卷，12）設正整數n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+…+ak．則（ ）。

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

【點評】例11屬于新定義的題型，需要學生運用遷移拓展能力和思維穿透能力，對新定義的正整數n的展開公式，能理解它的本質，才能正確應用于各個選項，屬于綜合能力的考查。

【啟示】《考試說明》中提出，“發揮數學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數學基礎知識的把握程度，又注意考查進去高校連續學習的潛能”。2022年，教育部考試中心命題專家也表示要“發揮數學科高考的選拔功能，助力提升學生綜合素質”。這都說明了提升學生的綜合能力是數學培養的趨勢和最終目標，而多選題選項的多樣性，更能反映學生的綜合能力的強弱。教師需要在教學中有意識地去培養和訓練學生，使其對原有的知識能融會貫通、舉一反三，對新知識能突破思維定勢，進行創造性地思考。教師在教學中要多理論聯系實際，多拓展延伸，多探究和啟發，提高學生的主觀能動性，提高學生的學習反思和遷移能力。

剖析新高考多選題的考查類型，我們不僅要關注知識的變化，更要關注學生獲取知識的途徑，教學不能只是簡單地把解法告訴學生，更應該重視知識的形成過程，正確地應用好多選題，能讓學生更多角度地理解知識的內涵和外延，使其真正得到數學能力的提升。