從一題多解到多題一解，發散思維，發展素養
——以2022年全國甲卷文科第12題為例

四川 張 君 王奮際

“雙減”背景下高考數學全國卷的命題，要求減少“機械刷題”，加強學科核心素養的考查.本文以2022年高考數學全國甲卷文科第12題為例，從一題多解著手，研究比較大小類題目的通性通法，尋求解題本質，發散數學思維，最后形成多題一解，發展數學學科核心素養.

1.真題再現

【例】(2022·全國甲卷文·12)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

2.試題分析

羅增儒教授把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告需知并誘導解題方向”，解題的本質是找條件與結論的關系，故本題從兩種角度思考解題方案：一是綜合考慮條件與選項，做等價變形；二是直接從條件出發，推導結論.

觀察已知條件，a,b均為指數式與常數之差，作差后不易比較大小，又由于a,b無法判斷正負，作商也不易比較；再觀察選項發現，a,b都需要與0比較，故可考慮等價變形為三個對數值log1011，log910，log89的大小比較，即思路1.

等價變形為三個對數值的大小比較，此時可以直接作差(解法1)，作商(解法2)比較，利用數列單調性(解法3)，函數單調性比較(解法4).解法1,2,3都可以使用均值不等式將對數乘法轉化為加法，解法4則利用函數求導尋找單調性.

由于條件中的三個表達式結構類似，可以考慮構造函數，利用函數單調性比較，即思路2.此時可轉化為函數零點和單調性問題(解法5)，也可轉化為兩個函數圖象分析問題(解法6)，也可轉化為冪函數圖象增長速度問題(解法7).

若將9m作為整體，避開對數運算，適當放縮，轉化為尋找a的下界和b的上界的問題(解法8).

上海市特級教師文衛星老師主張以思維導圖對解題思路以形象總結，此題可表示為如下思維導圖.

3.一題多解

3.1 思路1：綜合條件與選項，恒等變形轉化

由9m=10知m=log910，比較a=10m-11與0的大小，等價于比較10m與11的大小，等價于比較m=log910與log1011的大小；同理，比較b=8m-9與0的大小，等價于比較m=log910與log89的大小；至此，本題轉化為比較log1011,log910,log89三個數的大小.要比較這三個數又可以有如下幾種方案.

同理可證log91010log1011-11=0，b=8m-9=8log910-9<8log89-9=0，所以a>0>b，故選A.

解法3：將這三個數看作數列{logn(n+1)}的第8,9,10三項，先研究數列的單調性，比較logn(n+1)與logn+1(n+2)，其中n∈N,n≥2的大小.

所以ln2(n+1)-lnn·ln(n+2)>0，即logn(n+1)>logn+1(n+2).

由此可得,log89>log910>log1011，下同解法1.

點評：上述三種方法，先將對數化同底，基于同底對數沒有乘法，但可以相加，不約而同的利用均值不等式，最終完成解題.

解法4：令f(x)=logx(x+1)(x>1)，則通過求導易得f(x)單調遞減.

由1

所以xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，當x>1時，f′(x)<0，所以f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調遞減,

所以f(10)

3.2 思路2：形式同構，構造函數，逆用單調性，數形結合

解法5：令f(x)=xm-x-1(m=log910)，

則f′(x)=mxm-1-1，令f′(x)=0，

又因為m=log910>1，

又因為f(9)=0，所以a>0>b，故選A.

解法6：f(x)=xm-x-1(m=log910)，

則f(9)=0.則函數y=xm(m=log910)與y=x+1的交點為(9,10)如圖所示.

由圖可知，當0

當x>9時，xm>x+1，所以8m<9，即b=8m-9<0，10m>11，即a=10m-11>0.所以a>0>b，故選A.

解法7：如圖，從下到上分別是y=8x，y=9x，y=10x的圖象，直線x=1與三條曲線分別交于點A,B,C，

直線x=m(m=log910)與三條曲線分別交于點E,G,P，

分別過點A,B,C作x軸的平行線依次交直線x=m于點D,F,H.因為y=8x，y=9x，y=10x的圖象上升速度依次加快，則DF

所以8m-8<9m-9=1<10m-10,∴8m-9<9m-10=0<10m-11,故選A.

點評：解法4至解法7都構造了函數，但構造的函數各不相同，構造函數后，利用的函數性質也不同，可見，通法之下也有很多變化.

3.3 思路3：化異為同，適當放縮

解法8：顯然，m>1.

所以a>0>b，故選A.

4.一題多思

比較大小類題目是近年高考常考題，入口低，方法靈活，能全面考查學生數學思維能力.常見的方法主要有直接或變形后作差、作商比較；構造函數利用單調性比較；構造函數利用函數圖象比較；放縮法.此題中每一種通法都可以切入試題，而每種方法又不是獨立存在.通法之間可以交叉混合使用，比較log1011,log910,log89三個數不僅可以用基本不等式，還可以使用加糖不等式等方法(見5課本溯源).試題多角度、多層次進行考查，兼顧基礎性、綜合性.

事實上，比較大小的題目還可以采用估值的方法，如果考生手上有計算器，直接輸入計算即可得出答案.考場上學生要估計一個數的大小，通常可以考慮放縮法、利用常見的對數值(如lg2≈0.3,lg3≈0.477,ln2≈0.69,ln3≈1.1)、泰勒展開等.

5.課本溯源

(2019年人教A版《數學必修第一冊》第141頁13題)比較下列各題中三個值的大小：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；(2)log23,log34,log45.

我們來研究一下第(2)問.

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

點評：作差、通分后，利用基本不等式即可判斷ln23-ln2×ln4的符號，如果掌握了這種思想方法，那么考題中a-b的符號就容易聯想到利用基本不等式來判斷，此外，課本的結論還可以推廣為logn(n+1)>logn+1(n+2)(證明見上文解法3).

這說明這道考題源于課本高于課本，因此，指導高三復習要立足課本，適當提高，就能提質減負！

6.通法遷移

國務院《深化新時代教育評價改革總體方案》提出要“改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和‘機械刷題’現象”，這要求教學中要重視通性通法，尋找解題本質，落實核心素養.

本文對2022數學甲卷文科12題解法研究中，主要提出了三大類通法，一是綜合考慮條件和結論，等價變形后，作差、作商比較大小；二是結構相似，構造函數，利用函數性質，如單調性、圖象，增長趨勢等比較大小；三是利用放縮，特殊值，甚至泰勒展開等估計參數值的范圍比較大小.

這些“通法”當然也能遷移到其他高考題目，例如：

1.(2020·全國卷Ⅲ理·12)已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則( )

A.a

C.b

∴b

點評：以上解析用到了兩種通法，a,b的比較采用作商法，b,c的比較采用放縮法.

A.a

C.b

所以a

點評：以上解析用到了放縮法.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

點評：以上解析用到了兩種通法，b,c的比較采用作商法，b,a的比較采用構造函數的方法.

從以上三個高考題的解析可以看到，高考題強調通性通法的考查，教學中教師應注重通法的教學.學生在理解掌握通性通法之后，根據題目的具體呈現形式，靈活選擇并做適當變形，就能完成解題.

7.一題多變

在高考題基礎上，筆者進行了一些變式，讀者可以嘗試從通法入手，完成解題.

【變式1】已知a=101.1-6，b=91.1-5，c=81.1-4，則a，b，c的大小關系是( )

A.a

C.c

【變式2】已知，10m=11，a=8m-9，b=9m-10，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.0>b>aD.b>0>a

【變式3】已知9m=11，a=10m-12，b=8m-10，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【變式4】已知5m=31，a=6m-42，b=7m-55，則a，b，c的大小關系是( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a