順應“三新”研究趨勢 探索變式教學模式
——“數學經典試題及變式”征集活動解析幾何題組精選

一、直線與圓錐曲線的位置關系

【甘肅 彭長軍】

(1)求l的斜率；

【試題分析】考查知識：點、直線與雙曲線的位置關系，斜率公式、弦長公式以及二倍角正切公式等；解題方法：常規方法、化歸與轉化思想的應用；綜合拓展：直線與圓錐曲線的位置關系的綜合問題.

【解題策略】充分利用已知條件并結合相關知識用常規方法求解，相應解題步驟的思維導圖如下：

思路1--根據已知條件確定a后寫出雙曲線C的方程，在此基礎上，將直線l的方程設為y=kx+m.--將直線l的方程與雙曲線C的方程聯立消去y得到關于x的二次方程，利用根與系數的關系及斜率公式可求得直線AP和AQ的斜率之和；接著利用第(1)小問的結論及第(2)小問的條件可求出弦PQ的長及點A到直線l的距離，進而利用三角形面積公式求得結果.

思路2--在確定雙曲線C的方程后可將直線AP的方程設為點斜式，將其代入雙曲線C的方程，得到一個關于x的二次方程，利用根與系數的關系及點A的橫坐標為2可表示出xp，進而可表示出yp,進而可得直線AB的參數方程.--將xp,yp中的k換成-k便可表示出xQ,yQ,進而利用斜率公式可求得直線AP和AQ的斜率之和；接著利用第(1)小問的結論及第(2)小問的條件可求出直線AP的斜率，進而可求得P,Q兩點的坐標，利用兩點間的距離公式求得|AP|,|AQ|，再由三角函數知識可求得sin∠PAQ，最后利用面積公式可求得結果.

【解法1】點撥：常規方法求解——從直線l入手，利用根與系數的關系及弦長公式等求解

(1)設直線l的方程為y=kx+m，將其代入x2-2y2-2=0，得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0(1-2k2≠0),

由直線l與雙曲線C相交于P,Q兩點，知Δ>0，

設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

亦即(x2-2)(kx1+m-1)+(x1-2)(kx2+m-1)=0，

化簡整理，得

2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0. ②

將①代入②并化簡整理，得(k+1)(2k+m-1)=0，

當2k+m-1=0時，m=1-2k，此時直線l的方程為y=k(x-2)+1，直線l過點A(2,1),與是沒不符.

∴k+1=0，即k=-1.

(2)當k=-1時，x1+x2=4m，x1x2=2(m2+1)，且m2>1，

由點P(x1,y1)在直線l上，得y1=-x1+m.③

又直線AP的方程為y-1=k1(x-2)，

∴y1-1=k1(x1-2), ④

由③④，得m=(k1+1)x1+1-2k1, ⑤

同理可得m=(-k1+1)x2+1+2k1. ⑥

∴(x2-x1)2=32(m-1)2，

即(x2+x1)2-4x1x2=32(m-1)2，

∴16m2-8(m2+1)=32(m-1)2，

化簡整理，得3m2-8m+5=0，

【解法2】點撥：常規方法求解——從直線AP入手，利用根與系數的關系及兩點間的距離公式等求解

(1)設直線AP的斜率為k，則直線AQ的斜率為-k.

于是直線AP的方程為y-1=k(x-2)，

即y=kx+(1-2k)，將其代入x2-2y2-2=0，

得(2k2-1)x2+4k(1-2k)x+4(2k2-2k+1)=0，

(2)若直線AP的斜率為k(k≠-1,否則A，P，Q三點共線)，則直線AQ的斜率為-k.

【點評】1.解法1雖然容易上手，但過程繁雜，有些地方不易想到，如在確定斜率的值時，對2k+m-1=0的討論，又如在確定m的值時，過程復雜且不易想到.解法2不易上手，但過程比解法1簡單且運算量小.

2.△PAQ的面積也可用向量的數量積求得，即

【甘肅 彭長軍】

【變式1】(知識變式)對調條件與結論并對結論加以應用

(1)求直線AP,AQ的斜率之和；

(2)若△APQ是等邊三角形，求直線l的方程及直線AP的斜率.

【答案】(1)0；

【河北 趙偉娜】

【變式2】(方法變式)以圓的切線形式給出兩直線斜率互為相反數信息，求直線方程

(2021·八省市聯考·7)已知拋物線y2=2px(p>0)上三點A(2，2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

【答案】B

【廣東 黃威】

【變式3】(綜合變式)由kAP+kBP=λ(λ≠0)推廣到kAP×kBP=λ(λ≠0)

【答案】(6,-3)

【貴州 李寒】

【母題2】(2022·全國新高考Ⅱ卷·10)已知O為坐標原點，過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F的直線與C交于A，B兩點，點A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|，則

( )

B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|

D.∠OAM+∠OBM<180°

【試題分析】考查知識：拋物線的標準方程、幾何性質，直線與拋物線的位置關系.

解題方法：數形結合，聯立方程；運用定義和向量；綜合素養：基于直線與拋物線的位置關系考查數學抽象、邏輯推理和直觀想象等數學核心素養;

綜合拓展：依據題設可知正確選項得到的結論具有一般性.

【解題策略】本題主要考查利用直線與拋物線的位置關系及應用，運用數形結合等方法來解決，落實基礎性的考查.

【方法總結】圓錐曲線問題的本質是把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質，圖形問題代數化是解析幾何的本質.求解圓錐曲線問題的關鍵在于找到最好的方法解決問題，注重回歸定義、聯立方程、數形結合利用幾何性質，或利用向量知識等，相比用固定解題程序，能更快地找到簡捷的解題方法.

【吉林 韓兆峰】

【變式1】(知識變式)由線段相等為垂直的變式

C.|AB|<|OM| D.∠AOB>120°

【答案】ACD

【甘肅 董宏杰】

【變式2】(方法變式)側重代數與幾何方法對比，優化運算過程，提升學生數學素養

【答案】C

【吉林 韓兆峰】

【變式3】(綜合變式)依據直線與圓錐曲線的關系確定直線方程的變式

設拋物線C：y2=4x的焦點為F，點D(2,0)，過F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.若直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時，直線AB的方程是________.

二、圓錐曲線中范圍與最值問題

【江西 葉新波 葉軍水】

【母題】(2022·全國甲卷文·21)設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時，求直線AB的方程.

【試題分析】考查知識：焦半徑公式，求拋物線方程，直線與圓錐曲線，函數最值;

解題方法：數形結合，函數與方程，化歸與轉化

綜合拓展：角度差量最值轉化為斜率最值，利用函數處理最值問題.

【解題策略】

(1)焦半徑公式→p→拋物線方程;

(2)畫出圖象→討論MN斜率不存在→k存在設點，設線，得出y1與y3，y2與y4的關系→利用傾斜角與斜率的關系得出tan(α-β)→將直線與拋物線聯立獲得關于m的式子→利用函數處理最值→得出直線AB方程;

所以拋物線C的方程為y2=4x.

Δ>0,y1y3=-8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，

又因為直線MN，AB的傾斜角分別為α,β，

設kMN=2kAB=2k>0，

Δ>0，y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4，

【方法總結】此題在2010年的四川初賽試題定值的基礎上增加了求最值，掩蓋定值，增強了問題的探究性，是一道優秀的壓軸題改編樣本.角度差量最值轉化為斜率最值，綜合利用聯立代換轉化等綜合方法，考查學生運算能力，分析問題，解決問題的能力，是一道不可多得的優秀壓軸題.

【江西 葉新波】

【變式1】(知識變式)描述命題背景分析，二次曲線中的蝴蝶定理

(1)求橢圓C的標準方程；

【江西 葉新波】

【變式2】(綜合變式)在母題考查的基本知識與基本方法基礎上，增加一條直線斜率，通過三個斜率等量關系，得出參數值，再根據直線與圓錐曲線聯立得出直線方程

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點Q(2,0)的直線l1與C交于M，N兩點，點R是直線l2：x=m上任意一點，設直線RM,RQ,RN的斜率分別為k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，求l2的方程.