基于相對密度核估計的實時剩余壽命預測

張江民，石 慧，董增壽

(太原科技大學 電子信息工程學院，太原 030024)

近年來，隨著工業化設備不斷地朝著智能化、高性能和復雜化的方向發展。這類設備在受到系統內部因素和外部環境因素的影響下設備發生故障的概率也隨之增加，設備故障會導致其性能和健康狀態產生一定程度的退化。如果設備出現大的故障，這不僅造成財政和資源損失重大，也給人民的安全帶來危險[1-2]。為此，對設備進行實時監測和剩余壽命預測有著十分重要的研究價值和意義。現研究階段可將剩余壽命預測的方法大致分為基于物理失效模型、基于知識表示和數據驅動的方法[3]。面對復雜化的設備，獲得物理模型是非常困難的事，知識表示的方法更適合于定性推理而不太適合定量計算，且難以獲得完整的知識。因此，數據驅動的方法成為剩余壽命預測研究的主流方向[4]。

Si等[5]將數據驅動方法的伽馬分布、回歸模型、維納過程和隨機濾波模型等[6]壽命預測方法進行總結分析。Zhai等[7]提出自適應維納過程的剩余壽命預測模型。劉文溢等[8]提出基于高階隱半馬爾科夫模型的剩余壽命預測模型。上述數據驅動方法大部分需要假設退化模型和參數估計，并且參數估計法對模型選擇有局限性，過分依賴概率密度函數形式的先驗界定，所以不能確保預測模型的精確性和適用性。隨著工業系統復雜化的發展，機器學習作為數據驅動的方法，裴洪等對基于機器學習的預測方法從淺層和深度學習兩方面進行了詳細分析總結。其中，基于深度學習的預測方法有強大的特征提取能力，不需要事先對未知的退化模型假設，是目前剩余壽命預測應用上的主流方法。Zhang等[9]提出用LSTM神經網絡的方法對設備進行預測。Li等[10]利用深度卷積神經網絡方法進行壽命預測。而Chen等[11]結合了Guo等[12]和Li等兩種方法的優勢提出了一種基于端到端可訓練卷積遞歸神經網絡的機械健康指標構建方法。張繼冬等[13]提出一種基于全卷積變分自編碼網絡的軸承剩余壽命預測方法。上述機器學習的方法，它的算法在適應制造系統和過程的復雜和非線性特性方面往往受到限制，而且其模型內部結構稱為‘黑盒子’，不能夠清楚地表征系統退化特征的變化，且網絡在學習過程中隨著輸入的不斷增加，參數調節不能保證全局最優，從而使系統的剩余壽命預測準確性受到影響。

核密度估計的方法是對數據分布不附加任何假設，從數據本身出發研究數據分布特點的非參數估計方法[14]。該方法避免了大部分數據驅動方法需要模型假設和參數估計的問題以及避免了機器學習的不足。因此，核密度估計方法在剩余壽命預測技術上的應用受到學者們的高度關注和重視。現有的核密度估計模型中，Hu等[15]用非參數核估計的方法對風速建模評估系統可靠性。Sidibé等[16]針對不同運行環境對隨機系統退化狀態的作用，提出用兩個函數建模的方法對系統可靠性進行了計算。楊楠等[17]提出一種基于非參數核密度估計的風功率波動性概率密度建模方法，并針對模型帶寬選擇問題，構造一種以擬合優度檢驗為約束條件的帶約束帶寬優化模型。李存華等[18]將核密度估計方法應用在聚類算法的構造上，提出基于網格數據重心的分箱核估計近似方法。上述文獻中核估計窗寬的選取大部分采用的是固定的窗口寬度，將固定值作為窗寬會造成樣本點分散的區域擬合度低，密集的區域擬合度過高。為了解決固定窗寬的不足，趙淵等[19]提出一種非參數多變量核密度估計負荷模型研究的方法，該方法在核估計窗寬選擇上實現了自適應選取窗寬。顏偉等[20]針對核估計中最優帶寬選取的重要性，提出一種不依賴總體真實分布的最優帶寬改進模型。為了提高預測的準確性，張衛貞等提出的實時剩余壽命預測方法，將積分均方誤差方法引入核估計窗寬的選擇上實現了自適應窗寬選取。上述方法能夠自適應的選擇窗寬和實現了特征退化分布和剩余壽命預測的實時更新，但是在數據分布不均勻的、變密度的樣本處選擇窗寬的合理性有待提高。而且現有核密度估計模型在有界支持[0,+∞]上的核估計量在0附近是有偏的，并且從支持的原點引入了一個值為-h的左移。會使得剩余壽命估計的準確度降低，Silverman[21]提出對有界支持[0,+∞]的對數變換；這樣就可以處理無界支持[-∞,+∞]；這種轉換減少了零附近的初始偏差。在Silverman的基礎上Saoudi等[22]提出微分同胚變換的方法，該方法除了在邊界附近是弱偏差外，且還滿足核密度估計的統計性質，即一致性、漸近正態性和非偏性。Sidibé等針對不同環境下維修優化問題，提出了核微分同胚可靠性函數估計方法，并與J-Sh變換法[23]進行比較，結果表明核微分同胚估計具有更好的收斂性，能夠更好的解決邊界偏移問題。

鑒于此，本文提出了一種相對密度核估計的實時剩余壽命預測方法。首先，建立非參數核密度估計剩余壽命預測模型，利用k近鄰距離計算樣本點的相對密度來構造自適應相對密度窗寬模型，以能夠對任意形狀，密度不均勻的數據集進行有效分析，并根據樣本數據的密度自適應地選擇窗寬值進行自適應核密度估計，即高密度區域采用較小的核窗寬，而低密度區域采用較大的核窗寬，以提高核密度估計的準確性。其次，在剩余壽命預測模型的構建上，引入微分同胚映射的方法來解決預測在邊界的偏差性和無界性，該方法利用微分同胚變換將有界隨機變量變換到整個實數域，從而轉換為傳統意義上的核密度估計問題進行求解，從而提高預測的平滑性和準確性。通過相對密度核估計的剩余壽命預測模型實時更新的遞推算法，以避免每增加一個樣本數據就要進行一次計算帶來計算量復雜問題。最后，采用齒輪磨損試驗和滾動軸承的加速壽命試驗來驗證本文模型的有效性和準確性。

1 核密度估計模型

核密度估計方法對數據分布不附加任何假定，是一種從數據本身出發，用來估計未知變量的概率密度函數的方法。其由已知的N個樣本點，通過選擇任意核函數(如高斯核函數)及窗寬得到N個核函數，再線性疊加形成核密度的估計函數。例如，對樣本集為

在現有的研究中，自適應窗寬的窗寬選擇法已經成為一個發展趨勢，該方法能夠在監測數據實時變化的情況下，自適應的選擇合理的窗寬，也能解決固定窗寬帶來數據擬合不足和過度的問題。而通過k近鄰思想[24]計算樣本點的相對密度，其能通過樣本點之間的k近鄰距離范圍判斷出各樣本點與其周圍樣本點的稀疏和密集程度，從而選擇合理的相對密度。此外，相對密度的思想本質就是直接對數據分析計算來判斷密度的大小，與核密度估計思想不謀而合，而且能夠對任意形狀的數據集進行快速、準確地識別樣本的中心。因此可以將k近鄰思想計算樣本點的相對密度引入自適應窗寬來提高核密度估計的準確性。

中國乳制品進口價格的由乳制品的進口數量和乳制品的進口金額獲得。其選取的樣本區間為2006—2016年，記作ln P。

x={x1=-2.1,x2=-1.3,x3=-0.4,x4=1.9,x5=5.1,x6=6.2}的核密度估計擬合結果如圖1所示。

深諳選擇重要的劉備，對關、張的行為提出批評。說“孤之有孔明，猶魚之有水也。愿諸君勿復言”。看看，劉備的著眼點，是為合作者，打造能夠干事的平臺。后來的實踐，更證明諸葛亮選擇的重要。反過來，平臺步步驚心、處處障礙，正確的得不到弘揚，錯誤的卻左右大局，結果只有一個，逼著合作者“重新選擇”。

圖1 核密度估計示意圖Fig.1 Schematic diagram of kernel density estimation

(1)

式中：h為窗寬；K(·)為核函數；n為樣本數。其中，核密度估計取決于K(·)和h的選擇。

核函數作為影響核密度估計的一個因素，一般情況下任何函數都可作為核函數，常用的有四次核、均勻核、三角核和高斯核。核函數的選擇對核密度估計的準確度作用不大。本文選用廣泛應用的高斯核函數。

(2)

(1)固定窗寬是在核密度估計時采用固定不變的值。這種選取窗寬的方法一般會導致核估計在低密度區擬合不足，高密度區過度擬合。通過圖2可以清楚的分析出固定窗寬的不足之處。

圖2 固定窗寬下的核密度估計示意圖Fig.2 Kernel density estimation with fixed window width

圖2為固定窗寬h1=12，在四組樣本數據密度不同情況下的核密度估計示意圖，由圖可知在數據不足的區間，核估計欠擬合；在數據集中的區域，核估計過度擬合。

(2)目前自適應窗寬是窗寬選擇的主流方向，其本質是隨著樣本點的增加能夠自適應的選取窗寬，提高估計準確度。在現有研究階段常用的自適應窗寬方法大多采用的是通過式(3)積分均方誤差求其最小值得到初始最優窗寬hn。

(3)

通過以上遞推可知，當任意tn+j時刻增加j個樣本時，n+j個樣本數據的核密度估計可遞推為

(4)

將高斯核函數代入式(4)可求出hn為

(5)

式中，σn為n個初始樣本特征退化增量的方差。

1.2.1 細胞培養及轉染 SHG-44細胞用含10%胎牛血清的RPMI-1640培養基于37℃、5%CO2的培養箱內培養，根據Lipofectamine2000操作說明轉染miR-543 mimic及mimic NC序列、miR-543 inhibitor及inhibitor NC序列。實驗分為5組:Con-trol(對照組)、mimic NC組、inhibitor NC組、miR-543 mimic組和 miR-543 inhibitor組。細胞轉染48 h后，進行后續實驗。

上述自適應窗寬方法在實際應用中，解決了樣本數據在實時變化下選取窗寬以及固定窗寬造成過(欠)擬合問題。如果樣本接近于正態分布時，選取該方式是最優選擇。但是當真實分布為非對稱或者多峰時，該方法可能導致過度平滑，準確性有待提高。

2 相對密度窗寬的確定

其四，“此在單元”的微觀視域是推動中國城市社會發展的落腳點。“此在單元”是不同的家庭、社區、日常生活的實在場域，是人們的共性與個性基本關聯單位，城市命運共同體合理性構建是宏觀性政策與各項制度實現的合法性路徑與社會發展的穩定基礎。“此在單元”之間的差異性及其共融性，是宏觀環境正義化與公平化在實踐中使人們獲取幸福感和滿足感，以及實現人的自由全面發展的價值所在。因此，鼓勵民間社會組織的發展，細心經營家庭與社區的緊密性，給城市社會不斷注入活力且形成城市行動與行為合力，是克服奧爾森所指出的“集體行動悖論”的有效方式。

從世界范圍看，城市基礎設施項目投資的特點是投資量大、回收時間長，只有通過收費、享受政策優惠或得到政府補貼才能彌補經營虧損。引進社會資本是解決政府一次性投入不足的辦法，但前提一是要有完善的基礎設施投資、建設、運營的市場化環境，二是創新融資方式和金融工具使社會資本大規模進入。資本的本性決定了只有能產生收益的項目才能成為其追逐的對象，政府在一定范圍內通過價格調整減少乃至消除投資帶來的虧損，是投資建設必要的前提。因此，垃圾處理的市場化基礎是建立收費制度，同時政府有足夠的經濟能力。德國是世界上實施垃圾收費制度最有效的國家之一，垃圾處理價格機制非常完善，使垃圾處理設施的建設投資和運營費用有了可靠保證。

2.1 相對密度的模型建立

假設x1，x2,…,xi,…,xn為n個樣本點并用數據集A表示，則相對密度的模型建立過程如下：

步驟1計算樣本點xi與樣本點xj的歐式距離

(6)

步驟2計算樣本點xi的k近鄰距離[25]

k_dist(xi)=d(xi,xj)，并且滿足：

a) 對于任意正整數k，在樣本中至少有不包括xi在內的k個點x′j∈A{xi}，則d(xi,x′j)≤d(xi,xj)；

b) 樣本中最多有不包括xi在內的k-1個點x′j∈A{xi}，滿足d(xi,x′j)

式中，k_dist(xi)為樣本點xi的k近鄰距離。

步驟3已知k_dist(xi)，樣本點xi的k距離鄰域可表示為

(7)

式中:Nk(xi)為樣本點xi的k距離鄰域包含到xi的距離不大于k_dist(xi)的所有樣本；x′i為xi的k近鄰；d(xi,x′i)為xi和x′i的歐式距離。

步驟4計算樣本點xi相對于xj的可達距離

為消除核估計的邊界偏移，使其準確性提高，對有界系統退化增量進行對數核微分同胚變換[26]

比如，跑腿小哥，他們每天“往死里跑單”，跑得多的每天至少有兩三百千米，但是卻沒有社會保障。甚至在具體協議中，由于不存在勞動關系，勞動者與平臺之間不存在繳納相關社會保險的義務，而勞動者由于患病或工作期間負傷，應自行承擔相關責任，與平臺方無涉。可見，零工經濟帶來了自由和效率，但也讓勞動關系確認變得更加復雜。

(8)

式中：reach_dist(xi,xj)為樣本點xi相對于xj的可達距離；d(xi,xj)為樣本點xi與xj之間的歐氏距離，k_dist(xj)為樣本點xj的k近鄰距離。

步驟5計算樣本點xi的局部可達密度，可表示為

(9)

式中:lrd(xi)為樣本點xi的k距離鄰域內點到xi的平均可達距離的倒數；|Nk(xi)|為樣本點xi的k距離鄰域內所有樣本。

步驟6樣本點xi的相對密度ρ(xi)可表示為

(10)

式中：樣本點xj為k距離鄰域內所有樣本點;lrd(xj)為樣本點xj的局部可達密度。通過上述推導將式(9)代入式(10)可推出相對密度ρ(xi)的表達式為

處于妊娠期，尤其是對于孕晚期的產婦來說，其往往會處于一種致糖尿病狀態，極容易導致妊娠期糖尿病的發生[1]。若產婦的機體無法自主增加分泌胰島素，來克服妊娠期出現的胰島素缺乏情況，則會導致妊娠糖尿病發生。而隨著妊娠糖尿病發病情況增加，臨床咋檢驗技術方面也在不斷進步，其中糖化血紅蛋白檢測在臨床中應用最為廣泛[2]。該次研究了2016年1月—2017年12月收治的60例妊娠糖尿病患者與60名健康妊娠產婦，分析了妊娠糖尿病篩查中即時檢驗糖化血紅蛋白的應用價值，具體報道如下。

(11)

從公式不難看出相對密度ρ(xi)表示的是樣本點xi的局部可達密度與樣本點xi的k距離鄰域內的樣本點|Nk(xi)|的局部可達密度平均值之比。如果ρ(xi)越接近1，則點xi的鄰域點密度相對均勻；若ρ(xi)越小于1，則點xi的密度高于其鄰域點密度，xi為密集點；ρ(xi)越大于1，則點xi的密度小于其鄰域點密度，xi為稀疏點。

2.2 自適應相對密度窗寬的確定

樣本點的相對密度ρ(xi)能夠通過計算點之間的距離來計算樣本的密度，點之間的距離越大，密度越低；點之間的距離越小，密度越高。而通過ρ(xi)來選擇窗寬，能夠根據ρ(xi)與數值1之間的大小關系來先判斷樣本的疏密程度再選取窗寬，從而在低密集區域選擇大的窗寬，在高密度區域選擇小的窗寬。因此，將相對密度ρ(xi)作為窗寬引入核密度估計的模型中，從而構建相對密度的核密度估計表達式為

(12)

式中：ρ(xi)為不同樣本點處核估計的相對密度窗寬，且計算公式為式(11)所示；K(·)為核函數。

2.3 自適應相對密度窗寬的實時更新

由于在實際應用中樣本數據都是實時更新的，如果每增加一個樣本都對其從頭開始計算，那么計算量會隨數據的增多變得復雜化。所以，為使核估計的計算性能得到提升，實現核密度估計的實時更新是不可或缺的。

核密度估計的實時更新用已知的n個樣本的核估計推導第n+1個樣本的核密度估計。推導過程如下：

第n個樣本點的核密度估計表示為

(13)

第n+1個樣本點的核密度估計為

(14)

式中，ρ(xn+1)為樣本點在xn+1處的相對密度窗寬。

由式(3)求得hn為

(15)

3 特征退化分布的計算

(16)

式中，ρ(Δxi)(i=1,2,3,…,n)為不同樣本點處的相對密度窗寬。

圖3 樣本特征退化隨時間變化的曲線Fig.3 Curve of sample feature degradation over time

(17)

當tn+1時刻增加一新樣本時，[0,tn+1]的退化量的概率密度函數如下

(18)

當tn+j時刻新增j個樣本時，[0,tn+j]的退化量的概率密度函數為

(19)

4 剩余壽命預測模型

上文引入相對密度建立核估計的剩余壽命估計模型來保證核估計的平滑性和收斂性。為了消除傳統核密度估計的有界偏差問題，本文在自適應相對密度的核密度估計模型的基礎上引入核微分同胚變換的方法，通過空間映射的方式對剩余壽命預測模型進行變換，從而解決核函數剩余壽命預測模型在邊界上估計的偏差性和無界性。

4.1 核微分同胚估計

(20)

式中:K(·)為核函數；hn為帶寬；φ為隨機變量從區間[a,b]～的微分同胚變換；當x趨于下限或上限時，它的一階導數φ′(x)趨于無窮。其中，φ(x)和x的關系式為

φ(x)：[a,b]→,

(21)

4.2 核微分同胚估計的剩余壽命預測模型

設tn為當前時刻，[0,tn]監測時間內采集到的當前樣本退化數據，其相應的特征退化隨時間退化的特征增量可以作為隨機變量Δx∈[0,xth](xth為失效閾值)。

以精神科護士遭受暴力種類、暴力發生頻次、暴力應對方式、醫院態度等作為自變量，以護士職業倦怠3個維度分別作為應變量，進行多元線性回歸分析，分析結果見表5～表7。

從廣義角度分析，行政問責制要求國家行政部門的人員在行使權力的過程中秉承對人民負責的原則，堅持以滿足人民的根本利益為目的，實現權為民所使、利為民所謀。在行使權力的過程中出現的不良后果，人民都能找到具體的行政主體來承擔相應責任。在這個過程中，人民群眾是主體，政府是問責對象，政府行政人員在行使權力的過程中接受人民群眾的監督和質詢并承擔對應的責任。從狹義角度分析，行政問責制可應用于行政部門對內部相關行政人員問責的制度。若行政人員在其應負責的工作中有失職情況，行政部門可對相關行政人員問責。通過對失職情況的及時調查并追究相應責任，實現部門內的自我監督進而實現權為民所用。

reach_dist(xi,xj)=max{k_dist(xj),d(xi,xj)}

(22)

由上述將有界隨機變量轉換到實數域上，通過這種空間映射方式，建立微分同胚的核密度估計模型有效減少了邊界處的自變量偏移問題。

式中：K(·)為核函數；ρ(xi)為相對密度窗寬。

設tn+t時刻，特征退化量達到xth(見圖3)時系統失效。要對當前tn時刻的剩余壽命進行預測，可通過初始時刻到當前tn時刻的退化量x1∶n(記xn=x(tn)，x1∶n={x1,x2,…,xn})，推出tn+t時刻的xn+t。設T為設備的剩余壽命，則剩余壽命的概率密度分布函數FT(t)為

賈楠(1983-)，女，遼寧省營口人，碩士研究生，畢業于美國天普大學，現有職稱：中級經濟師，研究方向：經濟管理。

通過對已知的單位時間隨機退化特征增量核微分同胚估計，用卷積求其特征退化量的概率密度函數，將對數微分同胚變換后[0,tn+t]特征退化量的概率密度記為gd(xn+t)

(25)

剩余壽命預測的概率密度為

(26)

在實時監測數據的更新下，tn+t時刻n+t個樣本核微分同胚變換的相對密度核估計為

根據式(25)和式(27)可推出

1.1 對象 選取2011年1月—2012年12月在我院兒科實習的全日制護理學生104名，均為女性。其中本科學歷38 名，大專學歷66 名，平均年齡(20.8 ±1.2)，實習時間均為4周。以2011年1—12月實習護生52名為對照組。以2012年1—12月52名學生為實驗組，兩組學生一般資料比較，差異無統計學意義(P＞0.05)。

窗寬h作為影響核密度估計平滑性和核函數寬度的主要因素，當h較小時，核密度估計曲線不夠光滑且曲折，表露了較多細節；當窗寬較大時，核密度估計曲線比較平滑，但掩蓋了較多細節。因此，選擇合適的窗寬對核密度估計是非常重要的。現有的研究中核估計的窗寬分為固定窗寬和自適應窗寬。下面分別對兩種窗寬進行介紹，并將其存在的問題進行分析。

對于250 MW等級的發電電動機，電負荷一般選取在700～800 A/cm左右，可以獲得合理的利用系數。另外，從控制熱負荷、運行穩定域寬考慮，選擇360槽方案是比較適宜的。

式中，g(xn+t)為[0,tn+t]特征退化量的概率密度。

在園林綠化施工過程中，花卉移植是一項非常重要的工作。具體指的是將提前培育好的花卉品種根據園林設計的具體情況進行移植，從而達到布景的效果。移植過程通常可以分為2個步驟：起苗和栽植。栽植過程也被稱為定植過程。有些花卉由于在移植過程中容易死亡，因此可以通過有性繁殖的方式，提前在容器或者苗床內完成育苗工作，為后續的定植提供便利條件。具體的栽植方式又可以分為有土和無土2種［3］。

從而能夠推出tn時刻系統剩余壽命預測的概率密度函數為

(29)

隨著實時監測的進行，監測到的樣本數據不斷增多，樣本的核密度估計也隨著不斷更新，采用非實時的壽命預測模型時，每新增一個樣本數據，基于這些樣本的核密度估計都要重新計算，這樣會造成歷史樣本不斷重復計算，計算量也會越來越大，為避免實時監測系統中樣本核密度估計不斷重復計算的問題，提出對核密度估計模型實時更新的遞推算法，進而實現對特征退化分布和實時剩余壽命的不斷實時更新。

5 實例分析

5.1 齒輪磨損試驗

以齒輪箱的齒輪為研究對象對本文模型進行驗證，圖4為齒輪試驗臺架，其中心距為150 mm，電機轉速為1 200 r/min。本試驗過程主要是針對加速度傳感器的振動信號進行監測。

圖5介紹了各個傳感器的分布，1#～8#為加速度傳感器(4#裝設在軸承座的徑向)；在主試箱和陪試箱的正上方40 cm處安裝了9#和10#為聲音傳感器；齒輪箱的溫度是通過主試箱內的11#溫度傳感器來測。采用快速測定法，加載了八級載荷，在第八級載荷發生斷齒。本試驗主要對4#傳感器記錄齒輪箱在第八級載荷的加速度數據進行分析。采樣頻率為25.6 kHz，每次持續60 s，每9 min記錄一次數據。

為了能夠更好的展現退化趨勢，可通過采用均方幅值方法對數據進行特征提取，減少后期預測中的誤差。求得采樣信號的均方幅值為

(30)

式中：n為采樣點數；yj為初始振動信號；yi為均方根幅值。

圖6為特征值隨監測時間變化曲線。由圖6可看出，該特征提取方法可以很好的把齒輪箱退化趨勢展示出來。

圖6 特征值隨監測時間變化曲線Fig.6 Curve of characteristic values changing with monitoring time

由圖6知，在t∈[0,10]h時，齒輪處于嚙齒階段；t∈[10,68]h時，特征值逐漸增大，齒輪進入正常磨損；t∈[68,77]h時，齒輪磨損加劇，在77.17 h發生斷齒，此時齒輪的故障閾值為y=76.325 mm/s2。

5.1.1 自適應相對密度窗寬的確定

通過前文提出的自適應相對密度方法對核密度估計的窗寬進行選取。圖7給(a)～圖7(c)分別給出了t=40 h,t=70 h,t=77 h三個不同時刻樣本點的相對密度窗寬選取。圖中：“o”為特征退化增量樣本值；“*”為相對密度窗寬值從而可看出，隨著樣本數據的增多，相對密度窗寬方法能夠自適應的選取窗寬，在不同樣本密度下能夠選擇出合適的窗寬。

圖7 不同時刻樣本相對密度窗寬的選取Fig.7 Selection of window width of relative density of samples at different moments

5.1.2 齒輪的實時剩余壽命預測

用本文模型對齒輪實時剩余壽命預測，得到圖8所示的自適應相對密度核估計的剩余壽命預測估計值與實際值在實時監測系統下不同監測時間的比較圖。其中，剩余壽命預測值通過平均剩余壽命求得

(31)

由圖8分析可得，在初始階段由于樣本數據少，剩余壽命的預測值與實際值之間的誤差較大；隨著監測時間的變化，樣本的增多，剩余壽命的概率密度越來越高，越來越窄，方差逐漸越小，預測值逐漸貼近實際值，表明預測的剩余壽命愈加準確。(圖8中：‘*’為估計值；‘o’為實際值)

圖8 不同監測時刻的概率密度函數Fig.8 Probability density function at different monitoring moments

為了更加清楚地分析不同時刻剩余壽命的概率密度比較，表1給出了本文所提方法的剩余壽命預測值和實際值的均方根誤差。由表1中數據可以分析出，在監測系統的實時更新，隨著樣本數據的不斷增多，預測值與實際值之間的誤差逐漸變小，驗證了本文方法的可行性。

表1 剩余壽命預測值與實際值的比較Tab.1 Comparison of predicted and actual values of remaining life

5.1.3 基于固定、積分均方誤差和相對密度三種窗寬準確性比較

在實時監測系統下，隨著數據的不斷變化，要使選擇的窗寬能夠滿足自適應地在密度小的區間選擇較大的窗寬，在密度大的區間選擇較小的窗寬。

圖9和圖10分別給出了監測時間t=40 h和t=70 h時基于固定窗寬、自適應大拇指法則窗寬與自適應相對密度窗寬三種窗寬的核估計概率密度的比較(圖中：‘*’為估計值；‘o’為實際值)。

圖9 t=40 h的核估計概率密度比較Fig.9 Comparison of kernel estimate probability density for t=40 h

圖10 t=70 h的核估計概率密度比較Fig.10 Comparison of kernel estimate probability density for t=70 h

由圖可知，基于自適應相對密度窗寬的方法與其他兩種窗寬的方法相比，其結果更接近實際值。隨著監測時間的變化，樣本數據的不斷增加，三個窗寬下的剩余壽命估計值與實際值之間的誤差會逐漸變小，而本文相對密度窗寬的方法相較于其他方法預測結果的誤差相對更小。從整體分析來說，本文所提的相對密度窗寬在核估計時可以更好的將數據擬合，并能更加準確的對概率密度函數進行估計，從而使剩余壽命預測的可靠性和準確度進一步提高。

5.1.4 核估計的邊界偏移問題

在剩余壽命預測上，為了消除核估計的邊界偏移問題，對有界隨機變量進行對數核微分同胚變換將定義域轉化到實數域上，再用核密度估計進行概率密度估計，從而提高預測的準確性。圖11和圖12給出在t=40 h和t=70 h兩個不同時刻下本文提出模型與傳統核密度估計模型在核估計的偏差問題的比較。

圖11 t=40 h的核估計偏差比較Fig.11 Comparison of kernel estimation deviations for t=40 h

從圖中可以看出，兩個不同時刻都反映出傳統核密度估計存在有界性產生的邊界偏差問題，而本文提出的方法經過核微分同胚變換將定義域轉化到實數域上，有效的消除了核估計的邊界偏差。因此，本文提出的模型能夠有效解決邊界偏移問題，提高了剩余壽命預測可靠性和準確性。

圖12 t=70 h核估計偏差比較Fig.12 Comparison of deviation of kernel estimation for t=70 h

5.1.5 不同模型比較

目前在機器學習的剩余壽命預測方法中LSTM神經網絡方法對于故障時間序列有著較好的預測效果；Gamma過程和Wiener過程是兩個最常用隨機過程退化建模的方法，在壽命預測建模中應用較多。因此，為了驗證本文模型的精確度，采用上述三種方法與本文模型進行比較分析。

(1)采用Zhang等的LSTM神經網絡方法對齒輪進行了剩余壽命預測。圖13(a)為周期數為420(10 min)，即70 h時預測的剩余壽命結果，在周期數為455(10 min)時，達到閾值76.325 mm/s2，故其預測的剩余壽命為455-420=35(10 min)=5.83 h。圖13(b)為周期數為450(10 min)，即75 h時預測的剩余壽命結果，在周期數為456(10 min)時，達到閾值76.325 mm/s2，故其預測的剩余壽命為456-450=6(10 min)=1 h。與本文模型具體的結果比較見表2。

圖13 LSTM模型不同時刻的剩余壽命預測Fig.13 Residual life prediction of LSTM model at different times

(2)齒輪的退化是一個持續累積退化的過程，Gamma過程由于具有非負、增長、獨立增量的屬性，被廣泛用于逐漸累積損傷過程的退化建模中。為進一步測試本文模型的準確性，在相同條件下，采用基于Gamma過程的剩余壽命預測方法進行比較說明。圖14(a)和圖14(b)分別是監測時間t=60 h和t=70 h時兩種模型的剩余壽命概率密度(圖中：‘*’為預測值；‘o’為實際值)。

圖14 不同時刻下本文模型與Gamma過程的比較Fig.14 Comparison of the model and Gamma process at different time point

通過圖14可分析出，本文模型方法相對于基于Gamma過程的方法來說，其剩余壽命的概率密度函數的方差愈來愈小，可以更好地反映樣本數據，預測值更加貼近真實值。t=70 h時能夠明顯看出本文方法的預測值更接近實際值。因此，本文模型在剩余壽命預測的應用上更加準確有效。

(3)Wiener過程模型多用于對具有非單調退化過程的設備進行建模。在相同條件下采用Zhai等研究中Wiener過程模型對齒輪的剩余壽命進行預測。圖15(a)和圖15(b)分別給出了監測時間t=60 h和t=70 h時本文模型和Wiener過程模型的剩余壽命概率密度比較。

由圖15可以看出，本文模型與維納過程模型相比，剩余壽命的概率密度函數的方差愈來愈小，預測值更加貼近真實值，預測的準確性提高。

此外，通過引入相對誤差指標進一步量化預測的精確度，給出監測時間在t=60 h,t=65 h,t=70 h,t=75 h,t=77 h五個時刻下四種方法的比較結果。

圖15 不同時刻本文模型與Wiener過程模型的比較Fig.15 Comparison between the model in this paper and Wiener process model at different times

通過表2可知，在不同時刻的相對誤差比較下，四種模型的剩余壽命預測結果都逐漸趨于真實值，而本文模型的預測結果與LSTM模型、Gamma過程以及基于Wiener過程三種方法相比，其相對誤差更小，從而驗證了本文模型的優越性。

表2 不同監測時刻下相對誤差的比較結果Tab.2 Comparison results of relative errors at different monitoring times

5.2 滾動軸承的加速壽命試驗

為驗證本文方法的有效性，利用IEEE PHM2012提供的軸承全壽命數據對模型進行驗證。本文以轉速為1 800 r/min,載荷為4 000 N工況下的Bearing 1-1的全壽命振動數據為例進行分析。該數據來源于FEMTO-ST研究中心PRONOSTIA試驗臺對滾動軸承的加速壽命試驗，振動信號的采樣頻率為25.6 kHz，10 s采集一次，一次采集0.1 s，即一次采集2 560個樣本點。

通過均方幅值法處理Bearing 1-1的全壽命振動數據，如圖16所示的特征值隨監測時間變化曲線。從圖16可以看出，均方根隨時間基本呈現單調增加的趨勢，能較好地反映其退化趨勢，該軸承在t=2.749×104s時磨損開始加劇，且在t=2.803×104s時失效，均方根的失效閾值為5.607 mm/s2。

圖16 特征值隨監測時間變化曲線Fig.16 Curve of characteristic values changing with monitoring time

采用本文模型對軸承進行剩余壽命預測，由圖17可知，隨著系統運行時間的增加，接收到的監測樣本不斷增多，基于相對密度核估計的剩余壽命的概率密度不斷實時更新，剩余壽命的概率密度變窄變高，方差越來越小，說明預測的準確性不斷提高。

圖17 不同監測時刻的概率密度函數Fig.17 Probability density function at different monitoring moments

為進一步對本文提出方法的預測效果進行評估，表3給出了對不同監測時間，實際剩余壽命、本文模型預測的平均剩余壽命的均方根誤差(root mean square error，RMSE)比較。

從表3可以看出，隨監測時間的增加，RMSE呈現逐漸減小的趨勢，且隨著監測數據的增多，預測的剩余壽命與真實壽命的誤差更小，說明本文模型預測的剩余壽命更接近實際的壽命值。

表3 剩余壽命預測值與實際值的比較Tab.3 Comparison of predicted and actual values of remaining life

6 結 論

本文針對核密度估計在設備剩余壽命預測時，由于在監測數據分布不均勻區域選擇的窗寬不夠準確和核估計模型中隨機變量的有界性產生的邊界偏差，從而導致預測的不準確，提出一種基于相對密度的核估計實時剩余壽命預測方法。該模型將k近鄰思想計算出的樣本點的相對密度作為核密度估計的窗寬，不僅解決了固定窗寬由樣本數據分布不均導致擬合不足的問題，而且能夠對任意形狀，密度不均勻的數據集自適應地選擇出更加準確的窗寬，提高了擬合度。在核估計的邊界偏差上，引入核微分同胚變換的方法有效的消除了核密度估計帶來的邊界偏差問題。此外，隨著樣本的增加，為了避免核密度估計的重復計算，建立了基于相對密度核估計的實時更新模型。實例分析表明，隨著樣本數據的增加，剩余壽命的預測越來越接近實際值，方差變得越來越小，提高了預測的準確性；并且通過與LSTM模型、基于Wiener過程以及基于Gamma過程的預測方法比較，進一步驗證了本文模型的準確性和有效性。