基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法

靳 新

(沈陽工學院，信息與控制學院，遼寧 撫順 113122)

0 引言

轉軸向載荷的傳遞即使是采用空間機械臂和行星齒輪傳動元件，仍受柔性因素的影響。但在諧波傳動下，這對空間機器人轉軸傳遞仍有影響。由于柔性關節可能引起控制系統遲滯、非線性耦合、高頻共振等問題，因此，柔性關節空間機械臂運動時，該關節對于機械臂的精準抓取、運動方向和整個運動的平滑度都會產生較大影響，甚至威脅整個系統的使用安全性[1-2]。未考慮柔性關節控制器在實際應用中存在的問題，會導致系統不穩定。為了改善上述問題，應對機械臂結構出現的干擾項目進行分析，此時的柔性關節成為了機械臂軌跡跟蹤的一個障礙[3]。因此，在設計柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法時，不可忽視柔性關節的動態學變化。為了消除這一障礙，必須合理控制柔性關節空間機械臂運動軌跡。

當前相關領域研究人員針對柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制進行了研究。文獻[4]提出了基于模型預測控制的柔性關節空間機械臂的軌跡跟蹤控制方法。利用歐拉-拉格朗日公式，構建機械臂運動的動力學模型，結合數值仿真，對連續運動的機械臂運動軌跡進行預測。文獻[5]提出了機械臂關節空間軌跡的神經網絡滑模跟蹤控制方法，忽略系統擾動的不確定項，構建全局PID滑?？刂破?，通過等效切換控制律，對不確定項的逼近值補償，達到精準控制的目的。然而，上述兩種方法僅考慮了機械臂的控制性能，而在不同重力環境下，重力釋放會對機械臂驅動力造成一定影響，導致控制效果不理想。

為了解決這個問題，提出了基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法。通過PMSM驅動力矩分析方法，分析不同重力環境下有、無摩擦時的驅動力矩。通過構建柔性關節模型，對機器人的末端執行機構進行快速準確的位置控制。使用自適應反演滑模控制方法，設計控制律，保證機械臂能夠按照既定的方向運動，使機械臂具有魯棒性。根據柔性關節空間機械臂動力學特性，設計控制器，構建柔性關節空間機械臂動力學模型，確?？臻g階段能夠最大限度跟蹤運動軌跡，有效減小機械臂軌跡跟蹤控制誤差，從而保證柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制效果。

1 不同重力環境下基于PMSM驅動力矩分析

1.1 PMSM驅動數學模型構建

為了得到PMSM的數學模型，應忽略電磁鐵芯飽和狀態，不計量PMSM電機中電磁損耗，PMSM調速控制中，構建旋轉坐標系下的PMSM驅動模型[6]。該模型是由兩部分組成的，分別是PMSM電壓方程和驅動力矩方程，如下所示。

1)PMSM的電壓方程為：

(1)

公式(1)中，R表示定子電阻；UA、UB分別表示定子電壓在直軸和交軸上的分矢量；IA、IB分別表示定子電流在直軸和交軸上的分矢量；ψA、ψB分別表示定子磁鏈矢量在直軸和交軸上的分矢量；Vθ表示轉子角速度[7-9]。

2)PMSM的驅動力矩方程為：

E=n(ψAIB-ψBIA)=n[ψfIB+(qA-qB)IAIB]

(2)

公式(2)中，qA、qB分別表示在直軸和交軸上的電感；ψf表示轉子在定子上的耦合電磁量；n表示電磁極個數。

根據構建的旋轉坐標系下的PMSM驅動模型，在保證各項參數不變的情況下，對驅動力矩的控制與對直軸和交軸上的電流控制方式一致[10-12]。針對給定的輸出驅動力矩，存在的直、交軸的控制組合將影響PMSM驅動電機的效率和力矩輸出能力。

1.2 驅動力矩矢量分析

采用PMSM的矢量控制方法，可使柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤在允許的速度和位置范圍內。機械臂上的轉子和定子均使用了三相繞組形式，使兩者產生了耦合關系，此時的轉子是一種永磁體結構，內應力不均勻性很小[13]。而定子是通過磁場之間相互作用而得到的，基于此，根據構建的PMSM驅動數學模型，分析驅動力矩：

1)設定子電流在直軸上的分矢量為0，由于柔性關節空間機械臂在運動時沒有產生直軸電磁成分，所有也不會出現磁體恢復到磁中性的過程，因此，該矢量設置下的驅動力矩與電流是成正比例關系的[14-15]。

2)設功率因素為常數1，由于電力負載在變化過程中，逆變電路中的逆變電容吸收能力較強，使得繞組總磁保持恒定狀態，因此，該矢量設置下的驅動力矩與電流是呈線性關系的[16]。

在滿足輸出轉矩要求時，定子電流在直軸和交軸上的分矢量變化最小，也降低了機械臂運動所產生的能耗。通過設置的矢量，能夠增強逆變電容吸收能力，降低運行成本[17-18]。因此，對于驅動力矩的矢量控制也就是對PMSM電流的控制，通過控制定子電流，能夠使電磁波動幅度與定子交聯幅度一致，即使在快速運動模式下，設置這種矢量也能保證輸出的驅動力矩與目標一致。

1.3 不同重力環境下PMSM驅動力矩分析

根據驅動力矩矢量分析結果，分析不同重力環境下有、無摩擦時的驅動力矩，如圖1所示。

圖1 不同重力環境下有、無摩擦時的驅動力矩

由圖1可知，在不同重力情況下，空間摩擦對驅動力矩影響相比于地面摩擦來說較大。針對空間無摩擦情況，驅動力矩在-1和1范圍內波動，趨近于0。此時的驅動力矩是與運動方向呈正相關的相位力矩；針對地面無摩擦情況，由于驅動力矩的產生就是為了克服摩擦力矩的，所以驅動力矩是與運動方向呈負相關的相位力矩；針對地面有摩擦情況，隨著時間的增加，驅動力矩為了克服重力對柔性關節空間機械臂的影響，上下波動幅度較大[19]。

2 考慮摩擦的機械臂軌跡跟蹤控制方案設計

在重力環境下，設計考慮摩擦情況下的機械臂軌跡跟蹤控制方案。假定該機械臂只在平面內運動，每個柔性關節都建模為一個線性彈簧，如圖2所示。

圖2 柔性關節模型

由圖2可知，在剛性較小的情況下，關節部位的柔性更大。在這種情況下，共振頻率較低，使系統的有效帶寬大幅下降，嚴重影響了系統的穩定；在剛性較大的情況下，關節的柔韌性相對較低，這對于系統的控制更為有利。因此，柔性關節的控制策略就是要解決如何通過合理的設計來減小或消除關節的撓性對關節的影響，從而改善其穩定性[20]。在剛性較小的情況下，關節部位的柔性更大。在這種情況下，控制器已不能滿足控制品質的需要，因此，必須要有較高的控制精度。要解決這一問題，必須考慮以下兩方面：(1)考慮外部干擾、參數不確定性和結構不確定性，并對其進行了更為準確的建模；(2)研制一種具有較好的穩定性的控制器，以解決控制系統初始輸出時的抖動幅度過大的問題，并對機器人的末端執行機構進行快速準確的位置控制，使其能夠順利地進行空間作業。

對于柔性關節空間機械臂在不同重力環境下遇到的重力釋放問題，使用自適應反演滑?？刂品椒╗21]，其流程如圖3所示。

圖3 自適應反演滑?？刂屏鞒?/p>

由圖3可知，在給出初始力矩的末端軌跡的情況下，確定關節速度，并根據動力學方程計算關節力矩[22]。實時計算更新控制器參數，根據輸入輸出數據，得到新的控制力矩和關節速度，完成了機器人末端軌跡的跟蹤控制。

依據自適應反演滑?？刂屏鞒?，設計控制律，保證機械臂能夠按照既定的方向運動，運動所形成的面為滑模面[23]。通過設計與擾動無關的滑模面，能夠保證機械臂具有魯棒性。

步驟一：確定滑模面S。

為了克服機器人手臂的真實模型參數不確定，采用了一種基于固定時間的運動控制策略，以解決機器人運動過程中存在的參數偏差和未知的動態干擾。固定時間收斂性是指在給定的時間范圍內，由任何初值向有限時域收斂，并且具有均勻的收斂性。在此基礎上，利用自適應滑動模態控制算法來確定系統的運動狀態，以保證系統的整體運動穩定[24]。

當觀察到復雜干擾時，這種時間觀測器的估算值可以在真實干擾情況下得到全局收斂，并且具有很好的計算精度。在給定的初始干擾條件下，固定時間觀測器的估計誤差具有相同的收斂時間，而且在一定的參數下，可以使收斂性縮短。在對定時干擾觀測的基礎上，提出了一種具有指數收斂性的自適應滑動表面。設計步驟如下：在確定了滑動模態之后，將等速度滑模近似規律與純粹指數近似法則相結合，設計了一種指數收斂性的滑模擬合規律。在此基礎上，將自適應參數引入到滑模趨近律中，以抑制滑動模態的抖動，從而檢驗其穩定性。

計算關節角度誤差，公式為：

θ′=θ0-θ

(3)

公式(3)中，θ0表示給定的關節角度；θ表示實際運動的關節角度?；诖?，確定滑模面，公式為：

S=F·θ′

(4)

公式(4)中，F表示離線矩陣。當柔性關節空間機械臂狀態距離滑模面較遠時，滑模面計算結果趨近于無窮大值。未知模型參數對趨近律的影響是可以忽略不計的。隨著時間的增長，趨近律呈指數速率增長，趨近于0，此時柔性關節空間機械臂運動軌跡接近于滑模面；當柔性關節空間機械臂運動軌跡處于滑模面附近時，趨近律趨近于0，此時柔性關節空間機械臂呈等速率運動，其運動軌跡趨近于滑模面。

針對等速趨近律的運動模式下，柔性關節空間機械臂運動速度與抖振水平是相互影響的[25]。為了保證柔性關節空間機械臂能夠獲取快速趨近律時，能夠有效抑制抖振情況。

步驟二：設計控制律。

控制律公式為：

(5)

公式(5)中的控制律主要由兩部分組成，分別為等效控制律，用于機械臂沿著滑模面運動的控制力；切換控制律，用于抵抗外界干擾的控制力[26]。當柔性關節空間機械臂在滑模面上運動時，滿足S=0,即一階非線性控制系統的切換控制律由趨近律決定。

步驟三：控制器設計。

柔性關節空間機械臂動力學滿足如下特性：

特性1：慣性矩陣是對稱正定矩陣，描述公式為：

(6)

特性2：斜對稱矩陣，描述公式為：

(7)

為了保證設計的控制器具有可靠性，結合上述分析的不同重力環境下基于PMSM驅動力矩，確定重力項是隨之發生改變的。當機械臂處于地面調試階段時，構建的動力學模型可表示為：

(8)

公式(8)中，ω為重力項；τ為空間階段的動力學項。當機械臂處于空間階段時，此時ω為0，機械臂處于自由運動狀態，此時的重力項是一個擾動項目。

在高精密運動中，關節的柔性比連桿的撓性更大。忽略了關節的變形對系統的穩定性的影響，將會使機器人的運動不穩定。實際上，為了保證工作的平穩進行，在柔性關節空間機械臂運動中，必須對由各個運動參數引起的彈性振動進行抑制，并通過燃燒燃料來實現。在此基礎上，提出了一種基于機械臂運動方程的優化運動模型，并給出了一種基于有限元模型的機器人運動模型，使得系統的輸出能夠跟蹤所需的輸出，并把機器人從最初的位置移動到所需的最終位置，從而減少了操作的要求。因此，在彈性關節軌道規劃中，要以最少的燃料消耗來達到最大限度的振動，同時要達到關節軌道規劃的約束。

為了方便描述該問題，可將動力學方程轉換成狀態方程形式，如下所示：

z=α(z)+βx

(9)

公式(9)中，α(z)、β分別表示狀態變量z和時間的矢量函數；x表示控制變量。

在此基礎上，給出了一種基于柔性關節振動的最佳阻尼能量控制問題：在一定的時間范圍內，柔性關節空間機械臂能夠從初始位置平穩地持續地移動到期望的目標位置，減少了操作參數的生成，避免了過多的參數影響了數據的獲取。問題的被積函數僅與約束行為、固定終端時間、約束終端狀態和綜合性能指數相關，為此，結合公式(7)將動力學方程轉換成狀態方程的轉換結果，使其在整個運動過程中，關節軌跡平滑，無振動，且在起始和結束時，其速度曲線平滑、連續。所設計的關節角度速度變化幅度較小，能夠有效地防止由于轉速變化太大而造成的系統振動。該方法能確保系統在運行時的穩定，而且不會產生殘余振動，對終端執行機構的準確定位和控制精度有很大的幫助。

步驟四：PMSM矢量控制。

由于設計的控制器對機械臂運動的不確定性具有較強魯棒性，為此，提出了一種PMSM矢量控制方法，通過該方法對機械臂進行控制，確保空間階段具有良好的控制效果，此時的擾動項，即重力項取最大值，能夠最大限度滿足精準跟蹤效果。由于正弦波PMSM轉子磁動勢方向不變，所以該方向隨著轉子位置變化而發生改變，但幅值保持不變，PMSM矢量控制方式也是根據磁場方向改變而發生變化的。

假設PMSM轉子存在一個虛擬勵磁繞組，那么當繞組通過虛擬勵磁電流的時候，其與PMSM轉子磁動勢一致。為此，PMSM與電勵磁同步的電動機等效，并保持電流恒定不變，等效的虛擬勵磁繞組是由恒定電流為機械臂供電的。PMSM是通過對轉子磁鏈的定向控制，使其在基本頻率以下恒定在力矩工作范圍，從而使定子電流在q軸以上，其值為0。該情況下的控制方案較為簡單，保持輸入變量恒定不變，使電磁轉矩和電流成正比，由此確定轉子在空間的位置，然后通過控制逆變器讓定子合成電流矢量落在q軸上面。

步驟五：檢測電動機轉子位置。

使用定子繞組的反向電動勢估計PMSM轉子位置，適用于機械臂高速運轉。當反電動勢較小時，轉子估計的誤差就會變大。當機械臂以較低速度運行時，根據定子部分的電磁飽和特點，給定子繞組加上額外電壓，進而獲取電感變化量。結合相電感轉子位置函數，計算轉子位置角，進而保持PMSM速度閉環系統的穩定性。

步驟六：轉子磁鏈定向控制。

由于定子電流軸分量為0，為了使PMSM控制方法更加簡單，使勵磁和軸阻尼繞組結合成一對耦合線圈，保證其不會與定子電流出現相互作用，從而讓軸和繞組完全解耦。轉子永磁磁通和定子電流是相互解耦的，PMSM控制結構簡單，轉矩也相當穩定，調速范圍比較寬，特別適用于高性能的空間機械臂場合。當定子電流增大時，由于電樞會出現反應，導致氣隙合成的機械臂磁鏈將會增大，大幅度提升電機定子電壓，促使PMSM功率降低。因此，使用這種控制方式輸出的電流限幅在要求范圍內。

通過檢測轉子位置角，將電流給定信號的正弦調制以后，計算三相電流給定的信號。采用三相電流閉環控制方案，使實際電流信號快速跟隨給定的信號，達到預期的跟蹤控制效果。

3 實驗分析

3.1 實驗平臺

設計的實驗平臺使用意法半導體芯片STM32和H橋驅動的電機，以H橋驅動DC電機，采用脈寬調制波控制電機運行速度，電動機工作時的驅動電流由霍爾傳感器采集，數據通過導線傳輸給控制單元ADC，經模數轉換后送控制器進一步處理。設計的實驗平臺如圖4所示。

圖4 實驗平臺

由圖4可知，柔性關節空間機械臂是由DC電機提供電源的，機械臂由機械手和機械桿組成。機械臂的一端與電機相連，該端是軸向端，另一端與驅動模塊相連，該端是自由端。DC電機作為基本的驅動裝置，其產生的轉矩是由電機電流和磁場相互作用而生成的。為此，通過微重力環境實驗，可以實現對基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法研究合理性的驗證。

3.2 實驗數據分析

末端軌跡跟蹤和關節控制力矩實驗數據，如圖5和6所示。

圖5 末端軌跡跟蹤

圖6 關節控制力矩

由圖5和6可知，柔性關節空間機械臂在地面能夠使系統輸出結果具有一定規律性，且關節控制力矩不是很大，能夠滿足機械臂要求。

3.3 實驗結果與分析

分別使用基于模型預測控制的柔性關節空間機械臂的軌跡跟蹤控制方法、機械臂關節空間軌跡的神經網絡滑模跟蹤控制方法和基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法，對比分析末端軌跡跟蹤和關節控制力矩跟蹤和控制結果，如圖7和8所示。

圖7 3種方法末端軌跡跟蹤結果對比

由圖7可知，使用基于模型預測控制的柔性關節空間機械臂的軌跡跟蹤控制方法，X軸的跟蹤結果與實際運動軌跡是一致的，所以誤差為0。Y軸的跟蹤結果與實際運動軌跡存在一定偏差，所以誤差為0.2 m；使用機械臂關節空間軌跡的神經網絡滑模跟蹤控制方法，X軸的跟蹤結果與實際運動軌跡不一致，所以誤差為0.8 m。Y軸的跟蹤結果與實際運動軌跡也不一致，所以誤差為0.4 m；使用基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法，X軸、Y軸的跟蹤結果均與實際運動軌跡一致，誤差為0。

圖8 3種方法關節控制力矩控制結果對比

由圖8可知，使用基于模型預測控制的柔性關節空間機械臂的軌跡跟蹤控制方法、機械臂關節空間軌跡的神經網絡滑模跟蹤控制方法均與實際關節控制力矩不一致，使用前一種方法的誤差相對更大，最大誤差為±16 N·m。使用基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法，與實際關節控制力矩基本一致，只要在時間為3 s時，出現了最大為0.5 N·m的誤差。

4 結束語

針對不同重力環境下的驅動力差異問題，提出了基于PMSM驅動的柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制方法。通過PMSM驅動，在考慮重力影響前提下，分析關節角度對驅動力矩影響情況。構建柔性關節模型，使用自適應反演滑模控制方法，設計控制律，保證機械臂能夠按照既定的方向運動。根據柔性關節空間機械臂動力學特性，設計控制器，構建動力學模型，確?？臻g階段能夠最大限度跟蹤運動軌跡，從而實現柔性關節空間機械臂軌跡跟蹤控制。通過實驗研究，驗證了該方法研究的合理性，能夠精準跟蹤和控制柔性關節空間機械臂運動軌跡。

雖然使用該方法具有精準跟蹤和控制效果，但也有很多地方有待完善，詳細工作如下所示：針對考慮重力影響的驅動力分析，只考慮了重力與摩擦力對驅動力的影響，未考慮柔性耦合對驅動力的影響。