一類線性函數(shù)方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解補(bǔ)注*

石勇國(guó) 宋西泠 羅小宇

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100) (四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué) 641208) (內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100)

在各類高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常見的一類線性函數(shù)方程形如：

Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，

(1)

其中A,B為給定實(shí)數(shù)，f是未知函數(shù)，g為已知函數(shù)，φ是迭代周期為n的函數(shù)，這里的迭代周期是指存在最小的正整數(shù)n，使得φ自身復(fù)合n次等于本身，即對(duì)于在定義域內(nèi)任意的x，有

φm(x)≠x(m=1,2,…,n-1)，φn(x)=x.

本文重點(diǎn)探討線性函數(shù)方程(1)在奇異情形A2-B2=0下的求解方法，并且給出實(shí)例，完整討論了迭代周期為2的線性函數(shù)方程(1)的所有解.

1 非奇異情形下的解

那么，對(duì)于更一般的函數(shù)方程(1)，是否存在f(x)的求解公式？下面，就求解線性函數(shù)方程的方法展開說明.

定理1假設(shè)A2-B2≠0，φ是迭代周期為2的函數(shù)，則方程(1)的解為

(2)

證由φ2(x)=φ(φ(x))=x，以φ(x)代換x，代入Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，即

Af(φ(x))+Bf(x)=g(φ(x)).

與方程(1)聯(lián)立并化簡(jiǎn)得

A2f(x)-B2f(x)=Ag(x)-Bg(φ(x)).

由于A2-B2≠0，因此

在定理1中，若φ(x)是一個(gè)迭代周期為2的分式線性函數(shù)，則φ必定具有如下形式

證明從略，詳見文[5]和文[7].于是，方程(2)可以改寫為

一般地，當(dāng)φ(x)為一個(gè)迭代周期為n的函數(shù)，且An+(-1)n-1Bn≠0時(shí)，歸納可得

求解方法詳見文[4].

以上所有求解方法都基于非奇異的必要條件A2-B2≠0.然而，在奇異情形A2-B2=0下，以上定理都不再適用.那么，又如何求奇異情形下方程(1)的解呢？

2 奇異情形下的解

在方程(1)中，當(dāng)A2-B2=0時(shí)，不妨假設(shè)A=B=1，或A=1且B=-1，并考慮最簡(jiǎn)單情形g(x)=0時(shí)方程(1)的解.

引理1設(shè)φ(x)是迭代周期為2的函數(shù)，A=B=1，則線性函數(shù)方程f(x)+f(φ(x))=0的解形如f(x)=h(x)-h(φ(x))，其中h為任意函數(shù).

f(x)=h(x)-h(φ(x)).

引理2設(shè)φ(x)是迭代周期為2的函數(shù)，A=1且B=-1，則線性函數(shù)方程f(x)-f(φ(x))=0的解形如f(x)=h(x)+h(φ(x))，h為任意函數(shù).

f(x)=h(x)+h(φ(x)).

進(jìn)一步地，討論g(x)≠0時(shí)，方程(1)有解的必要條件，以及求解方法.

證明用φ(x)代換x，得到新方程f(φ(x))+f(x)=g(φ(x))，而由原式f(x)+f(φ(x))=g(x)，故g(x)=g(φ(x)).

證明用φ(x)代換x，得到新方程f(φ(x))-f(x)=g(φ(x))，又由原式f(x)-f(φ(x))=g(φ(x))，則g(x)=-g(x).

證明因?yàn)閒(x)=g(x)-f(φ(x))，則有2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+g(x)-f(φ(x))，即

類似地，可以證明：

證明因?yàn)閒(x)=g(x)+f(φ(x))，則有2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+g(x)+f(φ(x))，即

再由定理2，方程的一般解形如：

3 總結(jié)

本文針對(duì)一類線性函數(shù)方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，其中φ(x)是迭代周期為2的函數(shù)，提供了通用的求解方法，補(bǔ)充探討了這類線性函數(shù)方程在奇異情形A2-B2=0時(shí)解的性質(zhì)以及求解的方法，并設(shè)計(jì)了實(shí)際例子以作參考.類似本文方法，可以繼續(xù)研究φ(x)的迭代周期為3，4，5，…，n時(shí)該線性函數(shù)方程的解.