淺論數(shù)學(xué)“解題模型”教學(xué)四步驟
——以“十字架”模型為例

324400 浙江省龍游縣教育局教研室 徐偉建

324402 浙江省龍游縣小南海初中 余 昊

數(shù)學(xué)“解題模型”通常是指教師在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的一些結(jié)論性認識，它表現(xiàn)為一種能有效解決某類題型的技巧，是課標(biāo)、教材中知識的進一步拓展、延伸或更加直觀的表述[1].數(shù)學(xué)“解題模型”往往是學(xué)生解題時聯(lián)想的“原型”，是探究問題的固著點，它能夠啟迪解題方向，幫助學(xué)生形成良好的解題直覺，并實現(xiàn)解題經(jīng)驗和方法的有效遷移.因此，在日常教學(xué)中，以“解題模型”的運用進行專題復(fù)習(xí)教學(xué)深受教師青睞.然而，筆者發(fā)現(xiàn)，“解題模型”教學(xué)中還存在著許多不足之處.例如，有的教學(xué)“掐頭去尾”，采用“模型+練習(xí)”的方式，缺少模型提煉與深度拓展的過程，不知模型從何而來，到何處去；有的模型呈現(xiàn)割裂單一，缺少系統(tǒng)架構(gòu)；有的模型運用機械重復(fù)，問題設(shè)計缺少層次感；還有的教學(xué)在模型運用之后，缺乏思想方法的提煉滲透等.種種數(shù)學(xué)“解題模型”教學(xué)的誤區(qū)，使教學(xué)陷入“應(yīng)試教育”的泥淖.

那么，如何開展數(shù)學(xué)“解題模型”教學(xué)呢？筆者以“十字架”模型的教學(xué)設(shè)計為例，探討“解題模型”教學(xué)的四個步驟.

一、 模型提煉

數(shù)學(xué)“解題模型”是抽象的，而數(shù)學(xué)抽象需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、概括等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.數(shù)學(xué)概念的抽象需要經(jīng)歷上述過程，數(shù)學(xué)“解題模型”的形成也是如此.“解題模型”的提煉過程，就是探尋模型出處，促進學(xué)生認知模型結(jié)構(gòu)的過程.

圖1

問題1已知：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

問題1為浙教版教材八年級下冊“5.3正方形(2)”中的習(xí)題(P.127第4題).將問題1中的線段AE，BF位置進行適當(dāng)平移，可得到如下問題2、問題3.

問題2已知：如圖2，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，AB上的點，AE⊥GF.求證：AE=GF.

問題3已知：如圖3，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CD，AB，AD上的點，HE⊥GF.求證：HE=GF.

圖2圖3

解析：對于問題1，可以直接判定Rt△ABE≌Rt△BCF，證得AE=BF.對于問題2，添加一條輔助線，構(gòu)造Rt△GMF(如圖4所示)，則Rt△ABE≌Rt△GMF,結(jié)論得證，也可以平移GF，將問題化歸到圖1解決.對于問題3，添加兩條輔助線，構(gòu)造Rt△HNE和Rt△GMF(如圖5所示)，則Rt△HNE≌Rt△GMF,結(jié)論得證，也可以平移GF，HE，將問題化歸到圖1解決.

設(shè)計意圖：問題1源自教材習(xí)題，問題2、問題3是問題1的變式.以教材習(xí)題及其變式題創(chuàng)設(shè)問題情境，有兩方面的意義：一是讓學(xué)生體會到“解題模型”根植于教材，探尋到模型的出處；二是為學(xué)生提供足夠數(shù)量的感知材料，便于學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)并提煉出“解題模型”.

圖4圖5

完成解題后，引導(dǎo)學(xué)生思考下列問題.

思考題1觀察圖1-圖3，除了正方形之外，它們都有一個怎樣的模型結(jié)構(gòu)？

思考題2該模型需要具備的條件是什么？結(jié)論又是什么？

思考題3證明結(jié)論的方法是什么？

設(shè)計意圖：設(shè)計三道思考題，重在讓學(xué)生經(jīng)歷模型的提煉過程.思考題1引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、分析圖1-圖3的基礎(chǔ)上,形象地感知解題模型——“十字架”模型.思考題2引導(dǎo)學(xué)生尋找模型具備的條件，即兩條線段互相垂直，且垂線段的端點分別在正方形的兩組對邊上；結(jié)論是這兩條垂線段相等.思考題3證明結(jié)論的方法是借助正方形的邊和角構(gòu)造出全等的直角三角形，再運用全等三角形性質(zhì)得到.通過以上問題的探究，促進學(xué)生加深對模型結(jié)構(gòu)的認知，為模型的遷移運用奠定基礎(chǔ).

典型的“解題模型”通常來源于教材，它是教材知識的拓展延伸.為此，情境問題應(yīng)源自教材中的例題、習(xí)題，這能讓學(xué)生體會到模型存在的重要基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材.模型提煉還應(yīng)在預(yù)設(shè)或生成問題的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)、提煉模型，辨析模型條件，獲得模型結(jié)論，掌握證明結(jié)論的原理或方法，這些都是模型運用與拓展的前提.因此，“解題模型”教學(xué)不能忽視模型的提煉過程.

二、 模型演變

在“解題模型”教學(xué)中，應(yīng)該系統(tǒng)地、聯(lián)系地看待“解題模型”.在進行教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)進行如下思考：還有沒有其他模型可通過該模型演變得到？它們之間存在怎樣的聯(lián)系？變式模型是否也存在著廣泛的運用？經(jīng)過深入思考，系統(tǒng)地梳理模型及其變式，讓學(xué)生從整體上架構(gòu)起模型體系.例如，通過梳理發(fā)現(xiàn)，除了運用于正方形背景中，“十字架”模型在矩形背景中同樣有著廣泛運用，自然就得到如下的演變模型.

圖6圖7

思考：請你比較矩形和正方形背景中“十字架”模型的條件、結(jié)論和證明結(jié)論的方法，它們有何區(qū)別與聯(lián)系？

設(shè)計意圖：問題4使模型的背景由正方形變成了矩形.通過解題后的思考，學(xué)生進一步明確在矩形背景中，該模型的條件是兩條線段互相垂直(即EF⊥GH)，且垂線段的端點分別在矩形的兩組對邊上；結(jié)論是這兩條垂線段與矩形的邊長對應(yīng)成比例；解題的基本方法是借助矩形的邊和角構(gòu)造出相似直角三角形，再運用相似三角形性質(zhì)解題.

三、 模型運用

心理學(xué)研究表明，數(shù)學(xué)模型在獲得后若不能得到及時鞏固與內(nèi)化就會被遺忘，因此，運用、鞏固模型是十分重要的環(huán)節(jié).模型的運用應(yīng)遵循知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯鏈條，由淺入深、層層遞進設(shè)計.通過模型運用環(huán)節(jié)，促進學(xué)生識別模型，運用模型的基本結(jié)論和方法解決新問題，達到學(xué)習(xí)經(jīng)驗有效遷移的功效.

問題5已知：如圖8，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是BC，AB上的點，且CF⊥DE，過點E作EG⊥DE，使得EG=DE，聯(lián)結(jié)FG.試判斷FG與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

圖8

解析：FG∥CE，F(xiàn)G=CE.

理由：根據(jù)正方形中的“十字架”模型，可得DE=CF，因為EG=DE，DE=CF，所以EG=CF;因為EG⊥DE,CF⊥DE，所以EG∥CF.因此，四邊形ECFG是平行四邊形，得到FG∥CE，F(xiàn)G=CE.

圖9

設(shè)計意圖：問題5有一定的綜合性，學(xué)生既要識別正方形背景中的“十字架”模型，運用其結(jié)論和方法，也要結(jié)合平行四邊形判定與性質(zhì)解決問題.問題6在矩形背景中增加模型個數(shù)，圖形看似復(fù)雜，但若能識別模型，并兩次運用模型結(jié)論，再進行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，問題不難解決.問題5、問題6將完整的“十字架”模型置于較復(fù)雜的圖形中，增強學(xué)生識別、運用模型的能力.

四、 模型拓展

數(shù)學(xué)“解題模型”的運用不僅局限于模型的直接運用，還需要適度拓展，通過模型拓展運用，拓寬學(xué)生視野，發(fā)展學(xué)生思維，滲透化歸等數(shù)學(xué)思想方法.模型的拓展運用，通常可采用“虛化”模型結(jié)構(gòu)或者“弱化”模型背景等策略，化“全模”為“半模”，引導(dǎo)學(xué)生以模型為固著點，展開積極的聯(lián)想，找到解題方向，使問題化生為熟、化難為易，從而達到從運用模型向構(gòu)建模型的跨越.

問題7如圖10，將邊長為4的正方形ABCD折疊，使得點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F在AD邊上，求折痕FG的長度.

圖10圖11

圖12圖13

設(shè)計意圖：對于問題7，直接求出折痕FG的長度比較繁瑣，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，線段GF的兩個端點在正方形的一組對邊BC，AD上，如果另外有一條線段的兩個端點在另一組對邊上，且與GF垂直，就可以利用“十字架”模型解決問題，這就為解題提供了聯(lián)想的方向.依據(jù)圖形折疊性質(zhì)，聯(lián)結(jié)對稱點A，E，隱藏的“十字架”模型即浮出水面(如圖11所示)，問題迎刃而解.問題8雖然具有完整的“十字架”(AM⊥DN)，但垂線段AM，DN的端點并不滿足在矩形的兩組對邊上，觀察圖形特點，借助∠ABC=90°，通過添加輔助線構(gòu)造出矩形背景(如圖13所示)，此時，頓有一種豁然開朗的感覺.對于模型的拓展運用不能停留在解決問題的層面，還需要適時反思，感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法.例如，解題后引導(dǎo)學(xué)生再思考以下問題：你為什么會聯(lián)想到“十字架”模型？你是怎樣轉(zhuǎn)化到“十字架”模型的？在轉(zhuǎn)化的過程中，你運用了什么數(shù)學(xué)思想方法？在反思感悟的過程中，學(xué)生自然能深刻感受到化歸、類比等數(shù)學(xué)思想方法的神奇力量，也實現(xiàn)了知識與經(jīng)驗的有效遷移.

“解題模型”的拓展運用關(guān)鍵在于問題的設(shè)計，問題既要有層次性，避免機械重復(fù)地講解與練習(xí)，也要有適切性.問題并非越難越好，好的拓展題應(yīng)讓學(xué)生從題意中聯(lián)想到“解題模型”，啟迪解題方向，形成解題思路，讓學(xué)生體會到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的成就感和愉悅感.這樣的拓展運用既能起到固本的功效，讓學(xué)生體驗到模型學(xué)習(xí)的意義，又能幫助學(xué)生積累聯(lián)想經(jīng)驗，提高解題能力，發(fā)展學(xué)生思維水平.

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)“解題模型”的教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷“模型提煉、演變、運用、拓展”這一完整的學(xué)習(xí)過程，在過程中讓學(xué)生探尋模型出處，認知模型結(jié)構(gòu)，架構(gòu)模型體系，實現(xiàn)從識別模型到構(gòu)建模型的提升；“解題模型”教學(xué)既要注重模型基本結(jié)論的運用，也要注重數(shù)學(xué)思想方法的提煉與滲透，這樣才能發(fā)揮“解題模型”教學(xué)的更大價值.