巧妙利用統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)系提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以一堂“超幾何分布”課程設(shè)計(jì)為例

200231 上海市上海中學(xué) 劉 琴 劉 姍

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

面對最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師一直在探索如何在課程設(shè)計(jì)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生通過課程的學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念,學(xué)會(huì)利用現(xiàn)代科技模擬數(shù)學(xué)問題，提升對數(shù)學(xué)問題的理解,積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

筆者以一節(jié)超幾何分布課的課程設(shè)計(jì)為例，探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中的體現(xiàn).

一、 情境問題

用熟悉的情境引入超幾何分布這個(gè)學(xué)生相識(shí)卻不相知的分布.

某商場為了吸引更多顧客，特在“雙11”時(shí)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，顧客從裝有10只球(4只黃球、6只白球)的箱子里隨機(jī)抽取2只球，若都是白球，則不中獎(jiǎng)；若有1只黃球，則中二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)購物券100元；若有2只黃球，則中一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)購物券200元.每位顧客只能參與一次抽獎(jiǎng)，商場向顧客提供以下兩種選擇.

1.采用放回抽樣的方式，即每次取球后放回，充分混合后再抽取第二次.

2.采用不放回抽樣的方式，即每次取球后不放回，從剩余的球中再抽取第二次.

問題1如果你當(dāng)天恰好在現(xiàn)場，你會(huì)采用哪種抽樣方式？為什么？

問題2如果你是商場總經(jīng)理，你希望顧客采用哪種抽樣方式？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題，并以單元的視角提出研究超幾何分布的必要性，激發(fā)學(xué)生探索的興趣.

簡化問題已知箱中有10只球(4只黃球、6只白球),從中隨機(jī)抽取2只.

1.若每次抽取后放回，設(shè)抽到黃球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.

X012P(X)0.360.480.16

E(X)=0·0.36+1·0.48+2·0.16=0.8.

2.若每次抽取后不放回，設(shè)抽到的黃球個(gè)數(shù)為Y,求Y的分布列.

Y012P(Y)0.33·0.53·0.13·

思考1從顧客的角度來看，為什么選擇放回抽樣？為什么選擇不放回抽樣？(從決策論的角度探討)

引導(dǎo)對比獲得不同獎(jiǎng)勵(lì)的概率，如獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率或獲得大獎(jiǎng)的概率.

思考2兩個(gè)分布的期望是一樣的，這是巧合還是存在某種內(nèi)在的聯(lián)系？

引導(dǎo)放回抽樣是學(xué)生已經(jīng)熟悉的二項(xiàng)分布，帶領(lǐng)學(xué)生回憶二項(xiàng)分布的條件.

提問不放回抽樣的分布是不是也有一定的規(guī)律？

變式1若袋中有10只球(4只黃球、6只白球)，從中隨機(jī)抽取5次,都不放回,設(shè)抽到的黃球個(gè)數(shù)為Y,求Y的分布列.

設(shè)計(jì)意圖：在不放回抽樣的情形下，黃球個(gè)數(shù)Y的取值會(huì)受到取球個(gè)數(shù)和袋中原有黃球個(gè)數(shù)的限制，故設(shè)計(jì)此變式，引導(dǎo)學(xué)生討論Y的取值，為進(jìn)一步抽象概括做準(zhǔn)備.引導(dǎo)學(xué)生討論如下.

1.抽到的黃球個(gè)數(shù)Y可能的取值是多少？(引導(dǎo)學(xué)生討論Y的最大可能取值是在原有黃球個(gè)數(shù)和抽取球個(gè)數(shù)中取大)

2.對應(yīng)不同取值的概率是多少？(引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)字改變的情況下進(jìn)一步探索超幾何分布的分布列)

二、 抽象概括

問題3如果將實(shí)際問題中的具體數(shù)據(jù)變成字母，是否可以抽象出超幾何分布的分布列？

變式2若袋中有N只球[M只黃球、(N—M)只白球]，從中隨機(jī)抽取n次,都不放回,設(shè)抽到的黃球個(gè)數(shù)為Y,求Y的分布列.

設(shè)計(jì)意圖：從具體的數(shù)字到抽象的表達(dá)是形成理性思維的過程，利用熟悉的情境進(jìn)行抽象概括，為更一般情境下的抽象定義奠定基礎(chǔ).

問題4如果不以球作為背景，能否進(jìn)一步抽象出超幾何分布的定義？

引導(dǎo)討論并提出超幾何分布的定義.

Y的分布列如表1所示.

三、 歸納猜想

問題5我們在情境問題中討論過，顧客會(huì)根據(jù)自己對獲得獎(jiǎng)勵(lì)與否或獎(jiǎng)勵(lì)金額的偏好進(jìn)行選擇，但從商場經(jīng)理的角度而言，兩種選擇所需發(fā)放的購物券金額是一樣的，這一結(jié)論由兩種分布的期望所支持.如果有放回地抽樣，X表示抽到的黃球個(gè)數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B(n,p),期望是E(X)=np.如果不放回地抽樣，Y表示抽到的黃球個(gè)數(shù)，則Y服從超幾何分布，超幾何分布的期望是什么？

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，試圖找到超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望的相關(guān)性.

四、 模擬實(shí)驗(yàn)

問題6為了驗(yàn)證我們的猜想是否可行，在試圖證明之前，我們還可以用什么樣的方式進(jìn)行探究？

表1

圖1 圖形計(jì)算器生成隨機(jī)數(shù)模擬抽樣

圖2 R語言程序生成隨機(jī)數(shù)模擬抽樣

五、 推理證明

問題7經(jīng)過模擬探究后，應(yīng)該進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明.

設(shè)計(jì)意圖：對猜想的嚴(yán)格證明可通過組合數(shù)的展開進(jìn)行，但計(jì)算比較繁瑣，若利用組合數(shù)的性質(zhì)，一方面可以使證明過程更加簡潔，另一方面可以加深學(xué)生對組合數(shù)性質(zhì)的理解.

第一步:探究引理1

概率的思想理解如圖3所示.

提問此時(shí)括號中的和是多少？

思考如表1，分布列中所有概率的和是多少？

思考證明過程中，括號中的和是多少？

通過如圖4所示的過程，學(xué)生能夠快速了解要求的和等價(jià)于從(N-1)個(gè)元素中取出(n-1)個(gè)第一類元素的所有情況，故可以得到：

圖3 圖4

利用組合數(shù)的定義，學(xué)生能夠快速完成余下的證明,過程如下:

六、 總結(jié)歸納

(一)超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系

超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系如圖5-1所示.

1.當(dāng)N足夠大時(shí)，放回和不放回對概率的影響很小，超幾何分布逼近二項(xiàng)分布.

圖5-1 二項(xiàng)分布與超幾何分布的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圖5-2 隨著N的不同，超幾何分布與二項(xiàng)分布的取值比較

(二)探索方法總結(jié)

本節(jié)課的探索方法為“觀察—猜想—模擬—大數(shù)據(jù)模擬—嚴(yán)格證明”，這一探索方法(過程)非常重要.

七、 結(jié)語

本節(jié)課是一節(jié)“雙新”展示公開課，可以在“研直播”觀看(研直播—教研活動(dòng)—數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)展示課及專家點(diǎn)評)，本節(jié)課的設(shè)計(jì)突出以下方面.

首先，從單元的角度來看，從實(shí)際情境出發(fā)，結(jié)合二項(xiàng)分布提出超幾何分布的概念及其均值的探索與研究，培養(yǎng)學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的能力.其次，本節(jié)課大膽利用統(tǒng)計(jì)與概率的密切聯(lián)系，從統(tǒng)計(jì)的角度鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行超幾何分布的研究，并利用統(tǒng)計(jì)的思想“一兩撥千金”地完成規(guī)范化的證明，學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.從教學(xué)過程來看，本節(jié)課非常注重?cái)?shù)字化學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，利用圖形計(jì)算器、R語言等工具模擬隨機(jī)過程，幫助學(xué)生探索；注重統(tǒng)計(jì)課程的完整性，引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷了觀察、猜想、模擬、證明的過程.