數學文化視角下信息化課例研究*
——以“長方體直觀圖的畫法”為例

200444 上海師范大學附屬經緯實驗學校 顧海萍

200241 華東師范大學數學科學學院 余慶純

一、 問題提出

《上海市中小學課程標準(試行稿)》提出，數學教學要有數學抽象、探索的過程與體驗，能運用數學的思維方式觀察、分析問題，同時要有一定的數學視野和數學文化素養，樹立理性精神，培育對數學美的感受[1].數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[2].數學文化融入義務教育階段數學教學，是中小學數學教育改革的新趨勢.

“互聯網+教育”時代下，信息技術為數學文化融入數學教學提供有力的保障.電子書包是以學生為主體，融合信息終端與網絡學習資源的學習載體，是推動教學方式與學習方式變革的動力來源[3].微視頻輔助教學能激發學習興趣，提高學習效率.幾何畫板、GeoGebra等幾何軟件是數學探究和數學實驗教學的有力工具，能夠實現“做中學”[4].數字媒體下的在線博物館、數字名畫等突破空間限制，將中華民族五千年悠久歷史積淀下的藝術瑰寶鮮活地展示出來[5].借助信息技術將文化和藝術融入數學課堂，展現學科底蘊和跨學科聯系是值得一線教師思考和研究的內容，筆者以“長方體直觀圖的畫法”教學實踐為例進行闡述.

“長方體直觀圖的畫法”是滬教版教材六年級下冊第八章第二節的內容，主要闡述平面與長方體的畫法與表示法.學生已學過線段與角的畫法，會用量角器畫任意角，用尺規二等分線段與角，知道長方體的基本元素及特征.長方體“斜二測畫法”是學生學習的第一個立體圖形的畫法，需要突破從平面到空間圖形的認知跨越，提升直觀想象能力，為后續學習長方體中元素的位置與數量關系做鋪墊.傳統課堂教學普遍直接介紹長方體斜二測畫法的規定，學生對于“斜二測畫法如何產生”“為何要學習斜二測畫法”等問題存在一定的疑惑.

通過查閱數學史料發現，用平面圖形表示空間形體有著悠久的歷史，而長方體的畫法變遷過程為“長方體直觀圖的畫法”教學提供創新思路與實踐依據.鑒于此，數學文化視角下“長方體直觀圖的畫法”信息化課例的教學目標擬定如下.

1.通過課前微視頻，了解繪圖的歷史，知道畫長方體直觀圖的必要性；結合幾何畫板探究“斜二測畫法”規定的合理性，培育理性精神.

2.借助數字教材和空中課堂資源，掌握平面和長方體的畫法與表示，學會運用“斜二測畫法”畫出長方體直觀圖，掌握補畫長方體的方法.

3.運用電子書包與數字媒體等技術賞析《清明上河圖》，體會數學的社會角色、數學與藝術的學科聯系，彰顯數學文化，增強民族自信.

二、 教學過程

(一)課前準備

課前，教師用微視頻介紹將空間圖形繪制在平面上的歷史，依次呈現約5000年前我國賀蘭山巖畫中的投影畫法、公元前1世紀羅馬建筑師維特魯維(約公元前1世紀)所著《建筑十書》中水平投影、正面投影與等角投影等畫法[6]、我國宋代的工程制圖以及宋徽宗(公元1082年-1135年)《文會圖》中的投影畫法[7].此外，教師還對學生進行了認知前測，問卷內容為“請繪制一個長方體，并寫出你認為繪制長方體直觀圖需要畫出哪些元素和特征”.

設計意圖：借助微視頻，學生了解直觀圖在藝術和建筑領域的作用，知道繪制直觀圖的必要性；通過課前測，教師了解學生的認知基礎，為課堂教學做好鋪墊.

(二)復習引入

思考1如圖1所示，編號①-⑥是前測問卷中部分同學繪制的長方體，哪些圖更能體現長方體的元素和特征？請說說理由，并將不合適的圖排除.

圖1

生1：長方體有6個面、8個頂點、12條棱，圖④只展示了兩個面，圖①和圖②只有7個頂點，應排除.

生2：依據長方體有6個面，每兩個面一組且形狀大小相同的特征，排除圖③.

生3：數學與美術不同，不需要陰影美化，選擇圖⑤更能體現長方體的元素與特征.

師：長方體直觀圖可以像圖⑤這樣畫.這一畫法有什么規定嗎？下面進一步研究.

設計意圖：借助課前測結果，復習長方體的元素及其特征，確定作圖要點和元素，了解長方體直觀圖需要體現長方體的元素和特征，培養學生數學抽象、直觀想象素養以及數學說理的表達能力.

(三)規定探究

探究1正方體是特殊的長方體.根據從特殊到一般的數學思想方法，我們先研究繪制正方體的規定.借助幾何畫板，探究對于不同取值的寬所繪制的長方體的差異.

師：在幾何畫板中取長、寬、高都為3cm，平行四邊形中銳角的度數是45°，像正方體嗎？(如圖2-1所示)

生：寬偏長，不像正方體.

師：寬取實際寬度的一半呢?(如圖2-2所示)

生：像正方體了.

師：寬取2cm呢？(如圖2-3所示)

圖2-1 長方體1

圖2-2 長方體2

圖2-3 長方體3

生1：差別不大.

生2：寬取2更像正方體.

師：如果請你們制定長方體畫法的規定，你們會如何制定？

生1：如果規定寬取2，寬就是實際寬的三分之二，計算不方便.

生2：寬取實際的一半方便計算.之前學過畫線段中點，能用尺規作圖畫線段中點，作圖方便.

生3：寬取實際長度最方便，就是看起來不像.

生4：兼顧視覺直觀和繪制方便，規定寬為實際寬的一半更好.

探究2長方體直觀圖底面平行四邊形中∠1的夾角是否一定要是45°呢？

教師運用幾何畫板變化參數，改變底面平行四邊形中銳角的度數(如圖3所示)，師生共同確定底面平行四邊形長與寬夾角的大小.

圖3 夾角數變化的長方體

通過觀察討論發現，角度偏差1°帶來的視覺差異不明顯，夾角在40°到50°之間時都像正方體，考慮尺規作圖方便和視覺美觀，取45°更好.此外，學生還有補充：看得見的棱用實線表示，看不見的棱用虛線表示，這樣更符合視覺直觀.從而形成水平放置的平面的畫法和長方體斜二測畫法的規定.

設計意圖：師生借助幾何畫板共同討論、分析繪制長方體直觀圖時長方體中寬與實際寬的數量關系、底面平行四邊形中銳角的度數等問題，共同經歷長方體直觀圖畫法規定的形成過程，感受“規定”的科學性、合理性與必要性.

操作“畫一個長、寬、高分別為4cm、2cm、1cm的長方體的直觀圖”.師生共同實踐操作，經歷“閱讀書本圈劃重點—跟隨空中課堂視頻作圖—下載電子書包‘數字教材’中的‘參考答案’(如圖4所示)—對比答案查漏補缺—交流作圖要點”的過程.

圖4 所求作的長方體

設計意圖：學生經歷畫圖過程，掌握斜二測畫法.借助信息技術，明確作圖要點和過程，以核對“參考答案”查漏補缺的形式，培養學生自主學習能力，在交流討論中培育其數學表達能力.

(四)回顧歷史

思考2如圖5所示是西方早期教材中長方體直觀圖的畫法.想一想，不同時期的長方體畫法是否有不足之處，分別說一說.

圖5 西方早期教材中的長方體

生1：《數學之源》和《實用幾何》中的長方體沒有畫看不見的棱.

生2：《歐幾里得集》中的長方體沒有使用虛線繪制看不見的棱.

生3：《數學之源》《實用幾何》中長方體的寬沒有取實際的一半.

生4：《數學之源》《實用幾何》和《數學教程》中長方體的長與寬的夾角不是45°.

生5：《立體幾何》中長方體的畫法與斜二測畫法相同.

師：長方體直觀圖的畫法經歷了漫長的歷史變遷，不同的畫法各自延續了一段時間.斜二測畫法因兼具準確和美觀的特點而登上歷史舞臺，最終受到人們的青睞.

設計意圖：通過歷史時間軸，展現西方早期教材中長方體直觀圖的變化過程.以“思考題”的形式依次呈現，引導學生觀察、發現圖中長方體直觀圖繪制的變化及其優缺點，鞏固對畫法規則的理解，感受長方體畫法的歷史變遷，培育學生的動態數學觀，使其感受數學多元文化之美.

(五)練習鞏固

練習學生打開“電子書包”中的“數學教材”完成教師編制的配套練習，進一步鞏固平面和長方體的畫法和表示法，通過軟件的批改功能了解知識掌握情況，教師根據答題情況分析講解.

探究3若要擦去一個長方體的若干條棱，最多可以擦去多少條，至少需要保留哪些棱才能夠補畫出原長方體？分別該如何補畫？

結合幾何畫板中的長方體，師生共同討論，逐步擦除長方體中的棱，發現至少需要保留長、寬、高各一條棱，即最多擦去9條棱(如圖6所示)，可以通過作平行線、畫相等的線段和角等方法補畫出長方體.

圖6 待補畫的長方體

設計意圖：借助信息技術的習題批改和反饋功能，鞏固基礎知識.通過探究活動進一步掌握長方體斜二測畫法，結合信息技術，夯實“雙基”.

(六)拓展賞析

《清明上河圖》現存于北京故宮博物院，是由宋代畫家張擇端創作的中國古典現實主義繪畫杰作，描繪了繁華富庶的京城居民生活景象[13].依托“電子書包”等技術媒介，打開高清數字版《清明上河圖》，欣賞并思考以下問題.

思考3畫家是如何繪制平面以及長方體的？是否運用了今天所學的平面畫法或者斜二測畫法？量一量圖中長方體物體長和寬夾角的度數，將發現的相關內容截圖上傳云端并交流(學生上傳的截圖如圖7-1至圖7-4所示).

圖7-1 田地圖7-2 帳篷頂

圖7-3 房子圖7-4 箱子

學生分別找到了田地、帳篷頂、房子、長方體箱子等，交流并發現雖然畫家的畫法與今日所學內容相似，但畫家沒有統一整個作品中平面和長方體的畫法.故猜測畫家通過生活感知有了繪制平面和長方體畫法的意識，但是并未掌握斜二測畫法，如果能按照今天的規定繪圖，那么畫出來的田和房子肯定會很整齊.

設計意圖：借助數字媒體欣賞畫作，感受藝術與數學的聯系，體會數學在生活中的應用價值.借助數字平臺交流功能，提升學習效率，用數學的語言表達，用數學的眼光欣賞.

(七)小結作業

小結環節中，學生回顧了本課中的信息技術應用、斜二測畫法規定的探究過程、名畫《清明上河圖》賞析.教師布置了數學寫作作業：圖文并茂地將今天所學的平面和長方體畫法知識介紹給我國古代的畫家.

設計意圖：通過數學寫作回顧知識，提升學生數學表達能力，使其感受數學與生活的聯系.

三、 數學寫作

在數學寫作中，學生圖文并茂地介紹了斜二測畫法.有學生描述了斜二測畫法繪制長方體的步驟，并說明“斜二測畫法可以將長方體畫得簡潔清晰，簡單實用”(如圖8-1所示).有學生通過繪制不同規則下的長方體，比較得出“寬取實際寬的一半，因為如果不取一半，看起來就不真實了；長與寬的夾角要為45°，不然不美觀；看不見的地方畫虛線，這是為了更真實”，逐步講解說明斜二測畫法規則(如圖8-2所示).還有學生通過舉例分步驟繪圖，闡述如何運用斜二測畫法繪制一個長方體涼亭“清水堂”，步驟清晰，有理有據(如圖8-3所示).另外，也有學生結合文字和圖形，進行古今對話交流：“你好！古代的畫家，我來自一千多年后，看見了您作的《清明上河圖》，感到十分震撼，但仍覺得不夠精確，我為您推薦一種畫法(斜二測畫法)，這種畫法可以使景物井井有條，用斜二測畫法作圖時，要先知道所畫物體的長、寬、高.之后長與高保留原數(或比例縮小后的數)，寬取原來(或按比例縮小后的數)的一半作圖.作圖時，頂面、底面和側邊的兩個面畫成夾角為45°的平行四邊形.”并舉例繪制由一個長方體直觀圖添加其他裝飾后得到的亭子(如圖8-4所示).

可見，通過數學寫作的巧妙方式，能夠落實數學史的多元教育價值：鞏固數學新知，回顧梳理所學知識；規范語言表達，提升數學表達能力；賞析數學文化，培育理性精神與文化自信.

圖8-1 斜二測畫法步驟

圖8-2 不同規則的長方體

圖8-3 長方體涼亭“清水堂”

圖8-4

四、 文化內涵

依據“基于數學史的數學文化”理論分析框架[9]，筆者對數學文化視角下信息化課例“長方體直觀圖的畫法”的教學，從五個數學文化內涵維度展開分析.

第一，知識源流.借助微視頻、時間軸了解繪圖的歷史，體會長方體直觀圖畫法的變遷；經歷探究斜二測畫法規定的形成過程，感受知識源流.

第二，學科聯系.通過《清明上河圖》中平面和長方體的畫法賞析，闡述數學與藝術的聯系，再結合數學寫作，感受數學對建筑、藝術等跨學科的重要作用.

第三，社會角色.微視頻中的巖畫活靈活現地描繪動物形象，數字版《清明上河圖》栩栩如生地呈現北宋汴京的繁榮，感受直觀圖的畫法在生活中的應用，領悟數學源于生活、服務于生活的本質.

第四，審美娛樂.在幾何畫板動態演示探究規定過程中體驗“做數學”的樂趣，借助幾何畫板呈現的“如何補畫長方體”活動，體現數學趣味，培養學生數學抽象、直觀想象素養.

第五，多元文化.以經典畫作、建筑圖紙、早期教科書中的長方體直觀圖為素材，展現長方體直觀圖畫法的異同，揭示其文化底蘊，感受中西文化交融.

五、 總結與展望

數學文化視角下“長方體直觀圖的畫法”課例研究，用信息技術輔助“做數學”探究活動，聚焦“畫法規定”緣由和歷史演進與文化內涵.課前導學中的微視頻助力學生了解畫直觀圖的必要性；新知講解借助幾何畫板、希沃白板等信息技術教材進行探究，培育理性精神；數字教材中的習題實時反饋，查漏補缺；高清版《清明上河圖》讓學生穿越時空，拓展視野，從歷史到課堂，從數學到藝術，信息技術融合促進數學文化融入數學教學.

未來，數學文化視角下信息化課例研究需要做好以下幾點.第一，深挖歷史素材，通過查閱早期教材、古代著作、藝術作品等，挖掘契合教學內容的數學史料.第二，蘊含文化內涵，梳理“歷史發生序—數理邏輯序—心理認知序”，優化教學設計，闡發數學文化.第三，巧用信息技術，“互聯網+教育”時代下，將契合的數學文化內容滲透于課堂，提升學生學習效率，擴展視野，豐富知能，培育文化自信.