紙片類數學實驗教學的實踐與思考*

李明樹

(江蘇省蘇州工業園區東沙湖實驗中學 215021)

紙片類數學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師的引導下，借助“紙片”，通過平移、翻折、旋轉、剪(拼)等操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種理解數學知識、發現數學問題、探索與驗證數學結論的思維活動.教學活動中，利用KT泡沫板、打印紙、透明膠片、半透明紙片、“電子紙片”等作為實驗操作的素材，既貼近學生現實，又符合學生的認知水平；紙片類數學實驗的介入既詮釋了知識的發生、形成、發展的過程，又激發了學生主動探究問題的興趣.紙片類數學實驗可以優化學生的數學學習方式；發展學生的幾何直觀想象能力；促進學生數學活動經驗的積累；達成提升學生數學素養的目標．

1 紙片類數學實驗是優化學習方式的常用策略

借助紙片類數學實驗，可以讓學生獲得如何探究、如何發現的方法感悟，實現接受式、思辨式學習向探究式、體驗式學習的轉變；學生經歷動手操作、用眼觀察、提出猜想、驗證結論等環節，充分體驗“知識從何而來”“知識是什么”“知識向何而去”的完整數學學習過程．

案例1蘇科版義務教育教科書《數學》八年級上冊“2.5等腰三角形的軸對稱性”一課中，教材大致是這樣安排的：學生經歷折疊等腰三角形紙片，猜想、歸納等腰三角形的性質，探究證明猜想，尺規作圖作等腰三角形，例題解析．整個過程流暢自然，但細細品味，又覺得似乎缺點什么，所折疊的等腰三角形從何而來？為何要折疊等腰三角形紙片？如何制作等腰三角形？故筆者進行了如下設計：

數學實驗：

操作1

材料：一張長方形紙片、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規則：只剪一刀得到一個等腰三角形.

操作2材料：一張非等腰三角形紙片、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規則：只剪一刀得到一個等腰三角形.

操作3材料：一張不規則紙片(紙片邊緣均是“曲線”)、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規則：只剪一刀得到一個等腰三角形.

學生順利地完成操作1和操作2，因為這兩項操作的實驗素材均為規則紙片，即紙片的邊界為線段.故學生在線段的軸對稱的基礎上只需要折疊其中紙片的一邊，從而折出了線段的垂直平分線，再利用線段垂直平分線的性質即可剪出一個等腰三角形．長方形紙片操作如圖1:

圖1

操作過程中顯然得到了“雙層”直角三角形，其一條直角邊在第一次折痕上，折痕即為等腰三角形的對稱軸.學生的學習過程把教材中靜態的知識結果變為動態的知識的發生、發展過程，既回顧了線段的軸對稱性的探究方法，又初步感受了等腰三角形的軸對稱性，激發了進一步深度探究等腰三角形性質的欲望.非等腰三角形紙片剪裁與圖1操作類似，而學生在嘗試操作3時卻屢次失敗，折疊不規則紙片一次雖得到一條“對稱軸”，但無法得到線段的垂直平分線(理由是紙片邊緣均是“曲線”)，自然無法得到“雙層”直角三角形，原實驗規則不可行，從而激發學生改變實驗規則來達成實驗目標.具體操作如圖2.

圖2

學生在操作1和2的過程中獲得了一定的數學活動經驗，會慣性地用所獲得的經驗探索操作3，嘗試未果后，會主動思考為何失敗，于是其在“嘗試、失敗、再嘗試”的反復循環中經歷操作、猜想、再操作的學習過程，逐步在解決問題的喜悅中明白問題的原理和本質.

案例2折紙——探索角平分線性質

蘇科版義務教育教科書《數學》八年級上冊“2.4角的軸對稱性”大致安排如下：(1)沿∠AOB的角平分線OC翻折,得到角的軸對稱性的結論；(2)在∠AOB的角平分線OC上任取一點P，分別畫點P到OA，OB的垂線段PC，PD，PC和PD相等嗎？學生經歷操作、猜想，再運用圖形運動的方法，利用角的軸對稱性，證明PC=PD.

促進學生的思維發展，是數學教育的重要任務之一.傳統的數學教學中，教師注重知識的系統性和邏輯的嚴謹性，學生主要是記住數學結論，然后進行題海式的訓練.這樣的教學，并不利于學生的思維發展.[1]教材內容的設置雖體現了學生操作、猜想、驗證的學習過程，但對角平分線性質的本質理解似乎還不夠“立體”，于是筆者在教學中進行了如下嘗試：

數學實驗 任取一張三角形紙片，按照圖3所示的方法折疊.

圖3

數學建模 還原紙片，畫出幾何圖形(圖4).

圖4

數學歸納 歸納猜想，你能獲得什么結論？

結論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

數學推理 (略)

數學表達 因為BD是∠ABC的角平分線,PE⊥BC，PF⊥AB,所以PE=PF.

紙片類數學實驗是“做數學”的具體實施形態之一，是教師引導學生經歷探索過程，發現數學結論和尋找證明方法的一種學習方式.案例1、2將動手操作、用眼觀察、動腦思考有機地結合在一起，通過外部實踐和操作的數學實驗活動促進學生思維的發展.實驗前、實驗中、實驗后均對學生學習方式的優化和思維的發展提供了優良的學習環境,同時為學生創造性思維的培育提供了空間.

2 紙片類數學實驗是發展幾何直觀的重要載體

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)提出，在數學課程中應當注重發展學生的幾何直觀.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用．[2]《普通高中數學課程標準(2017年版)》也明確提出，直觀想象是數學學科六大核心素養之一．直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知實物的形態和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路．[3]透明打印膠片作為實驗素材參與圖形的探究，可以直觀地顯現圖形的組成，動態或靜態地呈現圖形的結構、數量關系，有助于發展學生的幾何直觀．

案例3(蘇州工業園區2020—2021學年初三數學模擬試卷第18題)如圖5，是小明家客廳地面鋪設的瓷磚圖案，其中四邊形ABCD是正方形，陰影部分是四個全等的菱形，且點A，E，F在同一條直線上．已知菱形較短的對角線長為20 cm，則正方形ABCD的面積為cm2．

圖5

此題是基于生活(圖6)而被“設計”出來的，圖形結構豐富、元素關系復雜、解法多元、思維強度大.解決此題時，選取透明打印膠片作為實驗的工具.事先將原圖打印在透明打印膠片上，通過透明打印膠片的折疊、與原圖的疊放、旋轉等發現對稱性、特殊點，再從定性分析到定量計算；設計更為復雜、美麗的圖案,使學生感受圖案的設計與數學知識是密不可分的，體驗的過程提高了學生綜合運用數學知識、思想、方法解決真實情境問題的能力.羅丹說過：“生活中不缺少美，缺少的是發現美的眼睛.”而生活中不能缺少數學，因為數學可以讓我們知道美在何處.

圖6

案例4折正多邊形結

數學實驗 用長方形紙片按照圖7的方式打結、拉緊、壓平，折出的“五邊形”是正五邊形嗎?

圖7

數學思考 各邊相等、各角相等的五邊形是正五邊形.你能證明你的發現嗎？

上述操作中學生很難畫出相應的幾何圖形，基本是畫出圖形的輪廓(圖8)．不透明的長方形紙片在打結、拉緊、壓平之后，重疊部分看不到了，這就給作圖帶來了障礙；用透明長方形紙片重復操作發現“圖形的風骨清晰可見”(圖9)，看得見的線條用實線，看不見的線條用虛線，可以畫出相應的幾何圖形(圖10).

圖8 圖9

圖10

幾何直觀所指有兩點：一是幾何，即圖形；二是直觀，不僅僅局限于“看得到的東西”(實物)，更重要的是要依托現在“看得到的東西”(實驗操作)和以前“看得到的東西”(已有經驗)進行思考、想象．綜合起來,這在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力.幾何直觀的培養需要以透明紙片為素材經歷數學實驗中的體驗、抽象，使數學的研究對象變得“看得見、摸得著”.

3 紙片類數學實驗是促進經驗積累的關鍵手段

《標準》在教學建議中指出：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習過程中逐步積累的……”[2]筆者認為紙片類數學實驗是積累數學活動經驗的有效途徑，可以促進學生不斷經歷知識的來龍去脈，是對知識的真探究，形成了真能力，積累并豐富了數學活動經驗.

案例5含30°角的直角三角形的性質

數學實驗1 折一個含30°角的直角三角形

用一張正方形紙片，按如圖11所示的方式折疊，找出含30°的直角三角形，并說明理由.

圖11

數學實驗2 探索30°角的直角三角形的性質

剪下圖11中含30°角的直角三角形紙片,按 圖12所示的方式折疊，完成對其性質的探究.

圖12

教師引導學生完成數學猜想、數學建模(畫出 圖13)、數學證明、數學歸納、數學表達.“第一次數學活動中獲得原初經驗；第二次遇到相同情景時，經驗再現，稱為再生經驗；再次遇到類似情景時，遷移運用先前經驗，產生再認識經驗；在形式不同本質一樣的新情況下，按照‘模式’重復運用這種經驗時，這種經驗就成為概括性經驗”.[4]

圖13

4 紙片類數學實驗是達成提升學生素養目標的有效途徑

2014年教育部在發布的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中提出了發展核心素養.2018年教育部頒布的《普通高中數學課程標準(2017年版)》中，把數學核心素養定義為“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的思維品格和關鍵能力”，并明確了數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等數學核心素養要素.新課程改革對數學教育提出的目標要求經歷了“雙基目標”“三維目標”“四基四能”“數學核心素養”的過程，這些目標的達成主要是要學生親自參與其中，需要學生的獨立思考和深刻感悟，在發展能力的同時，品格和觀念也得到相應的發展．“紙片類數學實驗”極大地激發了學生的學習興趣，調動了學生的學習熱情，引起了學生的好奇心，使學生以積極的態度投入實驗探究的活動中.