讓學生品味“數學味” 讓課堂彰顯“數學化”
——“數學歸納法”教學實錄與反思*

楊 勇

(江蘇省鎮江市實驗高級中學 212003)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自江蘇省四星級普通高中理科班，基礎較好，有一定的數學抽象、數學推理和數學運算能力．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中課程標準實驗教科書(選修2-2)》(蘇教版)，“數學歸納法”為第2章“推理與證明”第3節的內容，它是在合情推理的基礎上，對歸納出來的與正整數有關的命題進行科學的證明，它將一個無窮的歸納過程轉化為有限步驟的演繹過程．它是證明與正整數有關問題的有力工具，是高中數學的一種重要證明方法．通過把猜想和證明結合起來，讓學生認識數學的本質，提高學生的抽象思維能力，培養學生科學探索的創新精神．本節課是數學歸納法的第1課時，主要讓學生了解數學歸納法的原理，并能夠用數學歸納法解決一些簡單的與正整數有關的問題．

教學目標 (1)通過對數學歸納法的學習，感受到數學來源于生活而又高于生活，養成善于觀察、勤于思考的學習習慣；(2)理解數學歸納法的原理，體會類比、歸納的數學思想，能用數學歸納法證明一些簡單的與正整數有關的數學問題；進一步提高數學抽象、歸納猜想能力．

教學重點 數學歸納法產生過程的分析和對數學歸納法證題步驟的掌握．

教學難點 數學歸納法中“以一次邏輯推理替代了無限次驗證過程”的理解．

2 教學過程

2.1 創設情境 引入課題

師：我們已經研究了合情推理和演繹推理，現在請同學們用所學知識分析下面的問題．

問題1小明看到樹上有幾只黑烏鴉，就感嘆說：“天下烏鴉一般黑！”小明用了什么推理方法？其結論正確嗎？

生1：用了歸納推理，結論不正確．

師：歸納推理有兩種，一種是完全歸納，另一種是不完全歸納．準確地講，小明是用了不完全歸納，要說明結論不正確，我們要舉出反例(顯示白烏鴉照片)．歸納法在現實生活和生產中被廣泛應用，比如水文工作者、氣象工作者依據積累的歷史資料作水文預報、氣象預測，用的就是不完全歸納法．

問題217世紀法國著名數學家費馬(Fermat)曾認為，當n∈N時，22n+1一定都是質數，這是他驗證F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65 537后得到的．

師：后來，18世紀瑞士出了位偉大的數學家歐拉(Euler)，證明了225+1=4 294 967 297= 6 700 417×641，從而否定了費馬的推測．費馬之 所以沒有算下去，可能是因為數字太大了，其實下一個數也不是質數：F6=226+1=274 177×

67 280 421 310 721．

(1)求出數列前3項，你能得到什么猜想？

(2)你認為你的猜想正確嗎？如何證明？

生3：(自言自語)嚴格證明不會，但我可以發揚“愚公移山”精神一一驗證下去．

生眾：(齊笑)雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子……

師：發揚“愚公移山”精神，從n=4開始逐個往下驗證，精神可嘉，但“子子孫孫，無窮匱也”就為驗證這道題，價值不大.我們需要尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數都成立．

2.2 實驗演示 合作探究

問題4播放多米諾骨牌游戲視頻，思考骨牌全倒下，需要哪些條件.

師：看過視頻后，請允許我借用一句唐詩來表達一下我的心情：天長地久有時盡，此“牌”綿綿無絕期！游戲者沒有一塊一塊地去推倒骨牌，那是怎么做到讓“此牌綿綿無絕期”地倒下去的呢？

生4：必須滿足兩個條件：(1)第1塊骨牌倒下；(2)任意相鄰兩塊骨牌，假如前一塊倒下，一定能導致后一塊也倒下．

師：條件(2)的作用是什么？

生5：給出了一個遞推關系，第一塊倒下后依據條件(2)，第二塊倒下，接著第三塊倒下，其他的都能相繼倒下．

師：對于條件(2)，我們能用數學符號語言表述嗎？

生6：k→k+1，k∈N*．

生7：我是這樣對比理解的．

多米諾骨牌游戲原理通過有限個步驟的推理,證明n取所有正整數,結論都成立(1)第一塊骨牌倒下(1)a1=1成立(2)假如第k塊倒下時,一定能導致第k+1塊也倒下(2)假如n=k(k∈N?)時,猜想成立,即ak=k,一定能推出當n=k+1時,猜想也成立,即ak+1=k+1只要保證(1)和(2)成立,那么所有骨牌都能全部倒下根據(1)和(2)可知,對所有的正整數n,猜想都成立

師：通過上述類比，問題得以解決，這就是本節課要學習的數學歸納法．

2.3 引導概括 感悟新知

師：請根據上述的探究過程，概括出數學歸納法的基本步驟．

(板書)數學歸納法 當需要證明一個與正整數n有關的命題P(n)時，可按下列步驟進行：

(1)當n取第一個值n0(=1或2)時結論正確；

(2)假設當n=k(k∈N*,k≥n0)時結論成立，證明當n=k+1時結論也成立．

那么，命題對從n0開始的所有正整數n都成立．這種方法就叫作數學歸納法．

問題5課的開頭，同學提到“愚公移山”精神，其中有數學歸納法的原理嗎？

生8：有，但愚公家族的無限性是有條件的，即需要“子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫”．也就是說，倘若愚公及其子孫的每一代都能生出子孫，則愚公家族是無限的．

師：你分析得很好，用數學語言寫下來就是：如果愚公本人能夠生育男性后代，且第k代能夠生育第k+1代的男性后代，則愚公家族是無限的．

師：與此類似，生活中還有放鞭炮、體育課站隊等例子．

2.4 數學應用 鞏固新知

例1如果數列{an}是等差數列，那么an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立，試用數學歸納法給予證明．(證明過程略)

師：能說說步驟(1)和(2)的作用嗎？

生9：步驟(1)是遞推的基礎；步驟(2)是遞推的依據．

例2下面用數學歸納法證明1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)正確嗎？

證明 (1)當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式是成立的．

生10：錯誤，第(2)步用求和公式不是數學歸納法，因為證明時沒有用到歸納假設．

師：該證法從外在形式上看很具迷惑性，數學歸納法的核心是在驗證n取第一個值n0的基礎上，由P(k)正確證明P(k+1)也正確，而該同學用的是求和公式，讓證明失去了傳遞性．我們知道，僅有第一步驗證而沒有第二步傳遞性的證明是不行的，那么沒有第一步行嗎？

生11：第一步僅是為了驗證當n取起始值n0時結論正確，這是顯而易見的，可以省略．

生12：我不同意．第一步是遞推的基礎，若沒有第一步，則第二步就無法進行遞推．

師：兩種意見截然不同，讓我們通過具體例子來說明．

例3試問等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立嗎？

生13：成立，因為假設n=k時等式成立，即2+ 4+6+…+2k=k2+k+1，那么當n=k+1時，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1，也就是說，當n=k+1時，等式也成立．

生14：不同意，若僅從n=k到n=k+1這一步“遞推”來看，似乎無懈可擊，但是，當n=1時，左邊=2，右邊=3，左邊≠右邊．仔細觀察你會發現，該等式左邊總是偶數，右邊=n(n+1)+1總是奇數，因此對任何的n∈N*該式都是不成立的．

師：兩者缺一不可，只有第一步，屬不完全歸納法；只有第二步，假設就失去了基礎．我們可以把證題過程總結為“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉．”

2.5 回顧總結 提煉升華

小結：一個數學方法，兩個重要步驟，三類思想認識．

師：哪三類思想認識，能具體說說嗎？

生15：類比發現，傳遞相推，有限到無限(辯證思想)．

3 教學反思

人們運用數學的眼光觀察現實世界，分析研究其中的具體現象，并加以歸納總結，進一步發現內在的結構和規律，這個過程就是“數學化”；數學是思維的體操，數學思考是數學課堂當然的主角．數學課堂應該有數學課獨特的味道，學生的數學素養應該在不斷品位“數學味”、經歷數學化的過程中得以形成和發展．下面結合本節課的教學設計，談談本人的一些看法．

3.1 生活問題數學化 飄灑數學味

數學源于生活，也植根于生活，數學化不是脫離生活情境，單純地就數學而數學，也不是讓生活情境僅為引出課題而用，然后棄之不顧，而是要在教學時引導學生從生活問題出發，啟發學生類比聯想，充分挖掘其中隱含的數學原理，在不斷數學化的過程中品味其中蘊含的數學味，逐步抽象出生活問題的數學本質.比如本課中對“天下烏鴉一般黑”“多米諾骨牌”“愚公移山”等生活問題的數學化，歸納出其中的推理方法，就讓這些生活問題飄灑出了濃濃的數學味．

3.2 語言表達數學化 體會數學味

數學是自然科學的重要基礎，不僅是運算和推理的工具，更是表達和交流的語言．學生通過數學學習和數學應用能學會用數學語言表達世界是新課改提出的目標之一．我們在課堂教學中不僅要培養學生在情境中抽象出數學概念,更要能夠進行高度概括和準確表達．如本課中鼓勵學生從多米諾骨牌這一生活現象中，先學會用文字語言提煉出“任意相鄰兩塊骨牌，假如前一塊倒下，一定能導致后一塊也倒下”的內涵，再到符號語言“k→k+1,k∈N*”的高度概括，通過層層設問的方法引導學生不斷思考，逐步修正，最后通過類比得出其與數學歸納法原理的一致性，學生在不斷體會數學語言的抽象性、準確性和深刻性的同時，數學表達、邏輯推理、數學抽象等素養也得到了提升和發展．

3.3 探究過程數學化 品味數學味

用問題驅動探究，讓方法自主建構是提升學生核心素養的有效途徑．而問題情境是探究過程得以進行的前提，在設置適合的問題情境后，鼓勵學生自主探究，并在獨立思考的基礎上進行合作交流，讓學生通過觀察、歸納、抽象、驗證、推理等數學手段去探究數學知識的發現和創生過程，在探究和交流的過程中獲得對問題的數學化思考，積累數學實踐經驗．如本課中學生難以理解歸納法中第二步為什么可以根據歸納假設進行證明．鑒于此，師生共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比此原理，逐步探究出數學歸納法的原理、步驟，培養了學生類比推理、歸納猜想的能力,讓學生在這一問題提出、發現、分析和解決的過程中品味其中真切的數學味．

3.4 提煉思想數學化 回味數學味

數學核心素養的形成，不是依賴單純的課堂教學，而是依賴學生參與其中的數學活動；不是依賴記憶與理解，而是依賴感悟與思維；它應該是日積月累的、自己思考的經驗的積累．

本節課上，當多數學生對蘊含其中的“以一次邏輯推理替代了無限次驗證過程”這一遞推的思想認識還處于膚淺、形式化的直觀感覺時，通過構造反例，既使學生在具體的例題中感知數學歸納法的用途，又從本質上理解兩個步驟的內在聯系，更加體會到：歸納原理中無窮遞推的“鏈條”環環相扣這一數學思想的巨大魅力．數學教學內容是“數學基礎知識”“數學方法”和“數學思想”的有機結合，其中數學思想和方法是數學的靈魂，但在教材中大都沒有直接的文字表述，往往被教師忽略.這就要求我們在課堂教學中要盡力去挖掘和提煉知識背后所蘊含的數學思想，然后把它巧妙地融入到學習過程中，讓學生感悟、體驗其中的數學味，在潛移默化中實現學生核心素養的提升．本課中，在筆者的啟發下學生總結出：類比發現、傳遞相推、有限到無限(辯證思想)的數學思想方法，值得大家回味．

史寧中教授在談到培養學生核心素養時提出：讓學生學會用數學的眼光觀察世界，學會用數學思維思考世界，學會用數學語言表達世界．其實，綜合前文所述，這就是讓學生品味數學味，經歷數學化.在充滿數學思考的課堂上，學習氣氛不一定熱烈但要深沉，學生不能在喧嘩的情境中浮光掠影，要在思索中前行；不是在言說別人的思想，一定是在表達自己的心聲．因此，我們數學課堂上要力爭去其浮華、探其本質，讓學生能感受到躬身前行的姿態，能體悟到生命拔節的聲音．