相互作用費米子的量子模擬

羅雨晨 李曉鵬2)?

1)(復旦大學物理學系,上海 200438)

2)(上海期智研究院,上海 201210)

費米子是標準模型中物質構成的基本單元,這些基本的粒子通過相互作用構建了物質世界.同時,費米子也是凝聚態物理領域和量子化學計算中需要處理的核心的微觀自由度,對理解高溫超導電性、刻畫量子磁性、描述分子結構和功能均起決定性作用.但是在經典計算機上模擬多費米子模型比較普遍地會遇到負符號問題,需要的計算復雜度往往隨著粒子數的增長呈指數增長.而超冷原子系統提供了一種直接對相互作用費米子進行量子模擬的有效手段和實驗平臺,即通過微觀可控的方式在物理實驗中實現一個費米子模型,通過對體系進行測量獲取模型的微觀和宏觀特性,從而加深對相關物理機制的認知和對關鍵參數的測定.近年來,實驗對多費米子系統的基態、熱平衡態、量子多體動力學進行了豐富的研究,在BEC-BCS 渡越、費米子哈伯德模型、量子多體局域化的研究中取得多項研究進展.在量子模擬中對經典計算不能有效模擬的物理進行研究,包括宏觀的量子現象和微觀的物理機制等,體現了可控量子系統中的量子優越性.本文將簡單介紹相互作用費米子的模型以及其在描述量子多體物質狀態中的重要性,并闡述相互作用導致的各種超流和密度波關聯物態,而這些物態對理解高溫超導和量子磁性有重要科學意義.同時,關聯物態的模擬在經典計算機上往往具有指數復雜度,而量子模擬的相關研究在標定相變參數、表征物態性質上體現了量子優越性.

1 引言

費米子作為微觀物質世界的基本構成單元,其中的量子多體物理對描述多種不同尺度的物質狀態均有重要意義.凝聚態物理中的高溫超導材料被發現已有三十余年,但其微觀物理機制仍未有定論,這也阻礙了更具實用價值的高溫超導材料的發現,極大限制了超導材料的實用化進程.其中一個基本的物理問題是描述高溫超導相圖的微觀物理模型是什么,一個重要的備選模型是費米子哈伯德模型,但是經過長期大量的研究,該模型是否存在超導仍未有定論,其中重要的原因是模型的經典計算復雜度太高.在天體物理中,中子星是一類重要的研究對象,其物態方程由強相互作用費米子刻畫,而定量的物態方程對預測中等規模的恒星演化起決定性作用[1].計算相互作用費米子的精確物態方程也遇到計算復雜的困難.量子化學直接需要處理的問題就是庫侖相互作用的多電子體系,電子關聯效應的模擬對分子結構和功能的預測至關重要[2].該領域目前遇到的一個重要困難是關聯電子的模擬在經典計算機上復雜度過高.

早在20 世紀80 年代,理論物理學家費曼就提出通過進行量子模擬應對模擬自然界物理現象的經典計算復雜度過高的問題.基于原子體系的量子模擬在過去二十年取得了長足的進展和豐碩的研究成果.這些量子模擬的研究大致分為兩類:一類是展示新物理概念的量子模擬,包括了拓撲物態、自旋軌道耦合、非厄米體系等的研究,這類研究極大地豐富了對低溫物質狀態的認識;另一類是對經典計算復雜度過高的量子多體物理模型的量子模擬.強相互作用費米子的量子模擬屬于后者,研究包括運用6Li,40K 等費米型原子對費米子哈伯德模型的量子模擬[3?6],量子多體局域化到熱化的相變[7,8],BEC-BCS 渡越的物態方程測量[1],關聯體系量子輸運[6,9,10?12]等.

目前,費米子量子模擬的研究正在朝著更加可控、更低溫度、更多可編程自由度的方向發展.近期的冷原子物理實驗運用空間高分辨的光場控制技術,可以制造平整的約束勢場,研究具有宏觀平移對稱性的多體物態[4,13]和動力學[6,12],同時可以對約束在光晶格中的原子進行進一步的蒸發冷卻達到更低的溫度區間[4,6],亦可對所模擬的物理模型進行校準從而實現更加精確的量子模擬[8,14].費米光晶格體系也從簡單的晶格體系拓展至復晶格到多軌道的光晶格[15],為晶格、能帶、關聯效應之間交叉復合帶來了新的發展機遇,為新型量子物態的制備打開更廣闊的空間,為更具普適意義的可編程量子模擬提供技術和方法等層面的積累.

2 基態和低溫熱平衡態的量子模擬

采用堿金屬原子的超精細能級可以直接實現的費米子模型具有SU(2)對稱性,模型哈密頓量具有以下一般形式:

在弱相互作用區間或者關聯效應不顯著的體系,費米子多體系統由朗道費米液體理論描述.因為相互作用重整化的原因,費米面附近的激發表現為幾乎自由無碰撞的準粒子.在低溫區間,費米液體理論一般的不穩定性僅存在于超導配對通道,因此費米子在低溫下形成超導是一種自然的選擇[16],即使是排斥相互作用的費米子也可以通過Kohn-Luttinger 機制在低溫下形成超導配對.費米面附近的準粒子之間的有效吸引相互作用的形式決定了不同的超導配對模式,即〈ψs(K)ψs′(K′)〉,而不同的超導配對模式給出不同的費米超流.自旋單態s-波費米超流是最簡單的一種費米超流,在冷原子的量子模擬實驗中已經被實現,包括BEC-BCS渡越的實驗[8]和光晶格中吸引相互作用的費米子實驗[5]等.通常認為自旋單態d-波費米超流是銅基電子超導電性的本質,冷原子光晶格實驗體系中近十年一直在推進的方向是通過對光晶格中的6Li 原子降溫,來回答排斥相互作用費米子哈伯德模型的基態能否支持d-波超導[17].如果不能,則更進一步的問題是什么樣的費米子模型才能描述高溫超導的微觀物理機制[18].自旋三重態p-波費米超流可以形成手性p+ip的配對,這種超流體具有非平庸的拓撲性質,其拓撲激發支持馬約拉納費米子,可以用來進行拓撲保護的量子計算.這種拓撲超流在一些固體材料體系如氧化物材料和超導-拓撲絕緣體異質結中已有報道,但未取得足夠令人信服的實驗證據支撐.在冷原子量子模擬體系中引入p-波相互作用(或者等效的p-波相互作用),實現拓撲超流也是目前該領域發展的一個重要研究方向,近期運用里德堡綴飾態控制長程相互作用[19,20]、光晶格約束p-波共振[21]等技術取得了一定的突破,有望進一步在費米子量子模擬中證據確鑿地實現拓撲超流.

在強相互作用下,費米子的基態也可以超出超導配對的范疇,形成Mott 絕緣體、密度波、自旋密度波等多體狀態.其中的序參量通常可以用粒子-空穴配對刻畫,即而這些強相互作用費米子量子物態的實現也可以通過引入費米面嵌套(Fermi-surface nesting)拓展至弱相互作用區間得以實現,從而避免冷原子量子模擬平臺中強相互作用帶來的三體損失.在冷原子二維正方光晶格(晶格長度設為單位1)的實驗中采用單格點成像技術觀測到了自旋密度波態[4],其序參量由描述.這里,自旋密度波的波矢為Q=(π,π),自旋空間的配對由自旋三重態描述,系統自發破缺晶格平移對稱性和自旋SU(2)對稱性.而粒子-空穴配對與超導配對類似,同樣可以有不同的自旋通道(自旋單態和自旋三重態),外態(動量和軌道)的配對也可以形成高分波的形式[22].這將給出豐富的費米子密度波態,自發時間反演對稱破缺的密度波態也可以支持相互作用誘導的拓撲物態.實現這些奇異物質狀態所需的溫度與已經在實驗中實現的自旋密度波態的溫度在同一個數量級.目前的費米子光晶格實驗中既可以調控費米子的色散關系,從而引入不同的費米面嵌套或者能帶閉合,又可以調控長程的相互作用.預期在近期的實驗中可以基于這些操控手段引入費米面附近準粒子復雜的相互作用形式,從而誘導出豐富的多體物質狀態.

上述超導配對和粒子-空穴配對可以導致豐富的費米子多體物態.在微擾相互作用下,場論計算方法可以可靠地計算系統的平衡態,但是微擾相互作用體系的相變溫度往往過低.而在非微擾的情況下,什么樣的相互作用支持高分波的超導和高分波的密度波,模型的相圖計算等問題無法通過有效的經典計算得到,需要的計算復雜度隨粒子數呈指數增長,而這些問題可以利用費米原子體系的量子模擬來回答,這也是其量子優越性的一種體現.

3 量子多體動力學的量子模擬

量子多體動力學和非平衡態的物理近年來在凝聚態和原子分子光學等領域獲得廣泛的關注.在銅氧化物中發現的光致超導、在弗洛凱(Floquet)量子體系構造的奇異拓撲邊緣態、相互作用無序體系的量子多體局域化、里德堡原子陣列中發現的量子“傷疤”、破缺時間平移對稱性的量子時間晶體等蘊含著豐富多彩的量子多體非平衡動力學.在銅氧化物中發現的光致超導由相互作用費米子的量子動力學描述,但是理解和分析具有相互作用的非平衡量子體系的長時間動力學演化比平衡態難度更大,這就導致很難采取傳統的建模加經典數值模擬的方式來理清其中的物理機制.而在冷原子量子模擬的實驗中,既可以同時引入非平衡、相互作用、長時間演化這些復雜性的調控,也可以把這些要素剝離出來進行從弱到強的調控,這有助于對量子非平衡體系進行整體性、系統性的把握,也給理論上進行建模分析帶來重要的啟發性.

在6Li 冷原子量子模擬的研究中,近期在一個準二維費米體系的BEC-BCS 渡越附近發現了豐富的量子多體動力學現象[23,25].實驗將約束在勢阱中的6Li 原子快速地從相變溫度以上冷卻到相變溫度以下.系統因為不能瞬時響應溫度的變化,會被激發到不穩定的非平衡態.隨著時間的演化,這個非平衡態會逐漸達到平衡,形成低溫的費米超流體.從高溫態到低溫超流的形成伴隨著多個動力學過程的發生[26].首先,費米子會形成超導配對[23],系統中的費米激發從無能隙變成有限能隙,而玻色型的費米子對不會立刻發生凝聚,這時的非平衡態類似于高溫超導體系中贗能隙態.然后,隨著玻色型的費米子對占比的增多,系統逐漸進入一個具有大量拓撲渦旋激發的超流狀態.這種狀態下,系統不具有長程的相位關聯.實驗發現費米子對數量增長的方式具有普適性,很大程度上不依賴于系統冷卻的速率.從費米對增長的動力學中可以提取出一個特征的時間尺度tf,而快速冷卻過程中產生的渦旋的數目隨tf呈現冪指數關系,實驗觀測符合著名的Kibble-Zurek 理論,證實了該理論對強相互作用的費米子依然成立.快速冷卻也為產生大量隨機分布拓撲激發提供了有效手段,這些大量的渦旋表現出非平庸的空間冪律分布,由二維XY 模型描述[23?25].最終,非平衡態會弛豫到平衡態的費米超流.最后階段發生的動力學主要是正負渦旋對的湮滅,對應的渦旋數目衰減呈現 1/t的規律[25].這個過程由XY 模型或者等效的庫侖氣體模型描述,主要的模型參數包括相鄰的正負渦旋湮滅的速率和渦旋的擴散系數.實驗發現渦旋湮滅存在一種“短板機制”[25].正負渦旋湮滅的速率與超流密度正相關,而擴散系數與溫度正相關.因為渦旋的有效衰減既需要渦旋在系統中的擴散也需要正負渦旋的湮滅,因此衰減的速率由湮滅和擴散中較弱的一個決定.在BEC 區間,因為超流密度足夠大,所以渦旋衰減速率由擴散快慢決定,因此渦旋的衰減速率隨溫度升高而增大.在BCS 區間,由于大量的未配對的費米子與渦旋碰撞可以導致有效的擴散,所以渦旋衰減速率由正負渦旋的湮滅決定,因此隨著溫度的升高而降低.如何建立一個統一的嚴格理論來描述上述費米超流中的復雜動力學仍是一個有待解決的問題,基于全息對偶理論為研究其中的復雜動力學提供了一種思路[25,26],但是如何將全息對偶理論與實驗觀測對應,以及如何拓展至費米子體系從而描述實驗中的動態贗能隙物理仍然有待進一步的研究.

近期發展的空間高分辨的光場調控技術,為冷原子體系研究具有宏觀空間平移對稱性的量子輸運動力學提供了新的機遇.二流體理論預言超流中存在熵的波動傳播對應的第二聲集體激發模式.該激發模式在實驗中很難被直接觀測到,而最近的實驗為超冷費米子制造了平整的約束勢阱[12],可以保持系統的動量守恒,使得第二聲的聲速和擴散系數等重要物理量可以在密度響應函數中直接體現出來.實驗中通過布拉格譜學的手段,可以施加動量-頻率可調的微擾外勢以探測系統的密度響應,從而得到系統的密度響應函數.實驗測得的第二聲的聲速在超流區間為一個有限值,在從低溫區逼近相變溫度時逐漸趨近于零,而第二聲的擴散系數保持為一個有限值.實驗結果印證了第二聲在超流區是一個傳播模式而在正常流體區是一個擴散模式.量子輸運動力學的實驗為研究超流相變的普適動力學臨界行為打開了新的視角.

冷原子量子模擬也非常適合于研究遠離平衡的多體動力學穩態.一類有代表性的系統是冷原子-光腔系統.近期的實驗將6Li 囚禁在一個光學腔中,通過改變泵浦光的光強觀測到了費米子體系的動力學超輻射態[27].超輻射發生的臨界光強(Pth)隨粒子數(N)呈冪指數關系(Pth?N?s),而費米超輻射的冪指數因為泡利不相容原理,與非簡并氣體和玻色愛因斯坦凝聚均不相同,非簡并氣體和玻色愛因斯坦凝聚體系對應的指數s=1,費米子的指數為1/2.這一費米量子統計對動力學超輻射相變的影響在實驗中被證實.另外一類有代表性的實驗是冷原子高軌道光晶格體系.近期的實驗將40K 成功裝載到一個兩維的“棋盤”狀光晶格的p-能帶[28].實驗得到了一個長壽命的亞穩態,單分量(無相互作用)的費米子在激發能帶上的壽命達到10 s,雙分量的費米子壽命也達到秒量級.這為冷原子系統模擬多軌道的關聯電子模型打下了基礎.

4 總結與展望

截至目前,費米冷原子體系開展了豐富的量子模擬研究.從早期的BEC-BCS 渡越過程中強相互作用費米子的平衡態相圖研究,到其中的強關聯量子輸運動力學的測定以及費米光晶格中量子熱化、量子多體局域化的研究,這些實驗都不能在經典計算機進行準確模擬.從這些實驗中測定出的重要物理參數也不能被準確計算,比如三維強相互作用費米子的超導轉變溫度與費米溫度的比值,量子多體局域化發生的臨界無序強度等.相互作用費米子量子模擬的實驗很大程度上符合費曼提出量子模擬的最初邏輯,取得的結果在諸多問題上提供了不可取代的貢獻.運用費米光晶格對量子材料中的強關聯電子物態進行量子模擬的研究目前仍未超出經典可計算的范疇,主要原因包括晶格中的原子數目有限、溫度偏高等.進一步的發展需要在費米子降溫的技術上或者是在量子模擬的方法、方案上開展創新.這個方向的突破將產生極為重要的科學意義,比如回答費米子哈伯德模型的基態是否支持超導等.通過引入更多的可控自由度比如晶格結構、多軌道自由度等,費米子量子模擬將在復雜電子材料建模分析中有助于我們進行模型構造、迭代和篩選.更進一步的引入庫侖相互作用則直接可以進行量子化學問題的量子模擬.同時,完全可編程相互作用費米子模型的量子模擬同樣也為普適量子計算提供了一條路徑[29,30].