無序非厄米Su-Schrieffer-Heeger 中的趨膚效應

劉佳琳 龐婷方 楊孝森 王正嶺

(江蘇大學物理與電子工程學院,鎮(zhèn)江 212013)

近年來,非厄米系統(tǒng)涌現(xiàn)出了大量新穎現(xiàn)象,比如傳統(tǒng)體邊對應的失效、非厄米趨膚效應(non-Hermitian skin effect)等等.本文通過逆參與率和平均逆參與率,研究非厄米Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型的本征態(tài)的局域性以及非厄米趨膚效應,并且研究了系統(tǒng)的體邊對應率.在此基礎上,進一步研究了同位無序?qū)ο到y(tǒng)非厄米趨膚效應的影響.發(fā)現(xiàn),由于受到拓撲保護,無序不會破壞拓撲零能的波函數(shù)局域性,但是會極大地影響體態(tài)的非厄米趨膚效應.引入無序以后,系統(tǒng)的體態(tài)將會迅速擴展到體內(nèi).非厄米趨膚效應對同位無序表現(xiàn)了脆弱性.當無序增強,非厄米趨膚效應會受到很大的壓制.無序會減小系統(tǒng)的能隙和虛部能量.我們的研究加深了人們對非厄米趨膚效應的認識.

1 引言

量子力學中,用厄米哈密頓量來描述封閉量子系統(tǒng)的幺正演化[1?6].厄米性保證了系統(tǒng)的本征能量是實數(shù),系統(tǒng)的各種可觀測物理量的期望值也都是實數(shù).因為時間演化的幺正性,系統(tǒng)具有概率守恒.然而,真正的物理系統(tǒng)通常不是一個完全封閉的系統(tǒng),它與外界或多或少地具有一定相互作用,產(chǎn)生耗散或增益,導致系統(tǒng)的能量不是恒定的,因此概率不守恒.

如今,非厄米量子理論已經(jīng)進入了一個快速發(fā)展的時代.越來越多新奇的物理現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn),非厄米理論也在不斷發(fā)展[7?10].例如,非厄米趨膚效應(non-Hermitian skin effect,NHSE)[11?24],廣義布里淵區(qū)(generalized Brillouin zone,GBZ)[25?30],非布洛赫體邊對應關系[31],以及非布洛赫能帶理論[18?30]等等.非厄米物理在經(jīng)典物理學的各個領域也引起了相當大的關注,這是因為量子力學的薛定諤方程與經(jīng)典系統(tǒng)的波動方程之間存在形式上的相似性.因而在固體物理中發(fā)展的能帶理論,可以在具備周期性結(jié)構(gòu)時直接類比到經(jīng)典系統(tǒng).

由于存在非厄米趨膚效應,系統(tǒng)的本征態(tài)不再是分布在整個體內(nèi),而是局域在系統(tǒng)的邊界上,因此傳統(tǒng)的體邊對應關系將會遭到破壞[32?37].此時,開邊界系統(tǒng)的能譜相對周期系統(tǒng)的能譜發(fā)生了塌縮.這些現(xiàn)象都可以用非布洛赫理論來解釋,當系統(tǒng)的廣義布里淵區(qū)與布里淵區(qū)(Brillouin zone,BZ)[38]不重疊時,系統(tǒng)將會存在非厄米趨膚效應[31,39].另外,人們也可以通過逆參與率(inverse participation ratio,IPR)來定量研究系統(tǒng)的非厄米趨膚效應大小.非厄米趨膚效應不僅引起了理論物理學家的廣泛關注,而且已經(jīng)被冷原子、光學、聲學和拓撲電路等諸多領域的實驗證實[40,41].但是目前,人們對非厄米系統(tǒng)中無序的影響研究的還很少.

本文在非厄米SSH 模型中引入同位無序[23,42],并且研究無序?qū)Ψ嵌蛎淄負鋺B(tài)和拓撲平凡態(tài)的影響.特別是非厄米趨膚效應的影響.首先,構(gòu)建一個存在同位無序的非互易躍遷非厄米SSH 模型;其次,通過逆參與率和平均逆參與率(the averaged inverse participation ratio,MIPR)定量地分析非厄米趨膚效應,通過體邊對應率研究拓撲邊界態(tài)的性質(zhì);最后,研究無序?qū)Υ讼到y(tǒng)拓撲相和非厄米趨膚效應的影響.發(fā)現(xiàn)同位無序不會破壞受拓撲保護的拓撲邊界態(tài),但是會破壞非厄米趨膚效應.引入無序以后,局域在邊界的本征態(tài)將會迅速擴展到體內(nèi).非厄米趨膚效應表現(xiàn)出了脆弱性.

2 存在同位無序的非厄米SSH 模型

為了探究無序?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)的趨膚效應的影響,構(gòu)造存在同位無序的非互易躍遷非厄米模型[27],在布洛赫理論框架下,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為如下的形式:

其中σx,y是泡利矩陣;ξ是一個在[?1,1] 均勻分布的隨機數(shù);d代表無序的強度.參數(shù)γ表示非厄米的強度,由此建立了非互易的躍遷t3±γ/2.該系統(tǒng)具有手征對稱性[6]:因此,模型對應的本征值將會以(E,?E)的形式成對出現(xiàn):[31].

與布洛赫理論描述的周期邊界系統(tǒng)的能譜相比,非厄米系統(tǒng)的開邊界能譜會發(fā)生塌縮[19,31,43?46].另外,系統(tǒng)還存在非厄米趨膚效應,系統(tǒng)的本征態(tài)將會局域在系統(tǒng)的邊界上[47?59].因此,布洛赫理論不能準確刻畫開邊界系統(tǒng)的能譜和波函數(shù)等性質(zhì).要精確描述非厄米系統(tǒng)的性質(zhì),必須在借助廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論框架下.當d等于0時,根據(jù)β=eik(k為復數(shù)),將 布洛赫哈密頓量H(k)改寫為非布洛赫哈密頓量H(β):

對于具有手征對稱性的非厄米系統(tǒng),非布洛赫拓撲不變量為[60?64]:

它是由R±(β)沿GBZCβ所積累的相位來決定的,當w為0時,系統(tǒng)是拓撲平凡的.開邊界系統(tǒng)中不存在拓撲保護的拓撲零能和對應的拓撲邊緣態(tài).當w是非零整數(shù)時,系統(tǒng)是拓撲非平凡的.開邊界系統(tǒng)中存在拓撲保護的拓撲零能和對應的拓撲邊緣態(tài).

3 逆參與率和體邊對應率

首先,為了研究非厄米系統(tǒng)本征態(tài)的局域情況,計算了本征態(tài)的逆參與率(inverse participation ratio,IPR)[21,65].對于一個本征態(tài)ψ,其逆參與率為n表示格點的位置.當此本征態(tài)為拓展態(tài)時,波函數(shù)分布在所有的格點上,此時每個格點上的波函數(shù)模方與系統(tǒng)的格點數(shù)成反比.因此,逆參與率與系統(tǒng)的尺寸成反比,當尺寸增大,逆參與率趨于零:IPR ≈1/L ≈0(L為晶格尺寸).而當本征態(tài)是局域態(tài)時,由于波函數(shù)局域在系統(tǒng)的邊界上,波函數(shù)的局域情況不會隨著系統(tǒng)尺寸增大而擴展到更多的格點上.因此,局域態(tài)的逆參與率會隨著尺寸的增大而趨于非零的有限值.如果波函數(shù)完全局域在一個格點上,那么此時波函數(shù)的逆參與率為1.因此,逆參與率可以定量的描述波函數(shù)的局域性.

圖1(a)—(c)分別給出了系統(tǒng)處于拓撲非平凡態(tài),臨界和拓撲平凡態(tài)的能譜以及每個能量對應波函數(shù)的IPR.由圖1(a)—(c)可見,無論系統(tǒng)是否處于拓撲態(tài)還是處于臨界,本征波函數(shù)的IPR 都趨于有限值.圖1(d)—(f)給出了與圖1(a)—(c)能量對應的本征態(tài)在空間分布.如圖1(d)—(f)所示,所有的本征態(tài)和拓撲邊界態(tài)都局域在系統(tǒng)的邊界上.因此,系統(tǒng)的所有本征態(tài)都是局域態(tài),系統(tǒng)存在非厄米的趨膚效應.

圖1 (a)—(c)拓撲非平凡態(tài),臨界和拓撲平凡態(tài)的能譜.顏色表示能量對應的波函數(shù)的IPR.參數(shù)為(a)t1=0.4;(b)t1=1.58;(c)t1=2.5.(d)—(f)分別對應圖(a)—(c)中所有本征態(tài)在空間的分布.其余的參數(shù)為:γ=0.4,系統(tǒng)的尺寸L為80Fig.1.(a)–(c)The eigenenergies of topological nontrivial,critical and topological trivial phases with different parameters:(a)t1=0.4;(b)t1=1.58;(c)t1=2.5.The color denotes the IPR of the eigenstates corresponding to the eigenenergies.(d)–(f)The corresponding eigenstates in real space for Figure(a)–(c),respectively.The remaining parameter is γ=0.4.The length of the lattice is 80.

通過逆參與率分析了系統(tǒng)的每個本征態(tài)的局域情況.為了進一步研究系統(tǒng)的非厄米趨膚效應,計算平均逆參與率(MIPR)[65],即把所有能量對應的逆參與率取平均值:

平均逆參與率可以定量地反映系統(tǒng)所有本征態(tài)整體的局域程度.因此可以反映系統(tǒng)的非厄米趨膚效應強度.圖2(a)給出了γ=0.4時,平均逆參與率隨t1變化的趨勢,我們發(fā)現(xiàn)t1為零時,平均逆參與率最大;當t1增大,平均逆參與率減小到一個有限值.圖2(b)給出了不同t1時MIPR 隨系統(tǒng)尺寸變化的關系.為了進行對比,也給出了非厄米強度為零(綠線)的結(jié)果.圖2(b)顯示平均逆參與率與系統(tǒng)尺寸的逆成線性關系.非厄米系統(tǒng)中,當尺寸增大時,系統(tǒng)的平均逆參與率趨于一個有限值.這表明系統(tǒng)的趨膚效應不會隨著尺寸增大而減弱.當非厄米強度為零時(γ=0),平均逆參與率的值會因尺寸L趨向于無窮而趨向于0.也就是說,厄米系統(tǒng)的波函數(shù)是擴展態(tài),系統(tǒng)沒有趨膚效應.

圖2 (a)平均逆參與率(MIPR)隨參數(shù) t1 變化.參數(shù)為γ=0.4,L=80.(b)平均逆參與率與晶格尺寸L的標度.綠色線對應t1=0.4,γ=0.其他顏色的線分別對應不同的 t1,γ=0.4Fig.2.(a)MIPR varies with t1,other parameters are γ=0.4 and L=80;(b)finite-size scaling of MIPR for different t1.The green line corresponds to t1=0.4,γ=0,and the other lines correspond to different t1 with γ=0.4.

2016年,Lee[66]發(fā)現(xiàn)在非厄米問題中加入拓撲后可能會出現(xiàn)分數(shù)化的拓撲數(shù)并對應病態(tài)邊緣態(tài)(defective edge states,DESs).后來,Yao和Wang[31]指出非布洛赫拓撲不變量可以描述非厄米拓撲系統(tǒng)的拓撲性質(zhì),根據(jù)非布洛赫體邊對應關系,大家預言兩個邊緣態(tài)可以分別位于系統(tǒng)兩側(cè)或者都位于系統(tǒng)一側(cè)(左或右),但根據(jù)數(shù)值計算,會出現(xiàn)某一側(cè)邊緣態(tài)消失即左邊緣態(tài)和右邊緣態(tài)重合的情況,也就是“病態(tài)”(defective)現(xiàn)象,則該邊緣態(tài)被命名為病態(tài)邊緣態(tài).DES是一個可以局域在一維非厄米拓撲系統(tǒng)的左邊界或右邊界的零模[67,68].Wang等[67]給出了預測邊緣態(tài)是否存在以及邊緣態(tài)個數(shù)是否變得“病態(tài)”的方法.為了準確地研究病態(tài)邊緣態(tài),可以計算體邊對應率(bulk-boundary correspondence ratio,RBBC):

|ψ±〉是兩個邊緣態(tài)并且滿足自歸一化條件:|〈ψ±|ψ±〉|≡1.兩個邊緣態(tài)的相似度由|〈ψ+|ψ?〉|決定.RBBC是一個描述邊緣狀態(tài)數(shù)異常的量,如果RBBC等于0.5,此時存在DES 現(xiàn)象,如果RBBC等于1,則不存在DES 現(xiàn)象.

如圖3(a)的相圖所示,拓撲零模態(tài)的RBBC都等于0.5,這說明此時存在DES.為了便于比較,給這個非厄米系統(tǒng)增加了一個微擾 ?,因此本征值的簡并性被破壞,此時|〈ψ+|ψ?〉|=0,所以RBBC會迅速增大到1(見圖3(b)).因此,此時DES 現(xiàn)象在微擾下變得不穩(wěn)定,會迅速消失.

圖3 (a)t1-γ 平面的相圖.紅色為拓撲相區(qū)域,體邊對應率是0.5,此時存在DES.(b)體邊對應率隨微擾大小變化.當微擾為零時,RBBC為0.5,當微擾增大時,RBBC 迅速增 加到1.其余 參數(shù)為t1=0.4,γ=0.4 以及L=80Fig.3.(a)Phase diagram in t1-γ plane.The phase is topological nontrivial in the red regions,where the value of BBC ratio is 0.5.And there exists DES.(b)RBBC varies with the disturbance ?.When the disturbance is zero,the value of RBBC is 0.5,and when the disturbance increases,the value of RBBC jumps to 1.The remaining parameters are t1=0.4,γ=0.4 and L=80.

4 無序?qū)Ψ嵌蛎宗吥w效應的影響

為了研究無序?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)趨膚效應的影響[23,42],研究系統(tǒng)在開邊界條件,選取的參數(shù):t2=1.2,t3=0.3.首先,研究了系統(tǒng)的復數(shù)能譜隨無序強度的變化情況(見圖4(a)和圖4(b)).如圖4(a)和圖4(b)所示,無序強度為零時,系統(tǒng)存在拓撲零能.當引入無序以后,隨著無序的增大,雖然系統(tǒng)的能隙將會減小,但是拓撲零能(紅線)依然穩(wěn)定.所以弱無序只是減小了系統(tǒng)的能隙,并沒有破壞拓撲零能的穩(wěn)定性.當無序增強到能隙消失時,系統(tǒng)的拓撲零能將會消失.因此,強無序會破壞系統(tǒng)的拓撲,拓撲非平凡態(tài)將會變成拓撲平凡態(tài).另外,當無序強度增大時,系統(tǒng)虛能量的帶寬將會減小.

非厄米系統(tǒng)的能譜不僅會塌縮,而且還存在非厄米趨膚效應:開放邊界系統(tǒng)的本征態(tài)都以指數(shù)衰減的形式局域在系統(tǒng)的邊界附近[47].為了研究無序?qū)Ψ嵌蛎宗吥w效應以及拓撲邊緣態(tài)的影響,在拓撲非平凡態(tài)中引入不同強度的無序(見圖4(c)—(e)).選擇的參數(shù)分別為:(c)d=0,(d)d=0.5,(e)d=1.圖4(c)是不存在無序時候,系統(tǒng)的所有體態(tài)(黑線)和拓撲邊緣態(tài)(紅線).非厄米系統(tǒng)存在非厄米趨膚效應,系統(tǒng)的所有本征態(tài)(包括拓撲邊緣態(tài))都局域在系統(tǒng)的邊界.當引入無序以后(見圖4(d)),系統(tǒng)的拓撲邊緣態(tài)依然局域在系統(tǒng)的邊界上,其局域程度不受無序的影響.所以結(jié)合前面拓撲零能的結(jié)果,弱無序不會破壞非厄米系統(tǒng)拓撲零能及其對應的拓撲邊緣態(tài)的穩(wěn)定性.但是發(fā)現(xiàn)非厄米系統(tǒng)體態(tài)的局域程度被壓制了.引入無序以后,系統(tǒng)的體態(tài)向體內(nèi)擴展,非厄米趨膚效應迅速受到的壓制.進一步增強無序的強度(見圖4(e)),拓撲邊緣態(tài)不受影響,但是體態(tài)已經(jīng)擴展到整個體內(nèi).此時,雖然系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)沒有被破壞,但是系統(tǒng)的非厄米趨膚效應被無序完全壓制了.非厄米趨膚效應對同位無序表現(xiàn)出了脆弱性.因此,無序可以破壞非厄米系統(tǒng)的非厄米趨膚效應.

圖4 (a),(b)開邊界條件下的能譜.紅色點表示拓撲零能,藍色表示體態(tài)本征能量.(c)—(e)不同無序強度d 下的波函數(shù).黑色線表示體態(tài)的波函數(shù),紅色線表示拓撲零能對應的拓撲邊緣態(tài)的波函數(shù).無序強度分別為(c)d=0,(d)d=0.5,(e)d=1.其余參數(shù)為t1=0.4,γ=0.4 以及 L=80.Fig.4.(a),(b)Energy spectra under the open boundary condition.The red dots are topological zero-mode.(c)–(e)The eigenstate wave functions with different disorders d.The black curves are the bulk-state wave functions and the red curves are the zero-mode wave functions.The disorder strength is:(c)d=0,(d) d=0.5,(e) d=1.The remaining parameters are t1=0.4,γ=0.4 and L=80.

由于無序的存在,晶格的周期性被破壞,電子的波函數(shù)不再能擴展到整個晶體中,而是在空間中按照指數(shù)形式衰減,形成安德森局域現(xiàn)象[69].圖5(a)給出了不同d時MIPR 隨系統(tǒng)尺寸變化的關系.為了進行對比,也給出了非厄米強度為零(綠線和紅線)的結(jié)果.沒有引入無序,則MIPR 會因尺寸L趨向于無窮而趨向于0(綠線),但無序的引入會讓MIPR 最后趨于有限值(紅線).因此,無序的引入讓厄米系統(tǒng)表現(xiàn)出了安德森局域化現(xiàn)象.引入無序后的非厄米系統(tǒng),當尺寸增大時,系統(tǒng)的MIPR 也會趨于一個有限值,這表明系統(tǒng)的安德森局域化現(xiàn)象不會隨著尺寸增大而減弱.

圖5 (a)平均逆參與率與晶格尺寸L的標度.所有線對應 t1=0.4.其中綠色線對應 d=0,γ=0.紅色線對應 d=0.5,γ=0.其他顏色的線分別對應不同的 d,γ=0.4.(b)平均逆參與率(MIPR)隨無序強度 d 變化.參數(shù)為t1=0.4,γ=0.4,L=100Fig.5.(a)Finite-size scaling of MIPR for different d.All the lines correspond to t1=0.4.The green line corresponds to d=0,γ=0 and the red line corresponds to d=0.5,γ=0.The other lines correspond to different d with γ=0.4.(b)MIPR varies with d,other parameters are t1=0.4,γ=0.4 and L=100.

為了直觀地展現(xiàn)引入無序后系統(tǒng)中非厄米趨膚效應和安德森局域現(xiàn)象的競爭,圖5(b)給出了這個系統(tǒng)平均逆參與率隨無序強度d的變化情況.如圖5(b)所示,在無序強度較小時,系統(tǒng)的非厄米趨膚效應迅速受到壓制,系統(tǒng)MIPR 減小.進一步增強無序強度,系統(tǒng)的非厄米趨膚效應被無序完全壓制了,但強無序誘導出安德森局域化現(xiàn)象,所以系統(tǒng)MIPR 重新變大.

5 結(jié)論與討論

綜上所述,通過逆參與率和平均逆參與率分析了非厄米系統(tǒng)本征態(tài)的局域情況和非厄米趨膚效應.發(fā)現(xiàn)平均逆參與率與系統(tǒng)尺寸的逆成線性關系,并且在熱力學極限下趨于有限值.還通過體邊對應率分析了此系統(tǒng)的邊界態(tài)性質(zhì).此外,還研究了同位無序?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)的本征態(tài)局域性影響.發(fā)現(xiàn),無序會壓制系統(tǒng)的能隙和虛部能量.弱無序情況下,雖然拓撲邊界態(tài)的局域性不會受到無序的影響.但是體態(tài)的局域性會極大的受到無序的壓制,并迅速擴展到整個系統(tǒng).在強無序情況下,系統(tǒng)的能隙將會被關閉,此時系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)也會被破壞.