月球捕獲制動和遠程交會一體化制導算法

王高陽，胡海霞*，解永春

(1.北京控制工程研究所,北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室,北京100190)

近年來，載人登月作為載人航天的熱點方向之一，得到了美、俄、歐洲等地的普遍關注[1]，他們都提出了自己的方案，如美國Artemis計劃的登月方案是通過位于月球軌道的門戶，采用可重復利用的月球著陸器，使航天員往返于月球表面[2].彭祺擘等[3]對載人登月的飛行方案進行研究，歸納總結出4種登月飛行方案，其中基于環月軌道的兩次發射一次組裝的登月方案能夠降低對運載的要求，但是如何實現載人飛船與飛行在環月圓軌道的登月艙的交會對接是此方案的關鍵問題.

載人飛船由地球出發，到達月球后需進行減速制動，以完成月球捕獲.王宏等[4]和李革非等[5]在“嫦娥”一號背景下，在第一近月點的位置上對第一次月球捕獲制動時所需的脈沖速度增量進行分析，通過仿真計算指出最小速度增量為200 m/s時，可基本實現月球捕獲.載人飛船進行月球捕獲制動時，登月艙運行在軌道高度更低的環月圓軌道上，理論上，此時兩者相位差存在0°～360°的不確定性.由于載人登月任務對任務時間周期和燃料都有嚴格要求，載人飛船必須具備在特定時間內、以最少的速度增量完成捕獲制動和遠程交會的能力.

月球軌道快速交會的研究多是從月面起飛的快速交會，如 Apollo 11～12采用基于霍曼變軌的共橢圓交會方案，Apollo 14之后采用基于Lambert變軌的直接交會方案[6-7].對于共面圓軌道，不考慮時間約束的情況下，平面內的最優交會的解是雙脈沖霍曼變軌，但是霍曼變軌需要特定的初始相位，要實現全相位交會，需要消耗更多時間.Lambert變軌不僅適用于共面圓軌道，還適用于非共面橢圓軌道.在給定轉移時間后，只需追蹤器的初末位置，即可求出變軌所需要的兩次脈沖.但是這兩次脈沖的大小與追蹤器和目標器的初始相位角和轉移時間密切相關，容易遇到高能耗區.如軌道高度約275 km的追蹤器以某固定相位差交會軌道高度200 km的目標器，2個軌道周期內的不同轉移時間對應所需的速度增量從100 m/s到4 000 m/s 不等.

目前，最優多脈沖軌道交會問題的求解優化算法有以梯度法為代表的經典優化算法和以遺傳算法為代表的智能算法.經典優化算法在解決傳統優化問題時能起到較好的效果，但隨著優化問題規模和復雜程度的不斷增大，經典優化算法逐漸凸顯出其局限性[8].智能算法以其較強的適用性和魯棒性，在一些大型、復雜非線性系統的求解中具有獨特的優勢，在飛行器軌跡優化設計領域已有成功的應用[9].Mian等[10]應用多種最新的進化算法求解多脈沖最優交會問題，并對其進行比較.雖然智能算法在全局搜索性等方面有獨特的優勢，但是局部搜索能力不如經典優化算法，智能算法與經典優化算法混合使用是一個新的研究方向.Luo等[11]采用了混合遺傳算法和Clohessy-Wiltshire(C-W)方程，研究比較了近地軌道多脈沖最優交會的問題.劉東興等[12]利用混合算法和C-W方程，對在軌服務航天器進行軌道路徑規劃，求解出一條服務航天器到目標航天器的最優機動軌道路徑.但是，航天器遠程交會時的距離較遠，使用C-W制導誤差大，采用基于絕對定軌的軌控策略設計遠程交會方案更加適合[13].

本文針對我國未來載人登月任務中載人飛船在月球捕獲制動后與登月艙快速交會的需求，研究在指定時間和任意初始相位角的前提下，飛船實現月球捕獲制動和遠程交會一體化的最優多脈沖軌道轉移問題.基于Lambert變軌，綜合考慮終端條件、捕獲制動和遠程交會的時間、最大速度增量等約束條件，設計了多脈沖捕獲制動和遠程交會一體化制導的規劃模型.同時兼顧遺傳算法的全局搜索能力和經典優化算法的局部搜索能力，設計了一種串行混合遺傳算法，使得求解結果更加優越.通過仿真驗證和對比分析，證明混合遺傳算法在提高求解質量方面的優越性.

1 月球捕獲制動和遠程交會一體化制導規劃模型

1.1 捕獲制動和遠程交會軌道轉移數學模型

飛船經地月轉移到達月球，地月轉移軌道相對于月球為雙曲線軌道，飛船飛至近月點時必須進行減速制動以被月球引力捕獲，否則飛船會飛離地月系統不會返回[14].圖1是捕獲制動和多脈沖遠程交會示意圖，初始時刻，飛船作為追蹤器位于近月點C0點，登月艙作為目標器位于環月圓軌道的T0點，飛船與登月艙之間的初始相位角差為θ0.飛船在C0點施加月球捕獲制動脈沖，在C1、C2、Cf點施加遠程交會脈沖，經過一體化制導，最終到達高于登月艙軌道高度h、相位領先登月艙θ1的指定位置(圖中Cf點).在整個過程中，總時間tq1+tq2+tq3=Tq可根據時間約束來確定，通過在初始位置C0和終點位置Cf之間增加或減少脈沖來研究最優多脈沖一體化制導的問題.

圖1 月球捕獲制動和遠程交會Fig.1Lunar capture and far-range rendezvous

假設航天器在軌道機動的過程中滿足中心反平方引力場假設，則軌道動力學方程為：

(1)

其中：r是航天器的位置矢量，v是航天器的速度矢量，μm是月球的引力常數.

設飛船在遠程交會的過程中采用N(N≥2)次脈沖，飛船初始的位置、速度和時刻分別用r0、v0和t0表示，飛船終端的位置、速度和時刻分別用rf、vf和tf來表示.脈沖施加前和脈沖施加后分別用上標“-”和 “+”表示，則：

(2)

其中：n(1≤n≤N)表示遠程交會過程的第n次脈沖,tn表示第n次脈沖的作用時刻.

依據文獻[15]，令

(3)

是方程(1)的解，則第n次脈沖滿足：

(4)

遠程交會過程的第1次脈沖作用前滿足：

(5)

遠程交會過程的第N次脈沖作用后滿足：

1.2 優化問題描述

如圖2所示，給定航天器在軌道上P1、P2兩點的位置矢量r1、r2，轉移時間Δt和運動方向，可以利用Lambert方法求解P1、P2兩點的速度.通過推導，可以得出如下Lambert方程：

圖2 Lambert方法示意圖Fig.2Sketch map of Lambert method

在月球捕獲制動中多使用切向脈沖，本文以遠程交會脈沖的作用時刻ti和脈沖矢量Δvi作為優化變量.為了確保規劃模型解的有效性，最后兩次脈沖利用Lambert方法求解，即：

其中：Lambert(rN-1,rN,tN-tN-1)是關于rN-1、rN和tN-tN-1的Lambert方程，本文根據文獻[15-17]的普適量法進行求解.

綜上，一體化制導規劃模型的優化變量可表示為：

x=(t1,t2,…,tN-1,Δv0,Δv1,Δv2,…,ΔvN-2),

(6)

其中：Δv0是捕獲制動的脈沖大小，Δvi=(Δvix,Δviy,Δviz)，因此x是4N-6維向量.

一體化制導的軌道轉移問題可以描述為對式(6)進行優化，使一體化制導所需總的脈沖最小，即：

脈沖施加時刻滿足的約束條件為：

t0

(7)

考慮到實際要求，例如脈沖機動前需要進行調姿，兩次脈沖之間要預留一定的時間間隔，即滿足如下約束：

ti+1-ti≥ΔTmax(i=0,1,…,N-1).

(8)

脈沖約束要考慮到捕獲制動的成功性、最大脈沖限制的約束，根據文獻[5]，捕獲制動脈沖不能太小，否則會捕獲失敗，但是也不能太大，要考慮到發動機的限制，因此捕獲制動脈沖的約束為：

Δvmin≤Δv0≤Δvmax.

(9)

遠程交會過程中脈沖的約束主要受限于發動機的限制，即：

|Δvn|≤Δvmax.

(10)

在遠程交會的終點，飛船和登月艙的相對位置和相對速度需達到終點要求，為飛船的近程交會創造條件.在登月艙的軌道坐標系下，飛船在制導末端的相對位置和相對速度需滿足：

(11)

由上述可見，月球捕獲制動和遠程交會一體化制導問題以燃料(速度增量)為性能指標，且脈沖大小和間隔、轉移時間、終端狀態等都受約束.這種軌道機動優化問題可以基于不同數值方法求解，本文采用的是基于遺傳算法和單純形算法的混合遺傳算法.

2 基于串行混合遺傳算法的一體化制導律的優化設計

遺傳算法具有較強的全局搜索能力，但是在局部搜索能力和計算速度方面較差.單純形算法局部搜索能力強，但是對初始值敏感，容易陷入到局部極小.因此，為了提高求解質量，本文使用一種串行混合遺傳算法對一體化制導律進行優化設計，即首先利用遺傳算法進行全局優化，然后利用單純形算法進行局部優化，進而得到最終解.

2.1 一體化制導律的全局優化

遺傳算法是一種借鑒生物界“適者生存”的自然選擇和自然遺傳機制思想的隨機搜索算法[18]，算法中的每一個可能解被編碼成一個“染色體”，即個體，若干個體組成一個種群.算法開始時，種群內的個體根據解的可行域隨機產生，然后根據適應度函數計算得到每一個個體的適應度值，通過適應度值的高低對個體進行選擇，保留優秀的個體，淘汰壞的個體.保留下的個體經過交叉、變異操作形成下一代個體，由于新一代個體保留上一代個體的優良性狀，因此性能優于上一代，這樣會朝著最優解的方向進化.利用遺傳算法對一體化制導律的全局優化設計如下.

1) 染色體編碼

本文采用實數編碼的方式，實數編碼可以方便地表示大范圍的數，擴大搜索空間，也能夠降低算法的復雜性，提高計算效率.一體化制導規劃模型的優化變量x經過編碼可表示為：

x=(x1,x2,…,x4N-6).

2) 適應度函數

由于單純形算法和遺傳算法只能求解無約束問題，本文采用罰函數法處理約束條件，把有約束問題轉化為無約束問題進行求解.

(12)

其中：M是懲罰因子，gi(x)≤0是式(7)～(11)的約束條件.

適應度函數是衡量個體好壞的重要標準，它是由目標函數轉換而來.一般而言，適應度函數值越大，個體性能越好.本文一體化制導規劃模型要最小化總的脈沖大小，因此需要對式(12)進行轉換，本文的適應度函數如下：

3) 算子操作

(i) 選擇

選擇是從舊種群中以一定概率選擇一些優良個體，保留到下一代種群，被選中的概率與個體的適應度值有關，適應度值越大，被選中的概率越大.本文采用輪盤賭法進行選擇操作，優化變量xi被選中的概率為：

其中P為種群中個體的數量.

(ii) 交叉

交叉是通過隨機選擇種群中兩個個體進行交換組合，產生新的個體.優化變量xi和xj在第l位的交叉公式為：

(xil=rxil+(1-r)xjl,

就蘇珊·桑塔格后期的美學思想而言，更多的是對藝術作品與生活關系的思考。藝術可能導致生活中的方方面面都有幸成為這個龐大體系中的一個微小的部分，這種將藝術生活化、生活審美化是蘇珊·桑塔格后期美學思想的一個突出特點。

xjl=rxjl+(1-r)xil,)

其中r是[0,1]之間的隨機數.

(iii) 變異

變異是以一定概率選擇某些個體，選擇其中的某一點進行變異以產生新個體.優化變量xi在第l位的變異公式為：

式中：Umax和Umin分別是xil定義域的上下界；T(g)=r2(1-g/Gmax)b，r1r2是區間[0,1]之間的隨機數，g是當前迭代次數，Gmax是最大迭代次數，b是非均勻算子，這里取為2.

2.2 一體化制導律的局部優化

單純形算法作為經典優化算法之一，通過函數值計算的方式尋找函數的最小值，計算簡單，速度快，局部收斂性強.單純形算法通過反射、壓縮和擴張的操作實現對函數最小值的求解[19].由式(6)可知，優化變量x的維數為4N-6.首先根據初始優化變量x0生成與其有相同維數的4N-6個變量x1,x2,…,x4N-6，然后利用單純形法對一體化制導律進行局部優化，操作如下.

Step2 對xh進行反射操作得到變量xr，函數值為Fr，如果Fr

Step3 如果Fe

Step5 如果Fr>Fh，對xr進行收縮操作得到變量xc；否則，用xr替換xh，然后再進行收縮操作.

Step6 如果Fc>Fh，對所有變量進行縮小，轉Step7；否則，用xc替換xh，轉Step7.

Step7 計算所有變量函數值的標準差，判斷上一次迭代和本次迭代的標準差變化是否滿足終止條件，若滿足，終止循環，否則轉Step1.

綜上，一體化制導律的局部優化流程圖如圖3所示.

圖3 一體化制導律的局部優化流程圖Fig.3Local optimization flow chart of integrated guidance

2.3 一體化制導律的整體優化設計

本文一體化制導律的整體優化設計如圖4所示.首先采用2.1的全局優化方法對一體化制導規劃模型的解進行全局尋優，以算法的最大進化代數作為終止條件，達到條件后得到初步解，然后根據此解產生初始變量，采用2.2的局部優化方法進行迭代，以滿足終止條件后得到的解作為最優解.

圖4 一體化制導律的優化設計圖Fig.4Optimal design of the integrated guidance

3 仿真計算與結果分析

3.1 固定相位差下捕獲制動和遠程交會一體化制導仿真分析

1) 仿真參數

初始時刻，登月艙位于軌道傾角為28.5°，軌道高度為200 km的環月圓軌道，載人飛船經過地月轉移到達軌道高度為250 km的近月點，假設此時登月艙的相位角領先飛船210°.在月球慣性系下，飛船的初始狀態向量為：

rchaser0=(1 987.4 km,0.0 km,0.0 km),

vchaser0=(0.0 km/s,1.95 km/s,1.06 km/s).

飛船經過捕獲制動和快速遠程交會，到達登月艙前上方、相距約51 km的終點位置，在登月艙軌道坐標系內的相對位置和相對速度為：

rrelative=(50.0 km,0.0 km,-10.0 km),

vrelative=(-12.3 m/s,0.0 m/s,0.0 m/s).

月球捕獲制動所需的最小速度增量約束為300 m/s，最大速度增量約束為900 m/s，相鄰兩次脈沖之間的時間間隔約束為200 s.

2) 固定時間下一體化制導算法比較

為了驗證本文算法的有效性和優越性，以四脈沖為例，比較單純形算法、遺傳算法和混合遺傳算法對捕獲制動和遠程交會一體化制導的求解結果.考慮到遺傳算法的隨機性，對每種算法獨立運行20次，初始種群規模為400，交叉概率0.92，變異概率0.10，遺傳算法和混合遺傳算法的最大進化代數均為160代，一體化制導的時間設定為5 h.各算法總的速度增量統計如表1所示.

表1 速度增量統計結果

圖5是混合遺傳算法最優解的迭代過程圖，圖6是利用混合遺傳算法求解月球捕獲制動和遠程交會在月球慣性系下的軌道轉移圖.

圖5 混合遺傳算法最優解關于迭代次數的曲線Fig.5 The curve of optimal solution with iterations of hybrid genetic algorithm

從表1的數據可以看出，單純形算法求解的速度增量的均方差為546.50 m/s，最大速度增量為2 581.0 m/s，而遺傳算法求解的速度增量的均方差為3.38 m/s，最大速度增量為680.2 m/s，解的質量得到明顯的改善，也說明了單純形算法對初始點敏感，導致解的穩定性差.利用混合遺傳算法求解的速度增量的均方差僅為0.14 m/s，最大速度增量也降低到666.6 m/s，相比于遺傳算法的求解結果，解的質量進一步提高，這表明混合遺傳算法對一體化制導問題能進行很好地求解.

圖5和圖6是為了驗證本文混合遺傳算法和規劃模型的有效性.從圖5中可以看出，總的速度增量在迭代160次之后又進一步降低，表明遺傳算法搜索到的初始解，經過單純形算法進一步優化，解的最優性進一步提高.圖6中，登月艙所在的軌道周期為2.1 h，1～4表示飛船在進行機動時登月艙所在的位置，經過計算，飛船在5 h內經過4次脈沖的制導，到達指定的終點位置，表明本文一體化制導規劃模型的有效性.

圖6 飛船月球捕獲制動和遠程交會軌道轉移圖Fig.6Trajectory transfer diagram of lunar capture braking and far-range rendezvous of spacecraft

3) 不同時間下一體化制導仿真結果

圖7 不同制導時間對結果的影響圖Fig.7Influence diagram of different guidance time on results

為了研究在固定相位角差下，飛船通過4次脈沖實現月球捕獲制動和遠程交會一體化制導總的最優速度增量隨著時間的變化.通過改變時間，獲得飛船一體化制導總的最優速度增量、捕獲制動時的速度增量和遠程交會時的速度增量隨著時間的變化曲線如圖7所示.從圖7可以看出，一體化制導的時間在1～3 h之間，最優總的速度增量隨著制導時間增加而迅速降低，一體化制導的時間大于3 h時，最優總的速度增量變化較小，在666.3～666.6 m/s之間.捕獲制動速度增量在前2 h內非常大，接近900 m/s；在2.5 h 時，速度增量最小，為300 m/s左右；3 h后速度增量增長幅度較小.遠程交會的速度增量隨著時間的增加而逐漸降低，3 h后減少的幅度較小.綜合考慮任務周期和燃料消耗，在當前的相位角差下，一體化制導的時間選在大于3 h較為合理.

3.2 全相位捕獲制動和遠程交會一體化制導仿真分析

為了驗證本文規劃算法對全相位的強適應性，設置一體化制導時間為5 h，利用3.1中的初始仿真參數，初始時刻登月艙領先飛船不同的相位角差下，飛船通過4次脈沖實現月球捕獲制動和遠程交會一體化制導在登月艙的軌道平面內的相對運動軌跡圖如圖8所示.

圖8 不同初始相位下的運動軌跡圖Fig.8Trajectory diagram under different initial phases

從圖8可以看出，飛船在全相位下都能到達指定的遠程導引終點位置，表明本文的規劃模型可以實現飛船在任意初始相位下的多脈沖一體化制導.

由3.1節可知，一體化制導最優總的速度增量與制導時間有關，圖9是在登月艙領先飛船不同初始相位角差下，飛船經過四脈沖一體化制導最優總的速度增量和所需時間隨著初始相位的變化圖.可以看出，任意初始相位角差下，一體化制導最優總的速度增量均為666 m/s左右，但是所需要的一體化制導時間不完全相同.在不同的初始相位角下，可以根據本文的制導算法，選擇合適的一體化制導時間，實現最小速度增量的軌道轉移.

圖9 不同初始相位下對結果的影響圖Fig.9Influence diagram of different initial on results

使用裝有Intel(R)Core(TM)i7-8750H 6核2.2 GHz CPU的計算機，運行MATLAB 2016a軟件對四脈沖一體化制導的最優解進行求解，大約需要消耗4 min 的時間，時間消耗主要是動力學方程的積分運算.在地面任務設計中，混合遺傳算法的時間成本是可以接受的.

4 結 論

本文以載人登月前載人飛船通過環月降軌與登月艙實現交會對接為背景，解決了月球捕獲制動和遠程交會一體化制導問題.本文基于Lambert變軌的方法，綜合考慮時間約束、速度增量約束以及終端條件約束，設計了多脈沖捕獲制動和遠程交會一體化制導的規劃模型，并且利用求解質量較高的混合遺傳算法對規劃模型進行求解.仿真結果表明，混合遺傳算法可以有效提高求解質量，本文的規劃模型正確有效，并且適用于任意初始相位差和不同時間內的多脈沖一體化制導，研究的結果對工程實踐具有參考意義.