毫米波信道中波束成形矢量的波束寬度

樓斌劍，王海泉，黃怡，李紫薇，俞蕓蕓

毫米波信道中波束成形矢量的波束寬度

樓斌劍，王海泉，黃怡，李紫薇，俞蕓蕓

（杭州電子科技大學，浙江 杭州 310018）

波束成形矢量技術能夠集中所發送的能量于某一指定區域，從而提高系統性能，是5G的核心技術之一。但正是由于能量被集中這一特點，信道的任何變化都可能會使接收方越出此特定區域，從而使系統的魯棒性能降低。波束成形矢量的波束寬度這一概念就是衡量這對矛盾的指標之一。已有的波束寬度大多針對天線而言，并非針對波束成形矢量。針對波束成形矢量，借助格拉斯曼流形中的概念，給出并研究了波束寬度的定義，在此基礎上，探討了拓寬波束寬度的方法。研究發現，天線數越多，能量越能夠集中，但波束寬度受限，從而魯棒性越弱。

毫米波；波束成形；波束寬度；格拉斯曼流形；波束拓寬

0 引言

隨著無線通信技術的發展，無線電頻譜的低頻段趨于飽和，毫米波的高頻段因可以提供充裕帶寬而受到廣泛關注，但是由于其波長短、對材料的穿透性差，相較于低頻段的傳輸，其路徑損耗嚴重。為了解決上述問題，毫米波通信通常采用大型的天線陣列以及波束成形矢量技術，把有限的能量覆蓋到指定的區域，以對抗較大的路徑損失[1-3]。但是，如果波束變窄，用戶或目標的微小變化就會使用戶或目標離開波束覆蓋區域，導致波束的魯棒性變差；另一方面，如果波束變寬，則有限的能量就被分散，從而降低了系統性能。所以，寬波束和高輻射功率就是一對矛盾。例如，在高鐵場景下，接收端的高速移動需要頻繁地切換波束，利用寬波束可以在一定程度上降低切換的頻率，從而降低系統的復雜度，但在邊緣區域，寬波束的輻射功率通常不滿足通信要求，這就需要利用窄波束對抗較大的路徑損失；在設計預編碼碼本時，波束覆蓋有效區域的大小也是系統的性能指標之一。當覆蓋相同的區域時，若波束寬度較寬，則碼本中的碼字個數相對少，對波束的管理就較為方便，但同時波束增益較小；若波束寬度較窄，則碼字的個數就要增加，波束管理就更為復雜，但波束增益較高。

為了權衡上述兩者之間的關系，需要研究波束寬度及尋找控制拓寬波束的方法。為此首先需要研究的是波束寬度的定義。從文獻[4-6]看，存在兩種波束寬度的定義：第一種是針對天線陣列提出的波束寬度的概念；第二種是針對波束成形矢量提出的概念。顯然第一種概念針對系統的硬件，而第二種針對系統的軟件[4-5]。對比兩者可知，第一種定義沒有考慮實際傳輸過程中天線數量以及毫米波信道特性帶來的影響，而第二種定義與天線數量以及毫米波信道特性緊密相關。本文針對第二種定義展開討論。

其次，需要研究波束拓寬的方法。目前的波束拓寬方法大多基于第一種定義討論，常用的方法是通過添加額外的射頻開關關閉部分天線，從而減少子陣列規模[6]，但這種方法工程實現困難，并且降低了陣元的利用率，使得天線的發射增益下降。文獻[7]利用一個功率增強型的水平寬波束以及個垂直波束結合，獲得了與7波束接近的覆蓋性能，其中={0,1,2,3}，但沒有具體指出如何得到寬波束。文獻[8]針對硬件添加了反射鏡給出加寬的波束。文獻[9-13]都利用調整相位的方法拓寬波束。文獻[9]通過翻轉部分子陣列的權值使得波束寬度可以自由拓寬，而不受振幅控制，也不損失功率。文獻[10]假設每個單元陣列的天線相位都是可以獨立調整的，這對于連續均勻子陣列來說是不現實的。文獻[11]提出了一種有效的連續均勻子陣列波束拓寬方法，用3種改進的迭代傅里葉變化和一種遺傳算法求解波束的最佳擴展模式。文獻[12]提出了一種基于兩步最小二乘法的陣列合成算法，該算法利用陣列天線相位的隨機性設計天線陣列。文獻[13]提出了一種非迭代的純相位波束拓寬方法，該方法依賴于線性陣列和平面陣列的二次相位激勵模式。

基于第二種波束寬度定義的工作比較少見。文獻[6]針對陣列響應矢量提出了基于虛擬子陣列合成的波束拓寬的方法，而文獻[14]針對特定的波束成形矢量，將波束拓寬問題表述為非線性優化問題，在滿足功率約束條件的前提下，利用序列二次規劃（sequence quadratic programming，SQP）技術搜尋最佳波束，使得傳輸功率陣列因子最大，但上述工作中提到的波束成形矢量都是限定在特定形式下的波束成形矢量。文獻[15]針對任意形式的波束成形矢量，給出了約束結構，在滿足約束條件的情況下對形成波束的控制參數進行數值窮舉，使得增益最大。但是它僅僅考慮了信道中只有一個入射角的情形，沒有考慮毫米波信道中多個入射角帶來的影響，且波束寬度定義為半功率波束寬度（half-power beamwidth，HPBW），即與主光束峰值相比，輻射圖幅度減小3 dB的角度跨度，顯然這種定義不夠靈活，只能計算半功率時的波束寬度。

綜上所述，有必要針對任意的毫米波信道及任意的功率利用率重新定義波束成形矢量的波束寬度。首先，基于任意波束功率利用率的概念給出了單個路徑下波束寬度的定義，并給出了理論上界；其次，構造了新的、具有更寬波束寬度的波束成形矢量，并討論了常用的及新構造的波束成形矢量的性質；最后，把上述結果推廣到任意毫米波信道的情況，給出了多個路徑下波束寬度的定義及具體計算過程，同樣也討論了常用的波束成形矢量在多徑條件下的性質。

1 單路徑下的波束寬度

假設信道路徑為單路徑。

在大規模天線系統中，通常利用波束成形技術聚集所發送信號的能量，消除路徑損耗。顯然，波束越窄，所發送的能量就越集中，這樣就越有利于信號的傳送，但是，信道的微小變化就會帶來波束的抖動，因此，波束越窄，魯棒性就越差。為了權衡高增益與強魯棒性，本文引入波束寬度這一指標描述兩者之間的關系。為此有必要先介紹格拉斯曼流形以及格拉斯曼距離的相關概念。

1.1 格拉斯曼流形與格拉斯曼距離

(,)中的元素有多種表示方法，本文采用維矩陣表示，即對于一個的滿秩矩陣，它的列向量所生成的子空間，記為[]，表示(,)中的元素。顯然對于任意的滿秩方陣，的列向量所生成的空間與的列向量所生成的空間相同，因此，[]= []，即在(,)中，它們表示同一個元素。

假設1和2是兩個維數為的滿秩矩陣，且它們的奇異值分解為：

其中，為的酉矩陣，為的對角矩陣，為的酉矩陣，= 1,2。顯然，[]= []，且的列向量是[]的一個標準正交基。下面定義[1]與[2]之間的格拉斯曼距離。

因此，(1,2)∈[0, π/2]。當?= 0時，(1,2) = 0，當?= 2π/（≠0）時，(1,2) = π/2，達到最大值。由此可知，當?從0增加到2π時，(1,2)從0增加到π/2。另外，當增大時，格拉斯曼距離(1,2)的變化幅度增大。?與格拉斯曼距離的關系如圖1所示。

圖1 ?α與格拉斯曼距離的關系

1.2 波束寬度的定義及性質

假設基站配備均勻線性陣列（uniform linear array，ULA），且陣元數為，為陣元的間距，則波束成形矢量可以表示為：

以下定義的波束寬度。

本節只考慮一個主路徑，其陣列響應矢量為：

接下來給出波束寬度的定義。不同于常用的半功率波束寬度，本文根據利用率給出一種新的定義，具體定義如下。

其中，為給定常數，且∈[0,1]，則波束寬度B()定義為波束區域的長度。

以上定義是針對波束成形矢量給出的，有別于天線理論中波束寬度的概念。顯然，對于固定的，B()是的減函數，即最小利用率增大，波束寬度減小，當= 05時，就相當于常用的半功率波束寬度。由此可知，以上定義比常見的半功率波束寬度這一概念更加靈活。

如果W是一個連續區間，則有：

例如，假設波束成形矢量為陣列響應矢量，可以表示為：

其中，為波束指定的方向。式（9）中的信道矢量的利用率為：

為了方便描述，定義函數：

則式（15）可以表示為：

例如，取= 07，當= 32時，其波束寬度為0.127 0 rad（1 rad=180°/π）；當= 64時，其波束寬度為0.063 5 rad；而當= 128時，其波束寬度為0.031 7 rad；由此可見，當天線數增加一倍時，波束寬度大約減少一半。

下面給出波束寬度的幾個上界。為此，需要討論波束寬度與格拉斯曼距離之間的關系。假設是陣列響應矢量（如式（13）所示），則由 式（6）、式（16）和式（18）可得：

對于一般的波束成形矢量及給定的常數，利用傅里葉變換可以證明波束寬度滿足以下的上界。

定理1 對于任意的波束成形矢量及任意的常數，波束寬度B()滿足以下不等式。

證明如下。

式（22）可以改寫為：

從而有：

證畢。

由此可見，對于給定的，當天線數增加時，波束寬度線性地減少。例如，取= 07，當= 32時，由計算可得，1= 0280 4 rad；當= 64時，1= 0140 2 rad；而當= 128時，1= 0070 1 rad。上界1還有很大的改進空間。事實上，利用格拉斯曼流形中距離的定義（如第1.1節所示），可以得到更緊致的上界。

定理2 對于任意的波束成形矢量及任意的常數(05)，波束寬度B()滿足以下不等式。

等價地，信道矢量與波束成形矢量之間的格拉斯曼距離(,)滿足以下條件。

證明如下。

根據式（16），可以將式（31）簡化為：

根據三角形兩邊之和大于第三邊的性質，可以得到如下關系。

因而有：

所以：

故：

證畢。

圖2 函數曲線

例如，= 07，當= 32時，由計算可得上界2= 0139 2 rad；當= 64時，2= 0066 4 rad；而當= 128時，2= 0033 2 rad。與上界1相比，上界2更加緊致。

1.3 幾類特殊波束的波束寬度

1.3.1 陣列響應矢量的波束寬度

正如前面所指出的，陣列響應矢量作為波束可以達到最大的利用率，但是其波束寬度與波束寬度的上界有較大的差距，因此，希望構造出具有更寬的波束寬度的波束成形矢量。

1.3.2 由理想低通濾波器構造的波束成形矢量

由定理1的證明可知，假設()為理想低通濾波器，其通帶長度為2π則通過傅里葉反變換可以得到波束成形矢量的第個分量為：

例如，取= 07，當= 32時，由計算可得，其波束寬度為0.131 6 rad，最大利用率為0.933 6；當= 64時，其波束寬度為0.065 8 rad，最大利用率0.933 9；而當= 128時，其波束寬度為0.032 9 rad，最大利用率為0.934 0。由此可見，這種波束成形矢量通過降低最大利用率換取波束寬度的增加。

1.3.3波束

圖3 λ波束的利用率與信道方向φ的關系

由表1可知，當固定時，隨著天線數量的增加，波束寬度逐漸減少，故在實際應用中，基站的天線并不是越多越好，天線越多意味著波束更窄，魯棒性變差，一旦用戶稍微移動一段距離，利用率便快速下降，導致通信質量很差，而波束可以通過選取不同的值權衡最大利用率與波束寬度的關系。

表1 3種波束的波束寬度

2 多路徑下的波束寬度

2.1 波束寬度的定義

在實際通信過程中，通常不會只存在一個路徑，因此，有必要討論多路徑下的波束寬度的定義及其性質。

假設基站配備陣元數為的均勻線性陣列，路徑數為，那么信道向量可以表示為：

由此可知，信道向量包含在由的列向量所生成的空間[]中。下面討論波束寬度的定義。

由第1節可知，在多徑的環境中，對于給定的波束成形矢量及給定的常數，波束區域W仍然可以表示成以下形式。

但由于這個最大值與維數有關，而在實際情況中是一個隨機變量，因此，求平均得到：

根據式（27）可以給出如下定義。

定義3 對于任意的波束成形矢量及任意

采取上述定義的理由如下。

（1）希望得到一個與路徑數無關、統一的定義。

（2）第1節波束寬度的定義過程如下：先給出利用率的定義（如式（10所示）），這是討論波束寬度的出發點，再根據此定義給出了波束區域的定義（如式（11）所示），最后給出了波束寬度的定義。但在多個路徑的場合，波束區域是多維空間中的一個子集，無法采用一個指標衡量一個區域的大小。因此采用格拉斯曼流形中的距離的概念。從式（13）～式（18）得到啟發，采用這些步驟，就有了上述定義。

（3）從仿真效果來看（如圖4所示），上述定義基本達到要求，即波束寬度基本與無關。

（4）顯然，當= 1且為陣列響應矢量時，上述定義與第1節中的波束寬度的定義完全一致。

圖4 不同路徑數下天線數與陣列響應矢量的波束寬度的關系

2.2 幾類特殊波束

2.2.1 陣列響應矢量的波束寬度

表2 的波束寬度與天線數關系

表3 的波束寬度與天線數關系

2.2.2 由理想低通濾波器構造的波束

3 結束語

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Beamwidth of beamforming vectors in millimeter-wave channels

LOU Binjian, WANG Haiquan, HUANG Yi, LI Ziwei, YU Yunyun

Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018, China

The beamforming technology is one of the core technologies in 5G and it can concentrate the transmitted energy in a specified area, thereby improving the performance of the system. But it is because of this feature that the energy is concentrated，any changes of the channel may cause to keep the receiver outside the specified area, and therefore, the performance of robustness is reduced. The concept of the beam width of a beamforming is one of the indicators to measure this tradeoff. Existing definition of beam widths are based on antennas, not on beamforming. Interms of beamforming, the definition of beam width was given and studied with the help of the concept in Grassmannian manifolds. On this basis, the method of beam width was discussed. It is found that the beam width of beamforming is closely related to the number of the transmitting antennas. The more the number of antennas, the more concentrated the energy, and the weaker robustness is.

millimeter wave, beamforming, beam width, Grassmannian manifold, beam broadening

TN91

A

10.11959/j.issn.1000–0801.2022288

2022–04–21；

2022–11–10

樓斌劍（1998-），男，杭州電子科技大學碩士生，主要研究方向為信號與信息處理。

王海泉（1964-），男，博士，杭州電子科技大學教授、博士生導師，主要研究方向為無線通信、多天線系統、信號檢測、信息論等。

黃怡（1987-），女，杭州電子科技大學博士生，主要研究方向為無線通信、多天線系統、信號檢測、信息論等。

李紫薇（1998-），女，杭州電子科技大學碩士生，主要研究方向為信號與信息處理。

俞蕓蕓（1997- ），女，杭州電子科技大學碩士生，主要研究方向為信號與信息處理。