桿式天平軸向力元件測量梁夾角優化分析

閔夫，解真東，戴金雯，皮興才，楊彥廣 *

1. 中國空氣動力研究與發展中心 超高速空氣動力研究所，綿陽 621000

2. 中國空氣動力研究與發展中心，綿陽 621000

0 引 言

應變天平是風洞氣動力試驗最關鍵的測量設備[1]，用于測量風洞試驗模型所受的軸向力、法向力、側向力、俯仰力矩、偏航力矩和滾轉力矩。應變天平的測量元件一般包括軸向力元件和五分量組合元件。軸向力元件是其中最復雜的結構，同時軸向力也是最難測準的載荷。在設計天平軸向力元件時，既要平衡天平剛度和靈敏度之間的矛盾，也要盡可能減小其他分量對軸向力的干擾[2]。

在民用客機、小展弦比飛行器等具有大升阻比特性的飛行器風洞模型測力試驗中，天平受到的法向力與軸向力之比大于10，有些甚至達到了30。隨著天平法向力與軸向力之比增大，各分量的相互干擾增大，尤其是法向力對軸向力的非線性干擾顯著增大，導致天平軸向力測量精度降低。

針對法向力對軸向力的干擾問題，國內外的天平設計人員開展了軸向力元件的優化設計工作。Ringel 等[3]指出增大軸向力元件剛度是減小分量干擾的有效途徑，并設計了一種軸向力元件優化結構，在靈敏度不變的前提下，大幅降低了軸向力所受的干擾。Zhang 等[4]分析了法向力作用下的天平結構變形情況，提出了電橋輸出的修正方法，減小了法向力對軸向力的干擾。陸文祥等[5]提出了天平的大剛度設計原則，基于“V”型槽截面系數最優的目標，設計了一桿升阻比為30 的六分量天平，各分量校準度均優于0.28%；史玉杰等[6-7]設計了一種新型的橫“Π”梁軸向力結構，有效降低了天平各分量對軸向力的干擾；熊琳等[8]分析了豎直梁軸向力元件在理想邊界和真實邊界條件下法向力的傳力特點，通過調整支撐梁數量和厚度的方式，可在一定程度上降低法向力對軸向力的干擾。閆萬方等[9]提出了一種豎直梁軸向力元件帶鉸鏈的測量梁結構，通過削弱測量梁縱向剛度來減小法向力對軸向力的干擾，優化后法向力對軸向力的干擾應變僅為優化前的3%。

以上研究通過改進軸向力元件結構，減小了法向力對軸向力元件的干擾影響，但都未從軸向力元件受法向力干擾的根本原因入手尋找結構優化方案，以致結構優化的效果有限。

天平軸向力元件尺寸受模型尺寸等多方面因素限制，剛度較低，在大法向力作用下，軸向力元件測量梁會產生彎曲變形，對軸向力輸出造成了干擾。因此，減小法向力作用下測量梁的彎曲變形，是減小法向力對軸向力干擾的關鍵。

本文從軸向力元件受力情況出發，分析軸向力元件的主梁和測量梁在軸向力/法向力作用下的變形特點，提出一種測量梁元件的改進結構（測量梁與主梁連接呈一定夾角，該夾角不等于90°）。理論上，該結構能有效抵消法向力作用下主梁變形導致的測量梁彎曲變形。對比不同夾角軸向力元件的有限元仿真結果，建立法向力對軸向力干擾輸出與軸向力有效輸出之比和該夾角的函數關系，獲得法向力對軸向力干擾為0 時的最優夾角，并對該最優夾角進行仿真驗證。

1 軸向力元件結構受力分析

1.1 軸向力元件結構

圖1 為一種典型的桿式天平軸向力元件結構，由2 個主梁、2 個測量梁和12 個支撐梁組成。軸向力元件主體被通槽分開，測量梁、支撐梁與2 個主梁垂直相連。主梁1 前端為傳力端，向天平后端傳遞力/力矩載荷；主梁2 后端為支撐端，支撐整個軸向力元件結構。測量梁和支撐梁對稱布置于xOy 平面兩側。主梁、測量梁和支撐梁組成類似于平行四邊形的框架結構。在軸向力等載荷作用下，軸向力元件的變形主要發生于測量梁和支撐梁處，通過測量梁的變形量獲得軸向力元件所受的載荷。

圖1 軸向力元件結構示意圖Fig. 1 Schematic of an axial force element

為得到軸向力元件在力/力矩載荷作用下的變形量，通常將安裝于測量梁上的應變計組成惠斯通電橋（以下簡稱“電橋”），建立測量梁變形量與電橋輸出變化量的對應關系。根據電橋的特點，在2 個測量梁的對稱位置上安裝8 個電阻應變計，單個測量梁上的4 個應變計組成一個電橋，軸向力元件共2 個電橋。應變計位置和電橋如圖2 所示。

圖2 軸向力元件的應變計位置與惠斯通電橋Fig. 2 Position of strain gages on measuring sheets and the bridges

根據惠斯通電橋的橋路公式以及應變計的電阻值與應變的關系，2 個電橋的無量綱輸出以及天平軸向力的無量綱輸出可分別表示為式（1）～（3）：

式中：U0為電橋輸入電壓；εi（i=1，2，…，8）為圖2 測量梁上1～8 位置的應變量；K 為電阻應變計的應變因子，一般取2。

表1 和2 給出了六分量載荷分別作用下天平軸向力元件測量梁上1～8 位置的應變和電橋輸出的仿真情況。從表中數據可以看出，天平各分量載荷對軸向力元件測量梁的影響各不相同：除側向力C 和俯仰力矩M 外，在軸向力A、法向力N、偏航力矩Nb和滾轉力矩L 作用下，測量梁上應變計位置的應變絕對值都大于6.8×10?7，電橋輸出的絕對值也都大于0.277×10?3。偏航力矩和滾轉力矩對2 個測量梁的影響相反，表現為2 個測量梁電橋輸出的大小相近、方向相反；當2 個電橋輸出組合后，對軸向力輸出的干擾（絕對值）明顯減小，分別從0.277×10?3減小為0.001×10?3，從0.699×10?3減小為0.003×10?3。軸向力和法向力對2 個測量梁的影響基本一致；當2 個電橋輸出組合后，軸向力輸出均會翻倍。在本例中，法向力對軸向力的干擾占軸向力有效輸出的82%，而側向力和3 個力矩對軸向力的干擾小于軸向力有效輸出的0.5%。針對該豎直梁軸向力元件，在2 個測量梁上均安裝應變計并組橋是有效的，可大幅度減小側向力、俯仰力矩、偏航力矩和滾轉力矩對軸向力的輸出干擾。

表1 六分量載荷作用下軸向力元件測量梁應變Table 1 Strain of axial force measuring element under six loads

表2 六分量載荷作用下軸向力元件輸出Table 2 Bridge outputs of axial force measuring element under six loads

綜上所述，天平分量對軸向力的干擾主要表現為法向力對軸向力元件的較大干擾。因此，如何減小該干擾是天平結構設計中必須關注和亟待解決的問題。

1.2 軸向力/法向力作用下的測量元件變形

為解決法向力對軸向力的干擾問題，首先需分析軸向力元件在軸向力/法向力作用下的變形。理論分析時，一般假設主梁為剛體，測量梁為一端固定、另一端僅有移動沒有轉動的超靜定梁。基于上述假設，可得到測量梁的彎曲應變εn與軸向力分量A1，以及拉壓應變εt與法向力分量N1的關系式：

式中：E 為天平材料的楊氏模量；l、b 和d 分別為測量梁y 向、z 向和x 向的長度；y 為應變處與測量梁固定端的距離。

在軸向力作用下，測量梁和支撐梁產生“S”形彎曲變形；在法向力作用下，測量梁和支撐梁產生純拉伸/壓縮變形。測量梁產生拉伸或壓縮變形時，應變計1～4 處y 向應變大小相等、方向相同，電橋輸出變化量為0。測量梁產生彎曲變形時，應變計1～4 處的y 向應變大小相等，應變計1 和3 處的應變方向相反，應變計2 和4 處的應變方向相反，則電橋輸出變化量不為0。也就是說，只要測量梁發生彎曲變形，就會有軸向力輸出；而理論上法向力對軸向力無干擾。

受天平軸向力元件尺寸的限制，主梁的剛度有限，在進行實際受力分析時需考慮主梁的變形。為說明軸向力元件測量梁的實際變形情況，對圖1 所示的天平軸向力元件進行了有限元仿真[10-11]。

圖3 為軸向力元件分別在200 N 軸向力和2000 N 法向力作用下的變形（放大100 倍）。在軸向力作用下，測量梁和支撐梁變形最明顯，均表現為相似的“S”形彎曲變形，主梁無明顯變形。在法向力作用下，測量梁和支撐梁變形仍然很明顯，表現出的“S”形彎曲變形存在差異，此時2 個主梁表現出類似于懸臂梁的變形，且變形較為明顯，導致測量梁和支撐梁的固定端和自由端發生較大的x 向和y 向位移。

圖3 軸向力/法向力作用下軸向力元件的變形（放大100 倍）Fig. 3 Deformation of axial force element with 100 times magnification under axial force or normal force

為進一步說明軸向力元件的變形情況，仿真給出了軸向力元件測量梁在軸向力/法向力作用下的x 向和y 向位移。圖4（a）為測量梁中軸線分別在軸向力和法向力作用下的x 向位移圖。軸向力作用下的測量梁理論變形是一條典型的“S”形曲線，且測量梁固定端的x 向位移為0，仿真變形也是一條“S”形曲線，但測量梁固定端產生了x 向位移（3.12×10–4mm），說明主梁2 在x 向產生了壓縮變形。在法向力的作用下，測量梁理論上不會產生x 向位移，從仿真結果可以看出，測量梁的固定端產生了x 正向位移（3.73×10–3mm），而自由端產生了x 負向位移（–1.94×10–2mm），整體上同樣是一條“S”形曲線，說明主梁1 和2 產生x 向相對位移。

圖4 軸向力/法向力作用下的測量梁x 向和y 向位移仿真結果Fig. 4 Simulation results of x- and y-displacement under axial force or normal force

圖4（b）為軸向力/法向力作用下的測量梁中軸線y 向位移圖。在軸向力作用下，測量梁的理論y 向位移為0。從仿真結果看，測量梁在靠近固定端和自由端的y 向位移為負，即為壓縮變形；測量梁中間區域的y 向位移為正，即為拉伸變形。測量梁固定端的y 向位移為–3.39×10–4mm，自由端的y 向位移為–4.00×10–4mm，測量梁整體表現為拉伸，其伸長量為6.04×10–5mm。

在法向力作用下，測量梁的理論y 向位移沿y 向線性增大，固定端y 向位移為0，自由端y 向位移為1.34×10–3mm。從仿真結果看，測量梁各部分都有較大的y 向位移，固定端y 向位移為6.24×10–2mm，自由端y 向位移為6.59×10–2mm，整體表現為壓縮，壓縮量為3.41×10–3mm，同時也說明主梁2 在法向力作用下產生y 向位移。

從測量梁變形仿真結果可知：在軸向力/法向力作用下，主梁會發生拉伸、壓縮或彎曲變形，法向力作用下主梁變形更明顯；理論結果與仿真結果之間存在較大差異，說明理論分析的主梁為剛體的假設在實際中并不成立；法向力作用下，2 個主梁發生x 向相對位移，測量梁發生“S”形變形，該變形是法向力對軸向力輸出干擾的來源；軸向力元件受力變形后，測量梁中軸線與主梁不再垂直。

根據仿真得到的變形結果，對測量梁進行受力分析，如圖5 所示。變形后，測量梁中軸線與主梁不再垂直，測量梁自由端所受的軸向力和法向力都可分解為沿測量梁中軸線方向的分力Fn和垂直于測量梁中軸線方向的分力Ft。Fn使測量梁發生拉伸或壓縮變形，Ft使測量梁發生彎曲變形。因此，為減小法向力作用下測量梁的彎曲變形，必須減小法向力的分力F2t。

圖5 軸向力/法向力作用下的測量梁受力分析Fig. 5 Force analysis of measuring sheet under axial force or normal force

一般而言，可從兩方面開展軸向力元件結構設計：一是增大主梁剛度，減小2 個主梁在法向力作用下的x 向相對位移，但天平軸向力元件尺寸受模型等諸多因素限制，剛度提高有限；二是對測量梁進行結構優化[12-13]，如減小法向力分力F2t。

本文提出了一種優化的測量梁結構。如圖6 所示，測量梁中軸線與主梁在變形前就設置特定夾角α（不等于90°）。

圖6 軸向力/法向力作用下測量梁改進結構的受力分析Fig. 6 Force analysis of modified measuring sheet under axial force or normal force

2 帶夾角軸向力元件仿真分析

理論變形與實際變形差異較大，較難通過理論推導獲得最優夾角，因此采用有限元仿真進行分析。

為驗證改進的測量梁結構在減小法向力對軸向力干擾方面的效果并獲得最優夾角，基于圖1 所示的軸向力元件，選取5 種不同夾角進行仿真對比分析。軸向力元件直徑20 mm、長70 mm，測量梁與主梁的夾角分別為85.0°、87.5°、90.0°、92.5°和95.0°。

表3 給出了軸向力元件結構尺寸和仿真網格參數，其中應變計仿真區域為3 mm×3 mm，距測量梁根部0.5 mm，距兩側1.0 mm，如圖7 所示。

圖7 網格模型與應變計仿真區域Fig. 7 Mesh model and strain gage areas of the axial force element

表3 測量梁與支撐梁的結構尺寸與網格尺寸Table 3 Structure and simulation grid size of measuring sheets and supporting sheets

仿真模擬了軸向力、法向力、俯仰力矩等6 個分量載荷作用下的軸向力元件應變分布，得到了測量梁上應變計組橋后電橋電壓變化量（表4）。圖8 為軸向力/法向力作用下的軸向力無量綱輸出（ΔUA、ΔUN）以及兩者之比（ΔUN/ΔUA）隨夾角α變化的曲線。從表4 和圖8 可知：在不同夾角下，側向力、俯仰力矩、偏航力矩和滾轉力矩對軸向力的干擾輸出均小于0.006，說明采用改進的測量梁時，這4 個載荷對軸向力輸出的影響可以忽略；當α=90.0°時，ΔUA最大，α=95.0°時，ΔUA減小約8.80%，α=85.0°時，ΔUA減小約5.40%；ΔUN和ΔUN/ΔUA都隨α線性增大，線性度分別優于0.99702 和0.99992。對ΔUN～α和（ΔUN/ΔUA）～α進行線性函數擬合，可得到ΔUN=0和ΔUN/ΔUA=0 時對應的夾角分別為85.7°和85.8°，即為最優夾角。

圖8 軸向力/法向力作用下測量梁的輸出隨夾角變化的曲線Fig. 8 Axial force output with different deflection angle under axial force or normal force

表4 不同夾角的軸向力元件在6 個分量載荷作用下的輸出Table 4 Axial force output with different deflection angle under six loads

從仿真結果看，法向力對軸向力的干擾輸出與測量梁和主梁的夾角線性相關；當夾角合適時，法向力對軸向力輸出的干擾明顯減小，且存在最優夾角使法向力對軸向力輸出的干擾為0。

為驗證采用上述線性擬合得到的最優夾角的效果，重新對圖1 所示的軸向力元件進行建模和仿真，獲得了帶最優夾角（85.7°和85.8°）的軸向力元件在軸向力/法向力作用下的輸出情況，見表5。

表5 優化夾角的軸向力元件在軸向力/法向力作用下的輸出Table 5 Axial force output with optimal deflection angle under axial force or normal force

從表5 可知，采用優化夾角設計的軸向力元件，法向力對軸向力輸出的干擾顯著減小，ΔUN/ΔUA從α=90.0°時的0.818 減小至–0.019 和–0.005，絕對值分別減小了97.68%和99.39%；兩種線性擬合方式得到的最優夾角均較為準確。相比之下，采用（ΔUN/ΔUA）～α關系進行線性擬合，線性度和擬合效果均優于ΔUN～α擬合，因此，在求解最優夾角時，應采用（ΔUN/ΔUA）～α關系擬合。

綜上所述，測量梁與主梁帶夾角的結構能明顯減小法向力對軸向力的干擾，對ΔUN/ΔUA與夾角α進行線性函數擬合，可得到測量梁與主梁的最優夾角。在本文例子中，測量梁與主梁夾角從90.0°變為85.8°時，軸向力輸出減小2.77%，但法向力對軸向力的干擾輸出減小99.32%，而此時法向力對軸向力的干擾與軸向力輸出之比僅為0.5%。

3 結 論

基于對軸向力元件結構的仿真分析，提出了一種測量梁與主梁帶夾角的結構，通過線性擬合獲得了最優夾角，有限元仿真結果驗證了帶夾角結構的效果和線性擬合的準確性，得到以下結論：

1）天平軸向力元件的主梁不是理想剛體，在法向力作用下將發生彎曲變形，2 個主梁產生x 向的相對位移。仿真結果表明：測量梁在法向力作用下同時產生拉伸/壓縮變形和彎曲變形，而該彎曲變形即為法向力對軸向力輸出的干擾。

2）測量梁與主梁的夾角合適時，測量梁自由端所受的法向力在垂直于測量梁方向的分力可以抵消因主梁變形而產生的使測量梁彎曲變形的分力，從而減小法向力對軸向力的干擾。

3）法向力對軸向力的干擾輸出和軸向力輸出之比ΔUN/ΔUA與測量梁和主梁的夾角的線性關系良好，基于該線性關系獲得ΔUN/ΔUA為0 時的最優夾角；與常規垂直設計的測量梁相比，采用最優夾角設計的測量梁，法向力對軸向力的干擾與軸向力輸出之比僅為0.5%。