巧解方程組 拓展數學思維

盧宗凱

一、利用轉化思想解方程組

解二元一次方程組的本質思想是轉化——消元（包括代入消元法和加減消元法）. 而在實際解題過程中還有一些解題技巧可以學習與思考.

1. 化分數系數為整數系數后求解

例1 解二元一次方程組：[x60+y30=6.5，①x50+y40=6.? ? ②]

解析：原方程組可化為[x+2y=390，4x+5y=1200，]

再利用加減消元法或代入消元法解得[x=150，y=120.]

2. 巧設待定系數

例2 解二元一次方程組：[x3=y2，? ? ? ? ? ?①x+3y=27.②]

解析：設[x3=y2=k，]則x = 3k，y = 2k，代入[②得]3k + 3 × 2k = 27，則k = 3.

因此，[x=9，y=6.]

二、繞過未知數，直接求參數

若二元一次方程組中未知數的系數或常數項是字母，可根據題目特點進行巧妙的轉化.

例3 如果二元一次方程組[3x+y=m，x+3y=3m-4]的解中x與y的和等于5，則m =.

解析：不用求x與y的值，而是將兩個方程相加得4x + 4y = 4m - 4，

即x + y = m - 1.

由x + y = 5得m - 1 = 5，則m = 6. 故填6.

例4 若方程組[4x+3y=1，ax+（a-1）y=3] 的解x與y相等，則a的值是多少？

解析：第1個方程的兩邊同時乘3，得12x + 9y = 3.

由第2個方程的右邊是3，可得12x + 9y = ax +（a - 1）y，

則（12 - a）x = （a - 10）y.

由x = y，得12 - a = a - 10，解得a = 11.

三、利用參數，重新構建二元一次方程組

對于某些帶參數的二元一次方程組，在求解的過程中可以使用參數進行等量代換，重組方程組后求解.

例5 已知方程組[3x+5y=a+2，2x+3y=a]的解中x與y的和等于8，求a的值.

解析：此題的常規解法是利用加減消元法把x和y的值用a表示，再去解一個關于a的方程，但此題可以另辟蹊徑.

把第2個方程代入第1個方程中，可得3x + 5y = 2x + 3y + 2.

重新構造方程組為[x+2y=2，x+y=8，]解得[x=14，y=-6.]

將[x=14，y=-6]代入2x + 3y = a中，可得a = 10.

四、列二元一次方程組巧解應用題

對于某些實際問題，如“雞兔同籠”類應用題，列二元一次方程組求解更容易.

例6 一根繩子環繞一棵大樹，若環繞大樹3周，繩子多4尺（一種長度單位，中國叫“市尺”. 3尺 = 1米）；若環繞大樹4周，則繩子又少3尺. 求這根繩子多長？環繞大樹一周需要多少尺？

解析：設繩子為x尺，環繞大樹一周需要y尺，

由題意得[3y+4=x，4y-3=x，]解得[x=25，y=7.]

則繩子為25尺，環繞大樹一周需要7尺.

（作者單位：遼寧省實驗學校）