非奇異快速終端滑模的分數階迭代學習控制策略研究

付建斌，康愷

（1.國家能源集團甘肅電力有限公司，蘭州 730070；2.成都地鐵運營有限公司，成都 610066）

0 引言

隨著工業的發展，機械臂被廣泛應用于反恐防爆、工業裝配等領域，它有著十分典型的多輸入多輸出的復雜系統，它有著非線性、時變不確定等特點[1～2]。近年來，許多學者在機械臂軌跡跟蹤的問題中使用了各種各樣的算法，如：滑模算法、自適應算法、迭代學習控制算法等等。其中，迭代學習算法不依賴數學模型，且能夠實現在有限時間內的完全跟蹤[3]。但在實際情況中，系統總是存在各種不確定性的干擾[4]，而迭代學習控制的魯棒性差，在一定程度上影響了控制系統的穩定性。而滑模控制策略最顯著的優點在于其魯棒性好，所以能夠在建模不確定性和干擾存在的情況下更好的保持控制系統的穩定性[5]。與整數階微積分相比，分數階微分和積分過程更具魯棒性[6]。隨著計算機技術的發展，由于分數階控制系統由于其具有記憶性和遺傳性，控制效果更具柔性，開始應用于冶金、化工、機械等工業過程[7]。目前，在工程控制領域之中，應用比較多的分數階微積分定義形式分別有以下三種：Grunwald-Letnikov(GL)定義、Riemann-Liouville(RL)定義以及Caputo定義形式。其中，由于Caputo型分數階微積分較其他兩種來說，其形式簡單，方便了許多學者的研究過程，所以得到了廣泛的應用。

近年來，分數階微積分、迭代學習控制以及滑模控制已經被廣泛應用于航天、電機、機械臂等控制領域之中[8～11]。文獻[12]設計了一種PDα型分數階迭代學習算法，但并沒有討論α的取值問題。文獻文獻[13]為提高感應電機控制性能，根據積分滑模控制和微積分理論，提出動態分數階滑模控制，但是忽略了滑模控制的奇異性問題。文獻[14]將滑模控制算法與迭代學習控制算法相結合來提高系統的魯棒性，但是忽略了滑模控制所帶來的抖振現象。文獻[15]針對一類不確定系統的跟蹤控制的問題，提出了一種將RBF神經網絡與干擾觀測器相結合的非奇異快速終端滑模控制方法，但是滑模本質上控制具有不連續性，在實際工程運用過程中，抖振問題可能會導致系統高頻振蕩，導致控制系統的不穩定。文獻[16]將滑模控制算法與神經網絡控制算法相結合提出神經網絡滑模控制，盡管在一定程度上削弱了抖振現象，但沒有實現機械臂關節的完全跟蹤，且神經網絡控制器設計過程復雜。

基于以上文獻的分析，為了實現對機械臂關節的快速穩定跟蹤，本文提出了一種基于非奇異快速終端滑模的分數階迭代學習控制策略，采用變指數冪次滑模趨近律，能夠自行調整趨近律的冪次項，提高了控制系統的精度。削弱了了傳統滑模控制的抖振問題，加快了系統收斂到穩定點的速度，增強了傳統迭代學習控制的抗干擾能力，實現了機械臂關節的完全跟蹤。圖1為控制系統的結構框圖。

圖1 控制結構框圖

1 基礎理論

n關節機械臂的動力學模型如下：

式(2)中，Γ(·)為Gamma函數。

取PDα型分數階迭代學習控制律為：

式(3)中，L與Γ分別為比例增益矩陣與微分增益矩陣。

2 非奇異快速終端滑模控制器設計

2.1 滑模趨近律的設計與分析

根據滑模控制的原理，滑模可達性條件只保證狀態空間中任意位置的運動點在有限時間內到達滑模面，但沒有對到達滑模面具體的軌跡進行約束，趨近律可以提高到達滑模面的動態質量。傳統的冪次趨近律為：=?k1signa(s)，k1>0，在遠離滑模面s<<0或s<<0時存在趨近速度過小的問題。針對這一問題，本文提出的趨近律如式(4)所示：

其中，0

相較于傳統的冪次趨近律，式4的趨近律的冪次項是可變的，所以通過滑模面s的取值，自適應地改變趨近律中的指數項參數，從而在不同的階段分別得到較快的收斂速率。當系統狀態遠離滑模面時，趨近律第一項-k1s保證系統狀態快速到達滑模面。當系統狀態靠近滑模面時，趨近律第二項-k2丨s丨bsign(s)保證系統穩定到達滑模面，減小了控制系統的抖振現象。

2.2 非奇異終端滑模面的設計

本文設計的滑模面為：

其中，r、a1、a2為正常數，q、p為正奇數，所以e，·e沒有負指數項，保證滑模面沒有奇異性問題。

令式(5)等于零可得：

對式(6)兩側進行積分，可得：

所以機械臂系統從滑模面到系統平衡點所需時間是一定的。

2.3 控制律設計與穩定性分析

結合式(1)、式(4)及式(8)可得控制律為：

穩定性分析：

選取如下式所示的李雅普諾夫函數：

對上式求導可得：

將式(1)、式(9)代入式(11)可得：

由李雅普諾夫定理可知，因為V＞≤0，所以本文設計的控制器是漸近穩定的。

則整個控制器的控制律為：

3 仿真實驗分析

3.1 仿真參數設定

為了驗證本文所提控制方法的有效性，通過MATLAB軟件對系統進行仿真實驗，分數階模塊建模采用FOMCON[17]。仿真對象選用二關節機械臂，模型中各矩陣的表達式為：

其中，v=14，q01=8.98，q02=8.75，g=9.8。

系統初始狀態為：[q1q2q3q4]=[0310]，取L=[1000;0100]，Γ=[2000;0200]。k1=k2=4，b=0.5，a1=a2=0.2，r=2，q=5，p=3，迭代次數為10次。期望軌跡為q1d=sin(3t)和q2d=cos(3t)。

利用以下三種控制方法進行比較分析：

方法一：傳統PD型迭代學習控制策略；

方法二：傳統終端滑模控制策略；

方法三：本文所設計方法。

3.2 仿真結果

從本文所設計的PDα型迭代學習控制律可以看出，α的取值會影響系統的控制精度和控制效果。因此，α值的選取非常重要。下面以基于PDα型分數階迭代學習控制為例，從位置誤差范數的收斂情況來討論α的取值。圖2為在不同α值下位置誤差范數的最大絕對值的收斂過程。從圖2可以看出，當α的值大于0.1時，機械臂關節的誤差范數會逐漸增大，特別是當值達到0.5時，誤差范數急劇增加。又因為當α的值小于0.1時仿真運行時間大大增加，不利于實際情況。所以，當α的值為0.1左右時，機械臂兩個關節的位置誤差范數的值是最小的。因此，設置分數階α的值為0.1。

圖2 不同α值下位置誤差范數的收斂過程

首先為驗證所設計控制策略的性能指標，設定期望軌跡為階躍信號，圖3為三種控制策略下的單位階躍響應曲線，表1為性能指標。由圖3及表1可知，所設計控制策略滿足穩態和動態性能指標。

圖3 階躍響應曲線

表1 性能指標數值

當輸入正弦信號時，為驗證控制器的魯棒性，在仿真的第3s，引入一個峰值為1000，時間域度為0.1的高斯干擾，利用本文所設計控制策略通過與傳統迭代學習控制進行仿真對比，圖4為引入干擾后機械臂關節的位置跟蹤曲線，通過比較分析得出：在引入分數階微積分以及滑模控制策略后，迭代學習控制本身固有的抗干擾能力差的現象有所減弱，控制系統的抗干擾能力明顯加強。

圖4 干擾下位置跟蹤誤差曲線

圖5為在方法一與方法三下兩個關節位置誤差范數收斂過程曲線，表2是隨迭代次數增加而變化的位置誤差范數最大絕對值的變化情況。對比可得如下結論：

表2 隨迭代次數增加而變化的速度跟蹤誤差最大絕對值數值 (rad)

圖5 位置誤差范數收斂過程曲線

1）方法一下的位置誤差范數最大值為0.9419rad、0.1497rad，最小值為0.0914rad、0.0135rad；

2）本文所設計方法下為最大值為0.1085rad、0.0271rad，最小值為0.0183rad、0.0092rad；

所以，在本文所設計控制策略下機械臂關節的位置誤差范數值更小，收斂速度更快。

為驗證所設計控制器的的削弱抖振能力，通過與傳統的終端滑模控制策略進行比較分析。圖6為兩種控制策略下的控制力矩曲線，由圖6可知，在本文所設計的控制策略下，控制系統的抖振更小，即削弱抖振的能力更強。

圖6 控制輸入比較曲線

圖7為三種控制方法下的位置軌跡跟蹤過程，其中，方法一與方法三下為10次迭代后的跟蹤曲線。通過對比分析，可以得出：本文所設計的控制器可使機械臂各關節的跟蹤速度顯著加快，與期望軌跡更加貼近，跟蹤性也能更好。

圖7 位置軌跡跟蹤結果比較

4 結語

為提高機械臂控制精度，本文分別提出基于分數階微積分理論、迭代學習控制以及滑模控制提出基于非奇異快速終端滑模的分數階迭代學習控制策略，得到如下結論：

1）本文設計的控制策略與傳統PD型迭代學習控制策略相比，機械臂關節的的抗干擾能力更好，即魯棒性更強。同時，機械臂兩個關節位置誤差范數最大值減小了0.8334rad、0.1226rad，位置誤差范數最小值減小了0.0731rad、0.0043rad，所以在本文所提方法下機械臂兩個關節的跟蹤效果更好，兩個關節的跟蹤誤差更小。

2）與傳統終端滑模控制策略相比，本文所設計的控制策略對抖振的削弱能力更好，收斂速度更快，即控制器更加的穩定。而在三種不同控制策略下，本文所設計的控制器使機械臂關節的位置跟蹤效果更好，控制精度更好。