基于Hopfield神經網絡的磁浮列車懸浮系統本征非線性特性辨識*

宋一鋒 倪 菲 林國斌 陳 琛 劉永紅 陶清寶

(1.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室, 201804, 上海； 2.同濟大學磁浮交通工程技術研究中心,201804, 上海； 3.茂盟工程技術股份有限公司, 203201, 上?！蔚谝蛔髡撸?碩士研究生)

如何保證磁浮列車在運行狀態下的穩定性，是控制領域以及動力學領域研究的熱點問題之一。一些學者對此展開了深入研究，在模型修正、動力學響應和控制算法等方面均取得了許多成果。

在模型修正方面，目前最為普遍的做法是將系統非線性項在平衡點處進行泰勒展開，在此基礎上設計線性控制算法，但線性化處理使得模型丟失非線性項特性。此種情況下設計的控制算法，只能保證系統懸浮間隙在誤差很小時快速收斂，當懸浮誤差較大時，系統就極有可能發生失穩現象[1-3]。然而，實際物理系統均不可能是線性系統，因此相關學者通過非線性模型以及系統辨識來進一步靠近真實模型，以求能貼近真實情況，從而提高控制性能。文獻[4]指出在線性化處理非線性模型時，會在一定程度上忽略某些非線性特征，從而產生系統偏差。文獻[5]在研究PID(比例-積分-微分)控制時，提出神經網絡結構可以用于優化多變量系統結構，進而進行非線性系統辨識，并通過實驗驗證了這一觀點。文獻[6]分析了均值定理對局部動態線性化的作用，并結合回歸學習控制理論對非線性系統進行了建模和辨識。

由于磁浮列車在運行過程中，懸浮間隙僅為毫米級別，因此在非線性負載以及軌道微量變形的激勵下，極易導致列車的失穩現象。在控制算法和動力學響應方面，文獻[7]提出了一種磁浮列車懸浮系統的模糊系統和參數辨識算法，通過該算法辨識隸屬函數的參數，便于快速響應系統變化。文獻[8]建立了基于柔性軌道的車-軌耦合模型，將軌道視為簡支梁，設計了基于RBF(徑向基函數)網絡逼近原理的滑模自適應控制器，用以提高系統控制性能。文獻[9]引入粘彈性模型來描述動態力，基于高溫超導磁懸浮系統的振動響應，采用最小二乘法辨識模型中的參數，用以更好地反映高溫超導磁懸浮系統的動態特性。文獻[10]分析了磁浮列車運行過程中的車輛隨機振動的激勵源，采用偽激勵法對激勵計算量進行了有效簡化。

本文建立了基于柔性軌道的磁浮車-軌耦合系統模型，并分析Hopfield神經網絡結構的相關性理論。由于車-軌耦合動力學模型在輸入、輸出的映射關系上表現為本征非線性，且在時域上可以假設為均勻采樣，因此通過對所采集信號進行誤差函數設計以及網絡信號分析，可獲取估計結果。為了提高模型精度并降低復雜度，采用參數辨識誤差函數和Hopfield神經網絡的標準能量函數進行系統辨識，給出辨識表達式以及含參非線性項的相應辨識結果。由于辨識得到的模型相對非線性模型更為簡單，且能夠最大程度地保留系統的非線性特征，因此對于磁浮列車懸浮系統的懸浮穩定性分析具有重要意義。

1 基于柔性軌道的車-軌耦合模型構造

1.1 軌道結構豎向運動模型

為進行相應的模型辨識，建立基于柔性軌道的單點懸浮控制模型，如圖1所示。其中，xc為當前懸浮間隙，xm為電磁鐵豎向位移，xg為軌道豎向位移，m為恒定負載質量，FL為電磁鐵產生的懸浮力，i為懸浮電流，N為電磁鐵線圈匝數，A為電磁鐵磁極面積，μ0為真空磁導率，R為電磁鐵繞組電阻，O定義為笛卡爾坐標系原點。

由圖1可知，由于磁浮列車運行軌道的支撐方式采用高架梁，可將其簡化為簡支梁進行分析，因此，梁上任意一點的豎向位移xg都滿足歐拉梁的相關動力學方程[11-12]：

kgxg=p(y,t)

(1)

式中：

E——軌道梁的彈性模量；

I——梁的截面慣量；

T——梁變形時產生的張力；

ρ——梁的質量線密度；

kg——軌道梁產生彈性變形時的彈性常數；

p(y,t)——車輛通過時在軌道梁上的質量分布密度；

t——時間;

y——電磁鐵質心在OY方向上的位移。

設軌道梁跨度為l，則梁的質量M為：

M=ρl

(2)

由于磁浮列車豎向振動的最大振幅所對應的頻率主要分布在固定范圍內，且軌道結構相對固定，這種情況可以看作軌道的一階振動頻率[13]。

因此，可得到1階模態下柔性軌道豎向位移的數學模型[14]為：

(3)

式中：

q1(t)——軌道梁一階模態對應的廣義坐標；

η1——1階模態的阻尼比。

1.2 懸浮電磁鐵豎向運動模型

在柔性軌道的作用下，懸浮間隙由電磁鐵豎向位移和軌道豎向位移共同決定。因此懸浮間隙xc滿足如下關系：

xc=xm-xg

(4)

電磁鐵產生的懸浮力可以表示為：

(5)

根據牛頓第二定律以及圖1所示的力的作用原理，可以得到：

(6)

在平衡點(i0,x0)處，電磁力和重力正好等價反向，合力為0，有：

(7)

根據電學方程的相關推導[10]，可以得到相應電壓u方程：

(8)

1.3 車-軌耦合系統豎向運動模型

結合上述軌道結構豎向運動模型以及電磁鐵豎向運動模型，可得到基于柔性軌道的一階振型的車-軌耦合模型：

(9)

式中：

(2/M)sin2((πy0)/l)——量綱一化振型函數在該位置幅值的平方。

(10)

2 辨識模型方案設計

2.1 Hopfield網絡在柔性軌道的磁浮車-軌耦合系統的應用原理

Hopfield神經網絡模型本質上是一種反饋型神經網絡。它由一系列互聯的神經單元構成，以電學思路分析其結構，可通過圖2進行相應描述。

圖2中，ui為第i個神經元的狀態輸入，Hi為第i個神經元輸入，vi為第i個神經元輸出，wij為第i個神經元到第j個神經元的連接權值。此外，vi和ui之間存在非線性關系。

選取雙曲函數g(x)描述vi和ui之間的非線性函數關系，即：

(11)

vi=g(ui)

(12)

式中：

φ、λ——神經元函數影響因子，取值均大于0。

對于基于柔性軌道的車-軌耦合系統而言，需要在狀態空間內討論Hopfield神經網絡的動態特性，因此根據式(10)定義如下變量：

根據上述變量以及Hopfield神經網絡的動態特性定義能量函數來描述其動態穩定性：

(13)

式中：

Ri——神經網絡輸入端電路電阻值；

bj——神經網絡偏置，通常為常數。

定義W為權值矩陣，當其為對稱矩陣時，對能量函數求導滿足如下關系：

(14)

根據式(14)可以得到：

(15)

其中，Δ為極小正數，式(14)可描述為：

(16)

其中，vi=g(ui)，即可得到：

(17)

由于Ci為大于0的常數，且雙曲函數單調遞增，g-1(vi)>0恒成立，此時可以判斷EN具有負梯度，此外，當且僅當dvi/dt=0時，存在dEN/dt=0。因此可以判斷隨著t的增加，Hopfield網絡在空間中的解向著負梯度方向運動，最終輸出的V為平衡點，此時EN達到最小值。

2.2 誤差函數設計

(18)

式(18)中：z和u線性無關，同時由于zp為z的辨識輸出，因此zp和u同樣滿足線性無關。

(19)

將式(18)代入式(19)可以得到：

(Az-Fzp+(B-G)u)

(20)

為了重點分析z和zp之間的擬合關系，而G→B，并且z和zp輸出為10-3級及更小，對其矩陣進行裝置相乘后可視為0。

uT(B-G)TFzp)

(21)

2.3 Hopfield網絡設計

Hopfield網絡能量函數趨于極小的過程，就是估計矩陣G和F收斂于實際矩陣A和B的過程。

第i個神經元的動態微分方程為：

(22)

其中，g(ui)可以采用式(11)進行相關描述。

Hopfield網絡的標準能量函數為：

(23)

式(23)中，Ri→∞，因此可以簡化為：

(24)

對比式(21)和式(24)，并且將式(10)代入進行計算可以得到相應的網絡權值矩陣W。將其代入式(22)即可得到穩定的ui，通過式(11)可以得到最終辨識結果輸出為：

V=g(u)

(25)

3 數值仿真分析

對式(10)所示系統進行辨識，該系統狀態方程如式(10)所示。

根據式(10)定義系數矩陣：

(26)

系數矩陣中各個元素如表1所示。

表1 系數矩陣中元素與變量對應關系

為了貼合實際磁浮車輛，本文采用低速磁浮車輛系統的真實參數進行數值仿真。柔性軌道情況下的車-軌耦合物理參數見表2。

表2 柔性軌道情況下的車-軌耦合物理參數

對式(26)中各個元素在平衡點處進行局部線性化，并代入數據可以得到：

A=

(27)

而系數矩陣中存在非線性項，且由z1,z3,z5狀態變量構成，三者均為時變函數，因此A和B均可以看作時變系數矩陣。此時為便于分析，假定給予輸入信號為正弦信號，并且設辨識結果V為：

V=[a11a12…a54a55b11…b15]

(28)

對比式(21)和式(24)，可以得到式(10)所示系統適用的網絡權值。取雙曲函數相關參數ρ=800，λ=5，表1中各個參數的辨識結果及辨識誤差如圖3—圖8所示。其中：部分圖中的分圖展示了辨識結果達到穩態后的波動細節，水平線代表非線性項計算結果，波動曲線代表基于Hopfield神經網絡的參數辨識結果，辨識誤差指二者的偏差。

由圖3—圖8可看到，由于含參非線性項的存在，無法完全擬合線性化后的狀態方程，此時可將辨識誤差表征為非線性項在各個參數中的影響。如圖3所示，辨識所得到的系統參數在5 s左右趨于平穩，此時辨識結果在[1.26,1.29]內波動，并且處于逐步減小的趨勢。而參數最小的非線性項a45始終處于相對穩定的狀態，非線性項僅僅會在某幾個時刻產生突變干擾，但不會影響到懸浮系統的動態特性。而對于a43而言，此時含參非線性項的常系數最大，辨識需要的時間最長，可表征為非線性項對該參數的影響最為明顯，但是在70 s左右，逐步穩定，可以表征為通過辨識逐步縮小了非線性項在系統中的影響。根據上述辨識結果可以采用一定控制算法進行驗證，當系統輸入為9 mm的期望懸浮間隙、16 mm的初始狀態懸浮間隙時，采用滑?？刂频玫饺鐖D9所示的懸浮間隙結果。

由于本文主要內容為基于神經網絡構造逼近模型用于替代原本動力學模型，因此采用較為簡單的控制即可驗證模型效果。由圖9還可看到，采用本文所辨識得到的系統參數同樣可達到穩定的期望懸浮間隙(9 mm)。與此同時，在圖3—圖8中，通過對比計算結果可看出神經網絡辨識結果收斂在線性化計算結果的很小范圍內，由此證明了辨識結果可信。

4 結語

磁懸浮列車在柔性軌道上運行時，在受到軌道隨機激勵的情況下會出現明顯振動現象。對動力學方程線性化處理的過程可明顯降低分析難度，但同時也會丟失分析中某些重要的非線性特征，因此，采用系統辨識的思路避免了線性化處理，對含參非線性項進行辨識對于分析磁懸浮列車系統的復雜動力學行為具有重要意義。

1) 本文建立了基于柔性軌道的非線性動力學方程，并指出了其中的含參非線性項。

2) 針對Hopfield設計了辨識誤差函數。在適當化簡的基礎上得到狀態誤差變化率的相關函數。此外，設計了相應的Hopfield神經網絡辨識方案，得到了最終辨識結果具備的輸出表達式。

3) 通過數值仿真的方式給出了辨識結果，證明了在假定輸入信號為正弦函數時本文所設計辨識方案的辨識性能?？梢耘袛喈敽瑓⒎蔷€性項中常系數較大時，辨識過程更長，非線性項作用更為明顯。a53需要65 s才能達到需要的辨識結果，而a43需要150 s才能達到要求。相反，a45在開始辨識時即能保證較為穩定的輸出結果，在4.4 s達到的5×10-3的突變信號可通過濾波進行有效解決。

4) 所辨識模型相對非線性模型更為簡單，并且最大程度地保留非線性特征，便于基于模型的動力學響應和控制算法的研究分析。但通過仿真發現辨識時間較長，可以在系統離線時進行辨識，在系統上線之后采用相應的辨識結果。

此外，文中基于柔性軌道建立的車-軌耦合系統運動方程以及辨識方案對于分析磁浮列車車-軌之間的控制性能具有指導意義。在實際應用中，非線性項不可避免，因此研究它們可能帶來的非線性辨識問題對于修正動力學模型具有現實意義。