基于Radau偽譜法的儲能式有軌電車速度優化控制*

李德宏 朱博維 劉 歡

(1. 中鐵建云南投資有限公司， 650220, 昆明; 2. 中國鐵建昆侖投資集團有限公司， 610040， 成都;3. 昆明理工大學， 650500, 昆明∥第一作者， 正高級工程師)

隨著城市軌道交通的發展，城市軌道交通系統的能耗不斷增加，因此，很有必要研究其節能減排方法。目前，軌道交通的主要節能方法有提升電機效率、降低列車阻力及優化列車速度等[1]。其中，優化列車運行狀態是一種有效、簡單、可靠的方法，它不需要額外的基礎設施，而是通過優化列車速度和牽引力分配來提高交通效率。通過優化列車站間速度曲線，可以降低列車的牽引能耗，從而降低軌道交通系統的總能耗。

目前，國內外學者對有軌電車站間速度的優化問題已經開展了大量的研究。文獻[2]將列車的運行狀態分為牽引、巡航、惰性、剎車等4個狀態，采用極大值原理求解有軌電車的最優速度，取得很好的節能效果。文獻[3]針對節能速度在不同運行時刻下的變化，提出了基本遺傳算法的能耗優化算法，該方法能夠顯著降低列車運行能耗。文獻[4]以節能為列車的最優控制目標，采用基于極大值原理的間接法求解最優控制策略，從而得到最優速度；但該方法在約束條件較多時難以實用。文獻[5]采用動態規劃研究了列車的最優速度，發現該方法在路程較短的情況下才具有在線優化作用。文獻[6]采用控制參數化的方法研究了列車的速度，該方法在小規模情景時可以取得較好結果。文獻[7]基于移動閉塞的高速列車運行曲線，以乘客舒適度更高和列車節能為目標，采用一種改進的多目標粒子群算法來求解最優速度。

上述研究對有軌電車的速度優化控制進行了大量研究，但城市里有軌電車往往與機動車共用紅綠燈，如何考慮站臺之間的紅綠燈對有軌電車運行狀態的影響，以及如何優化有軌電車的速度軌跡使其在不停車的前提下順暢通過交叉口等仍缺少相關研究。為此，本文以儲能式有軌電車為研究對象，考慮有軌電車的制動能量回收、限速、紅綠燈、最大加速度、最大輸出功率等實際約束，研究有軌電車在站間通過紅綠燈的速度優化控制過程；構建以時間為自變量，以牽引力/制動力為控制變量，以運行能耗為目標函數的優化模型；采用GPOPS (通用偽譜優化軟件)求解有軌電車的最優速度，為有軌電車運行提供參考速度曲線和最優控制輸入，有效降低有軌電車站間運行的牽引能耗。

1 有軌電車站間速度優化控制模型

1.1 問題描述

本研究涉及的有軌電車運行場景如圖1所示。有軌電車從A站臺以初速度v0向B站臺行駛，行駛過程中要經過紅綠燈十字交叉路口，紅燈亮時有軌電車必須停車。紅綠燈到A站臺的距離為s1，紅綠燈到B站臺的距離為s2。有軌電車在行駛過程中，其路段的ICU(交叉口控制單元)向列車發送下一個紅綠燈的信號配時方案，此時有軌電車通過優化牽引力輸出來優化自身的速度軌跡，使其在綠燈相位下高效地通過交叉口，并實現牽引力能耗最小。

1.2 有軌電車站間速度優化控制模型的建立

為了便于描述儲能式有軌電車運行的優化控制問題，本文擬對有軌電車及其運行環境作如下簡化：① 有軌電車的運行軌道坡度為0，且為直線行駛；② 有軌列車運行過程中儲能系統的充放電效率、傳動系統的機電效率、制動能量回收效率等參數均為常數；③ 不考慮輔助功率對有軌電車運行能耗的影響；④ 有軌電車的牽引力和制動力滿足儲能式有軌電車牽引和電制動特性曲線。

為快速高效求解有軌電車運行的最優控制問題，本研究只考慮有軌電車直線行駛條件下的縱向運動學過程，忽略橫向控制對能耗的影響。基于牛頓第二定律及相關微分關系，可以推導出有軌電車運行過程中位移、速度、時間、牽引力、制動力的關系：

(1)

(2)

其中：

R(v)=α+βv+χv2

(3)

G(s)=[i(s)+600/r]mg

(4)

式中：

s——有軌電車的運行距離，m；

v——有軌電車運行的速度，m/s；

t——有軌電車運行的時間，s；

m——有軌電車的質量，t;

λ——有軌電車回轉質量系數；

Fa、Fb——分別表示有軌電車的牽引力和制動力，N;

R(v)——列車運行時的基本阻力[8]，N；

G(s)——列車運行時的線路附著阻力[8]，包括轉彎阻力和坡道阻力等，N；

α、β、χ——基本阻力系數，與列車的形狀和質量等有關，可由經驗公式得到；

i(s)——坡道坡度，‰；

r——軌道的轉彎半徑， m；

g——重力加速度， m/s2。

有軌電車速度優化的目標為儲能系統的總能耗最小：

(5)

其中：

(6)

Pb=εFbvμgumuiuchudc

(7)

式中：

E——儲能系統的總能耗；

Pa——儲能系統為提供牽引力而放電時的輸出功率；

Pb——有軌電車制動時，儲能系統能量回收的輸入功率；

μg——齒輪箱的傳動效率；

um——電機效率；

ui——逆變器效率；

udis——儲能系統的放電效率；

udc——DC/DC變換器效率；

uch——回收能量時儲能系統的充電效率；

ε——剎車時的能量回收利用率；

tf——終端時刻。

考慮有軌電車的能力限制，行駛過程中的速度、加速度及最大牽引力和制動力需滿足如下約束：

0≤v(t)≤vmax

(8)

amin≤a(t)≤amax

(9)

0≤Fa≤Fa,max

(10)

Fb,min≤Fb≤0

(11)

式中：

vmax——有軌電車的最高車速；

amin——有軌電車的最小加速度；

amax——有軌電車的最大加速度；

Fb,min——有軌電車的最小制動力；

Fa,max——有軌電車的最大牽引力。

由于有軌電車在通過交叉路口時可能加/減速等待紅綠燈，這樣會消耗過多的能量。為了降低有軌電車的能耗，有必要優化有軌電車通過紅綠燈的速度，使有軌電車在不停車的情況下通過紅綠燈。為此，需添加紅綠燈相位配時對有軌電車速度的約束：

(12)

式中：

vmin——有軌電車的最低車速；

vlow、vhigh——分別為有軌電壓在綠燈相位下不停車通過交叉口的最小和最大速度；

D——出發點到紅綠燈的距離；

tg——當前時刻距下一個綠燈開始的時間；

tr——當前時刻距下一個綠燈結束的時間。

2 有軌電車速度優化求解算法

儲能式有軌電車運行情況復雜，且相鄰步長的牽引力/制動力可能發生突變。Radau偽譜法對于在相鄰步長內容易發生突變的最優控制問題能更精確和高效地求解[9]。Radau偽譜法結構簡單，且呈指數收斂。因此，本文采用自適應Radau偽譜法(以下簡稱“偽譜法”)進行求解，并通過求解器GPOPS實現[10]。

GPOPS是基于偽譜法的采用Matlab軟件求最優解的工具。其有固定的結構，主要由主函數、連接方程函數、微分代數函數及性能指標函數等構成。本文模型與GPOPS結構的對應關系如圖2所示。

GPOPS是以列向量的方式來進行計算，以提高運算速度[11]，故本文還需將模型中的約束轉換為列向量形式。將式(1)與式(2)描述為：

(13)

式中：

u(t)——控制變量，t為輸入量(有軌電車運行的時間)；

x(t)——狀態向量；

x1、x2——狀態向量x的兩個取值，分別為s、v。

此外，由于限速約束、加速度約束和變量取值約束均為路徑約束，則這3類約束可以合并表示為：

qmin≤q(x(t),u(t),t)≤qmax

(14)

其中：

q(x(t),u(t),t)=[x2dx1/dx2u1u2]

(15)

qmin=[0amin0 0]T

(16)

qmax=[vmax(t)amaxFa，maxFb，max]T

(17)

式中：

qmin、qmax——分別為3類約束合并后的最小與最大邊界；

u1、u2——控制變量u的兩個取值，分別為Fa、Fb。

偽譜法將連續時間最優控制問題轉化為一個非線性規劃問題。經離散變換得到的非線性規劃問題為：尋找最優控制變量Fa和Fb，使性能指標函數(見式(5))最小，同時滿足式(8)—式(12)的約束。性能指標函數中，狀態函數和控制函數是使用1組正交多項式(切比雪夫或拉格朗日多項式)逼近的，其中指定的配置點可使用動力學的配置與積分拉格朗日代價項的正交近似。具體的求解流程如圖3所示[12]。

3 有軌電車站間速度優化控制模型仿真分析

3.1 仿真對象

對于儲能式有軌電車自動駕駛算法仿真中涉及的列車相關參數進行設置。以某公司研制的超級電容儲能式有軌電車作為列車對象[13]，該有軌電車編組為W-M-T-W(W為帶司機室的動車，M為動車，T為拖車)，如圖4 所示。

3.2 仿真參數

有軌電車從A站臺向B站臺行駛[14]，A站臺距紅綠燈的距離為1 km，紅綠燈距B站臺的距離為1 km；紅綠燈的周期為120 s，單個周期內紅燈和綠燈的持續時間均為60 s；有軌電車的定員編組質量為80 t，車長為36 m，質量回轉系數為0.06；有軌電車的基本運行阻力系數分別為6.891 0、0.091 2和0.004 5；坡道千分數為0，軌道為直線；重力加速度為9.81 m/s2；齒輪箱傳動效率為0.9；電機效率為0.9；逆變器效率為0.9；儲能系統的放電效率為0.85；DC/DC變換器效率為0.9；制動回收能量時儲能系統的充電效率為0.8；有軌電車剎車時能量回收利用率為0.74；有軌電車行駛過程中最大速度為20 m/s，最大加速度為1.2 m/s2，最小加速度為-1 m/s2；有軌電車最大牽引力為94 kN，最大制動力為-110 kN。

3.3 仿真結果分析

為驗證該算法的有效性，設置了對照組。對照組采用常加速度行駛，即加速度在其最大值范圍內隨機生成。根據式(1)、式(2)和式(5)分別計算出對照組中有軌電車的行駛軌跡、行駛速度及能耗，用以驗證該算法的有效性。有軌電車的最優速度通過Matlab軟件中的GPOPS進行求解[15]。

圖5為有軌電車優化前后速度與距離對比。由圖5可見，儲能式有軌電車從站臺A以0的初速度行駛，在未采取優化的情況下，采用常加速度行駛，在距離紅綠燈較遠時以最高速度行駛，牽引力較大(見圖6)；當有軌電車行駛到822 m時急減速，其速度在11 s內從20 m/s降到9.2 m/s，在通過紅綠燈后又急加速運行，加速幅度大且過于頻繁，乘客舒適度較差且能量損耗較為嚴重。有軌電車速度被優化后，其從站臺A出發時，全程能接收到下一個紅綠燈的信號配時信息，此時開始進行速度軌跡優化。相比于優化前，優化后有軌電車速度變化較為緩慢。特別是接近紅綠燈時，其速度在11 s內僅降低了3.33 m/s，并以16.67 m/s的速度快速通過紅綠燈。通過紅綠燈后緩慢加速行駛，整個運行過程中加減速幅度較小，即加速度與減速度都較小，避免了因在紅燈時間窗到達紅綠燈停車線而造成的急減速、急加速和停車行為，牽引力和制動力的變化幅度亦較小，乘客幾乎無明顯感覺。

圖7對比了有軌電車優化前后的行駛能耗，能耗公式具體見式(5)。由圖7可見，優化前有軌電車在通過紅綠燈時的急加速行為極大地增加了列車的能耗；優化后有軌電車的能耗軌跡較平緩，未出現能耗劇變，說明本文提出的優化算法可以明顯降低列車行駛過程中的能耗；有軌電車優化后較優化前能耗降低了23.45%，在保證列車準時到站的情況下，可避免列車在紅綠燈交叉口的急減速、急加速和停車行為，保證乘客乘車的舒適度和安全性。

4 結語

本文以儲能式有軌電車的能耗優化為目標，建立了帶有信號交叉口的環境模型和有軌電車的運動學模型。在滿足有軌電車的速度、牽引力/制動力、加速度和到站時間等約束，以及起始和終止條件下，采用偽譜法對自動駕駛的儲能式有軌電車速度軌跡優化問題求解，實現了有軌電車在全局求解性能上的最優，有軌電車優化前較優化后能耗降低了23.45%。本文只考慮了自動駕駛的儲能式有軌電車在兩站臺且僅含單個紅綠燈的軌道上行駛的情況，后續將進一步研究在多站臺且含多個紅綠燈的軌道上行駛的情況。