具有線性記憶項Plate方程周期解的存在性

張鐵元, 杜先云

(成都信息工程大學應用數學學院,四川 成都 610225)

0 引言

周期現象在自然界中十分常見,如四季的更替,太陽的升降等,主要表現在某種現象隨著時間的推移呈規律性出現,而這些周期現象反應在描述物理現象的非線性偏微分方程中便是周期解的存在。1997年H Kato[1]探究了Navier-Stokes方程在有界域上周期解的存在性;2001年郭柏靈等[2]證明了弱阻尼Schr?dinger-Boussinesq方程周期解的存在性;2019年羅維[3]討論了大氣原始方程組時間周期解的存在性。

Plate方程源自Woinowsky[4]和Berger[5]建立的彈性振動方程。本文考慮一類具有線性記憶項的二維plate方程[6]在周期性外力項的作用下,在有界域Ω×R+上周期解的存在性問題。

其中:r1,r2,N1,N2,ρ,β為非負常數,f為外力項,φ(0),φ(∞)＞0,φ＇(s)＜0,?s∈R+。

1 預備知識

介紹一些周期為T的函數所構成的函數空間。

Lp(T;X)(1≤p≤∞)是在R1中以T為周期且在X上可測的函數的集合,定義范數

Wk,p(T;X)={Q(x)|Q(x)∈Lp(T,X),Dαu∈Lp(T,X),x∈R1,α≤k},當X是希爾伯特空間時,Hk(T;X)=Wk,2(T;X)。

對記憶核函數μ作出如下假設:

(H1)μ∈C1(R+)∩ L1(R+), μ＇(s)≤0,對于任意s∈R+;

(H3)μ＇(s)+αμ＇(s)≤0,對于任意 s∈R+,α＞0

定義以下希爾伯特空間

為方便記憶項的處理,不失一般性,設有φ(∞)=1,讓 μ(s)=-φ＇(s),定義如下變換

引理2[8](Leray-Schauder不動點定理)設A:E→E 全連續。如果{x|x∈E,x=λAx,0＜λ＜1}有界,則A在E閉球T中必有不動點,這里T={x|x∈E,‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=λAx,0＜λ＜1}。

2 近似解的存在性

設ωj(j=1,2,3,…)是由A的特征向量組成的E0中的完全正交系,并且具有狄利克雷邊界條件。將式(3)～(6)近似周期解uN,vN,ηN記作以下形式:

其中ajN(t),bjN(t),cjN(t)是關于時間t∈R+的相關系數函數,根據伽遼金法(Galerkin method),其滿足以下偏微分方程組

令WN為ω1,ω2,…,ωn張成的E0的子空間,易知對于C1(T,WN)中的連續緊映射:F:(pN,qN,mN)→(uN,vN,ηN)有任意(pN,qN,mN)∈C1(T,WN),存在唯一周期為T的解(uN,vN,ηN)∈C1(T,WN)滿足

要證明式(10)～(13)解的存在性,由Leray-Schauder不動點定理可知,用替換非線性項β ‖uNx‖2uNxx,后,只需證明

其中C1是與λ,N無關的正常數。

其中C1是與λ,N無關的正常數,則說明式(3)～(6)在E0中存在近似周期解(uN,vN,ηN),定理1證畢。

3 先驗估計

定理1中證明了近似周期解(uN,vN,ηN)的存在性,為說明(uN,vN,ηN)的收斂性,將進行其高低階導數的一致性有界估計。在開始有關的高階估計前(其中r=),注意到基{ωi,i=1,2,3,…}既可以作為算子A的特征函數ωi,也可作為Ar的特征函數ωi,表示為其中li為算子A的特征值。

定理2 (uN,vN,ηN)為式(3)～(6)在E0中的近似周期解,有

由第一微分中值定理有,存在t*∈[0,T],使

4 周期解的存在唯一性

定理5 式(3)～(6)在E0中存在唯一周期解(u,v,η)

證明 定理1中,證明了式(3)～(6)存在近似周期解(uN,vN,ηN),則由定理2到定理4的成立可知,解序列(uN,vN,ηN)以下面的方式趨近于解序列(u,v,η)

由式(28)～(30)的成立就可以推出式(31),說明近似周期解(uN,vN,ηN)在E0中的收斂性。

運用Gronwall's定理有

其中t∈(0,∞),又因為W(t)關于t是周期函數,所以對于任意t∈(-∞,∞),都存在一個正整數n0使t+n0T＞0,并且有W(t)=W(t+n0T)。從而對于任意n≥n0,有W(t)≤W(0)exp(-c2nT)。則可知W(t)≡0,周期解唯一,定理5證明完畢。