一類變指標四階退化拋物方程解的長時間行為和穩定性

蘇彩月,汪穎

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116021)

近年來，高階非線性拋物型方程的研究發展日益豐富，主要針對解的存在性、唯一性及解的爆破理論的研究.其中，非線性擴散方程更是一個研究的熱點問題,比如相變理論、滲透理論、生物化學等領域都有涉及，特別是退化和奇異的非線性拋物方程,它們在某方面更能反映實際物理意義,如擾動傳播的有限性、薄膜方程等.對于這類方程的系統論述Wu等[1]全面介紹了有關退化的非線性擴散方程的基本問題、典型方法以及主要結果等等.本文主要討論以下四階變指數退化拋物問題：

(1)

u=Δu=0,x∈?Ω,t>0

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω

(3)

Δ(Δup-2Δu)=λf(x,u)+μg(x,u),x∈Ω

u=Δu=0,x∈Ω

至少有三個弱解的存在性，但關于p-雙調和拋物型方程的文獻比較少.而本文所討論的方程類似于發展的p-Laplace方程,有關p-Laplace方程的相關性見文獻[3-4].此外，Carrillo和Toscani用熵泛函方法[5]研究了溶液的長時間行為.本文是在郭金勇等[6]研究的基礎上進一步研究有關解的長時間行為和穩定性.由于退化,問題(1)～(3)不再具有通常意義下的古典解,因此本文定義如下弱解.

1 主要內容

定理1函數u(x,t)稱為問題(1)～(3)的弱解，若其滿足以下條件

(4)

(3)在L2(Ω)意義下，u(x,0)=u0(x).

定理2設u為滿足問題(1)～(3)的弱解(長時間行為)，則有

證明 首先選擇φ=u作為式(4)的檢驗函數，有

(5)

于是

(6)

接下來定義熵泛函

很容易得到

(7)

若λ>0,則有

通過求解常微分不等式f′(t)≤-C1f(t)可知

即結論(1)成立.

若λ=0,根據式(7)可知

由于f′≤0,f為遞減函數，不妨設f(0)<1,利用嵌入定理可知

因此

即有

定理2證明完成.

則有

證明 由于u和v是問題(1)～(3)的兩個弱解，利用解的定義，可以得到

對固定的s∈[0,T]，取φ=χ[0,s](u-v)作為上式的檢驗函數，其中χ[0,s]是[0,s]上的特征函數，則

利用事實不等式(|s|p(x)-2s-|t|p(x)-2t)(s-t)≥0,s,t∈R.

設λ≥0可知

即證.

2 結論

本文主要研究了變指標四階退化拋物方程問題,其存在性采用時間離散化技術，通過構造逼近解，結合能量估計獲得一致性估計,進而得到存在性結果.在存在性基礎上，利用熵泛函方法，得到解基于熵的能量估計，給出解的長時間行為，進而又獲得解的穩定性.