基于翻轉課堂理念的微分幾何教學實踐與反思

張 攀，周俊東

（1.安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230039；2.阜陽師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 阜陽 236037）

微分幾何課程是高校數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，也是物理學的基礎課程，它以解析幾何、數(shù)學分析、高等代數(shù)等知識為基礎，對學生數(shù)學能力的培養(yǎng)、思維品質的提高和后期課程的學習等方面具有重要作用。在如火如荼的互聯(lián)網(wǎng)+時代，在慕課、超星、微課等教育信息化的沖擊下，微分幾何課程也被推至教學改革的風口浪尖。本研究以F 大學為例，基于翻轉課堂的教學理念探討微分幾何教學實踐，為改進微分幾何教學提供反思性經驗。

一、翻轉課堂教學研究與實踐的現(xiàn)狀

翻轉課堂作為一種全新的教學理念，源自薩爾曼可汗一個偶然的教學方式，它利用線上教學與線下教學相結合、教師授課與學生探究相結合的方式，重新構建教學結構。這種新的教學模式受到全球學者的高度關注。有人進行翻轉課堂的理論思考，如：張金磊等[1]介紹了翻轉課堂的概念與特點，他們結合國外教學實踐案例，構建了翻轉課堂教學模型；龍寶新[2]認為翻轉課堂不是簡單的教學結構翻轉，而是一種教學本質的改變，它改寫了教學目的、流程、手段、核心與實質。與此同時，有學者進行翻轉課堂本土化研究[3-4]，他們從中美兩國教育文化差異著手，研究翻轉課堂教學模式的本土化策略：從意識觀念、實踐操作和模式創(chuàng)新三個維度構建教學體系。還有人進行翻轉課堂的應用研究，例如汪曉東等[5]將翻轉課堂這一種新型的教學組織形式，應用于大學英語教學；張芝蘭等[6]展開了翻轉課堂教學模式在對外漢語教學中的應用研究。最近，何芃悅[7]研究了基于翻轉課堂的英語視聽說網(wǎng)絡教學；李金梅[8]探索了現(xiàn)代漢語課程翻轉課堂教學模式。

綜上所述，翻轉課堂教學模式自2007 年以來，研究者甚多，成果頗豐，然而基于翻轉課堂的微分幾何課程教學研究尚少。以“微分幾何教學”為關鍵詞在中國知網(wǎng)上搜索，我們發(fā)現(xiàn)自1985 年以來不足50 篇文獻，而加上關鍵詞“翻轉課堂”搜索，發(fā)現(xiàn)幾乎沒有相關文獻。微分幾何課程是數(shù)學類專業(yè)的必修核心課程，自1978 年，該課程在F 大學已經開設40 余年。經過幾代人的努力，如今已經形成一支以高職稱、高學歷為主體、富有教學經驗的教學團隊。該教學團隊引入翻轉課堂理念，不斷改進微分幾何教學方法，通過搭建網(wǎng)絡教學平臺，構建了線上和線下混合式教學新模式。目前，微分幾何課程在F 大學為省級資源共享課程、省級MOOC 課程，2018年開始在學銀在線平臺上線（如圖1），至今，大規(guī)模在線開放課程已經實施了4 期。

圖1 學銀在線課程首頁

二、翻轉課堂教學理念在微分幾何課程中的教學實踐

（一）模塊化微分幾何教學內容

微分幾何以光滑曲線、曲面等概念為核心要素，研究三維歐式空間中的光滑曲線和曲面的局部性質。該課程教學內容豐富、知識點繁雜、原理較為抽象。如何梳理繁雜而抽象的知識點，凝練課程內容模塊，明確相關課程之間的脈絡關聯(lián)，是首要解決的問題。我們以陳維桓編著的《微分幾何》教材為依據(jù)，將教材內容凝練為曲線論、曲面論、外微分形式和活動標架三個模塊，將教材內容體系轉化為教學內容體系。具體如下。

（1）曲線論，介紹了空間曲線的弧長、曲率、撓率等幾何不變量，進一步介紹Frenet 公式和曲線論基本定理。

（2）曲面論，介紹了空間曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、Weingarten 映射與主曲率、曲面的結構方程和曲面論基本定理。另外，特別介紹了曲面論中的內蘊幾何學，內容包括等距變換、測地線、常曲率曲面等幾何概念和黎曼曲率、高斯曲率、測地曲率等內蘊幾何量。

（3）外微分形式和活動標架，通過Cartan 的活動標架法，把曲線論和曲面論重新復習一遍，使得學生了解數(shù)學中的新方法，同時加深學生對已學知識的理解。

通過模塊化教學內容，整合了教學內容體系，進一步凝練了微分幾何的教學內容，更好地促進先前學習的課程和后續(xù)課程的銜接。同時，重新整合線上教學資源，匯總教學指導、試題庫、課程設計方案和常見疑難問題解答等。

（二）構建線上線下混合式教學模式

互聯(lián)網(wǎng)具有即時、互動等特點和優(yōu)勢，網(wǎng)絡授課不受時、空限制，學生可以隨時加入學習，這就增加了課程學習的靈活度。在微分幾何課程教學中融合慕課開放、共享、互動等元素，充分利用優(yōu)質在線資源和靈活多樣的教學方式方法，為學生提供豐富的網(wǎng)絡資源和便捷的學習方式，進而推動翻轉課堂教學模式形成。本研究把儲亞偉教授領銜的微分幾何省級教學平臺資源同步到微分幾何課堂教學中，結合傳統(tǒng)教學的優(yōu)勢，探索構建線上線下混合式教學模式。本研究首先篩選出適合學生學習的教學素材和視頻資源，將其融入到課堂教學過程中。課前，通過教學平臺發(fā)布預習任務，上傳預習檢測題，通過學生的預習情況和討論情況進行學情分析，發(fā)現(xiàn)學生存在的知識困惑和疑難問題，便于課堂教學中師生共同解決重難點問題。組織師生線上、線下交流討論，推進形成同伴互助學習方式，輔助課堂教學。在課中和課后，在學生課堂討論和實踐環(huán)節(jié)中，重視發(fā)揮學生的積極能動性，讓學生變成課堂主體，成為學習的“主人”，提高了學生的獲得感。教師成為學習的“引導者”，指導學生開展學習討論，回答和討論與視頻相關的問題，并進行深度學習輔導。翻轉課堂教學模式的引入，充分發(fā)揮了師生的“雙主”作用。同時，不斷優(yōu)化課程共享資源，在側重采用自建的網(wǎng)絡平臺外，我們也積極引導學生借助國內較有影響力的網(wǎng)絡平臺資源，如將同濟大學賀群教授的微分幾何課程作為學生網(wǎng)上選修內容。不過，知名大學開設的課程難度較大，對于普通本科層次的數(shù)學專業(yè)學生，很難適應其教學內容和教學進度，所以不能完全照搬。總之，加大線上、線下互動，在微分幾何網(wǎng)絡課程門戶上不斷開放課程共享資源、建設課程在線試題庫、開設課程問答和交流區(qū)，更好地輔助學生自主學習。至今，我們在網(wǎng)絡平臺共發(fā)布了131 個視頻，總時長2 213 分鐘，考試題庫總數(shù)1 178 道；上傳相關文檔284個（如圖2）。

圖2 課程資源統(tǒng)計

（三）分類分層教學

2018 年，教育部印發(fā)了《教育部關于加快建設高水平本科教育全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》文件，決定實施“六卓越一拔尖”計劃2.0。在卓越拔尖人才培養(yǎng)目標背景下，我們充分利用信息化工具給教學帶來的優(yōu)勢，以翻轉課堂理念為指引，以學生的不同需求為切入點，開展分類分層教學。我們的教學實踐是選取數(shù)學與應用數(shù)學非師范班、數(shù)學與應用數(shù)學師范班、數(shù)學與應用數(shù)學拔尖創(chuàng)新班分別開展分層教學試點工作（如圖3—圖5）。

圖3 非師范專業(yè)教學實踐數(shù)據(jù)

圖4 師范專業(yè)教學實踐數(shù)據(jù)

圖5 拔尖創(chuàng)新班教學實踐數(shù)據(jù)

針對數(shù)學與應用數(shù)學非師范專業(yè)，在教學過程中側重培養(yǎng)學生通過所學的微分幾何理論分析、解決實際中的若干問題，為社會培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|應用型人才。針對師范類專業(yè)，側重以培養(yǎng)卓越中小學教師為目標，以培養(yǎng)師范生的幾何直觀和圖形想象能力為導向，提升師范生的數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)。拔尖創(chuàng)新班，側重學習微分幾何學科的基本理論及學科前沿和發(fā)展動態(tài)，通過嚴格的數(shù)學思維訓練，以培養(yǎng)學生的高階思維、創(chuàng)新思維能力，使之具有較強的探索意識和科研創(chuàng)新精神。同時，根據(jù)學生自身基礎的差異性，構建虛擬學習環(huán)境（線上學習、協(xié)作、討論、答疑、測試和反饋等）、開展探究式、協(xié)作式等教學方式，指導學生根據(jù)自身基礎條件，按照不同層次、不同專業(yè)的需要，選擇適合自己的課程學習內容，進行個性化、創(chuàng)造性學習。教師通過數(shù)據(jù)調研和統(tǒng)計，分析開展網(wǎng)絡教學會使哪些（成績居前、中或后）學生受益及多少比重的學生受益。

同時，調查在校師生對實施分類分層教學的接受程度和滿意度；總結實施微分幾何課程翻轉課堂教學的實踐，不斷優(yōu)化資源共享，推進個性化、協(xié)作式學習等。調研報告要詳盡、準確，務求真實。

此外，教師研究如何分配線下及線上教學內容、按照不同學習能力的學生給出合理的網(wǎng)絡重點資源比重。

三、教學反思

為了有效開展翻轉課堂教學，必須建立科學完善的評價機制。在傳統(tǒng)單一教師評價的基礎上，探索自評、互評等形式，要建立“多元”評價主體，使學生可以通過自評、同伴互評的方式進行評價，不斷豐富評價方式的多樣性，使得課程的考核評價體系更加公平合理。同時，注重學習過程評價，注重學生自測、討論、回答問題等部分成績，考試成績雖然還占很大比重，但避免了“一錘定音”和只要考前突擊復習即可取得好成績的現(xiàn)象。如在授課之前對學生的學習基礎和學習能力進行診斷性評價，在教學過程中，對學生的學習成果采取的形成性評價和在一個學習階段結束后，進行總結性評價。最終成績=翻轉課堂成績×10%+平時綜合成績×40%+期末紙質考試成績×50%，其中翻轉課堂由各小組根據(jù)自學預習、小組討論、課堂講解打分；對于教師，由于翻轉課堂教學學習比純粹的傳統(tǒng)課程的學習需要投入更多的時間和精力。因此也要完善對教師的評價方式。學校需要建立相應的教學評價機制（如考評機制、激勵機制等），調動教師參與的積極性。

翻轉課堂的教學效果取決于線上、線下兩個環(huán)節(jié)的設計和組織。翻轉課堂教學的關鍵是網(wǎng)絡課程建設；基礎是“題庫”建設；網(wǎng)絡平臺是重要條件；課程考核設計是“牛鼻子”；知識系統(tǒng)性是短板；關注學習困難群體是難點。隨著教學理念的不斷發(fā)展，我們要在翻轉課堂教學理念的基礎上，積極開展互聯(lián)網(wǎng)+智慧教育，將翻轉課堂與智慧課堂等教學理念與微分幾何課程深度融合，打造金課，使之成為國家一流課程。