基于翻轉(zhuǎn)課堂理念的微分幾何教學(xué)實(shí)踐與反思

張 攀，周俊東

（1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039；2.阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

微分幾何課程是高校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，也是物理學(xué)的基礎(chǔ)課程，它以解析幾何、數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等知識為基礎(chǔ)，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)、思維品質(zhì)的提高和后期課程的學(xué)習(xí)等方面具有重要作用。在如火如荼的互聯(lián)網(wǎng)+時代，在慕課、超星、微課等教育信息化的沖擊下，微分幾何課程也被推至教學(xué)改革的風(fēng)口浪尖。本研究以F 大學(xué)為例，基于翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念探討微分幾何教學(xué)實(shí)踐，為改進(jìn)微分幾何教學(xué)提供反思性經(jīng)驗(yàn)。

一、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)研究與實(shí)踐的現(xiàn)狀

翻轉(zhuǎn)課堂作為一種全新的教學(xué)理念，源自薩爾曼可汗一個偶然的教學(xué)方式，它利用線上教學(xué)與線下教學(xué)相結(jié)合、教師授課與學(xué)生探究相結(jié)合的方式，重新構(gòu)建教學(xué)結(jié)構(gòu)。這種新的教學(xué)模式受到全球?qū)W者的高度關(guān)注。有人進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂的理論思考，如：張金磊等[1]介紹了翻轉(zhuǎn)課堂的概念與特點(diǎn)，他們結(jié)合國外教學(xué)實(shí)踐案例，構(gòu)建了翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模型；龍寶新[2]認(rèn)為翻轉(zhuǎn)課堂不是簡單的教學(xué)結(jié)構(gòu)翻轉(zhuǎn)，而是一種教學(xué)本質(zhì)的改變，它改寫了教學(xué)目的、流程、手段、核心與實(shí)質(zhì)。與此同時，有學(xué)者進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂本土化研究[3-4]，他們從中美兩國教育文化差異著手，研究翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的本土化策略：從意識觀念、實(shí)踐操作和模式創(chuàng)新三個維度構(gòu)建教學(xué)體系。還有人進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂的應(yīng)用研究，例如汪曉東等[5]將翻轉(zhuǎn)課堂這一種新型的教學(xué)組織形式，應(yīng)用于大學(xué)英語教學(xué)；張芝蘭等[6]展開了翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在對外漢語教學(xué)中的應(yīng)用研究。最近，何芃悅[7]研究了基于翻轉(zhuǎn)課堂的英語視聽說網(wǎng)絡(luò)教學(xué)；李金梅[8]探索了現(xiàn)代漢語課程翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式。

綜上所述，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式自2007 年以來，研究者甚多，成果頗豐，然而基于翻轉(zhuǎn)課堂的微分幾何課程教學(xué)研究尚少。以“微分幾何教學(xué)”為關(guān)鍵詞在中國知網(wǎng)上搜索，我們發(fā)現(xiàn)自1985 年以來不足50 篇文獻(xiàn)，而加上關(guān)鍵詞“翻轉(zhuǎn)課堂”搜索，發(fā)現(xiàn)幾乎沒有相關(guān)文獻(xiàn)。微分幾何課程是數(shù)學(xué)類專業(yè)的必修核心課程，自1978 年，該課程在F 大學(xué)已經(jīng)開設(shè)40 余年。經(jīng)過幾代人的努力，如今已經(jīng)形成一支以高職稱、高學(xué)歷為主體、富有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)團(tuán)隊(duì)。該教學(xué)團(tuán)隊(duì)引入翻轉(zhuǎn)課堂理念，不斷改進(jìn)微分幾何教學(xué)方法，通過搭建網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺，構(gòu)建了線上和線下混合式教學(xué)新模式。目前，微分幾何課程在F 大學(xué)為省級資源共享課程、省級MOOC 課程，2018年開始在學(xué)銀在線平臺上線（如圖1），至今，大規(guī)模在線開放課程已經(jīng)實(shí)施了4 期。

圖1 學(xué)銀在線課程首頁

二、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)理念在微分幾何課程中的教學(xué)實(shí)踐

（一）模塊化微分幾何教學(xué)內(nèi)容

微分幾何以光滑曲線、曲面等概念為核心要素，研究三維歐式空間中的光滑曲線和曲面的局部性質(zhì)。該課程教學(xué)內(nèi)容豐富、知識點(diǎn)繁雜、原理較為抽象。如何梳理繁雜而抽象的知識點(diǎn)，凝練課程內(nèi)容模塊，明確相關(guān)課程之間的脈絡(luò)關(guān)聯(lián)，是首要解決的問題。我們以陳維桓編著的《微分幾何》教材為依據(jù)，將教材內(nèi)容凝練為曲線論、曲面論、外微分形式和活動標(biāo)架三個模塊，將教材內(nèi)容體系轉(zhuǎn)化為教學(xué)內(nèi)容體系。具體如下。

（1）曲線論，介紹了空間曲線的弧長、曲率、撓率等幾何不變量，進(jìn)一步介紹Frenet 公式和曲線論基本定理。

（2）曲面論，介紹了空間曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、Weingarten 映射與主曲率、曲面的結(jié)構(gòu)方程和曲面論基本定理。另外，特別介紹了曲面論中的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，內(nèi)容包括等距變換、測地線、常曲率曲面等幾何概念和黎曼曲率、高斯曲率、測地曲率等內(nèi)蘊(yùn)幾何量。

（3）外微分形式和活動標(biāo)架，通過Cartan 的活動標(biāo)架法，把曲線論和曲面論重新復(fù)習(xí)一遍，使得學(xué)生了解數(shù)學(xué)中的新方法，同時加深學(xué)生對已學(xué)知識的理解。

通過模塊化教學(xué)內(nèi)容，整合了教學(xué)內(nèi)容體系，進(jìn)一步凝練了微分幾何的教學(xué)內(nèi)容，更好地促進(jìn)先前學(xué)習(xí)的課程和后續(xù)課程的銜接。同時，重新整合線上教學(xué)資源，匯總教學(xué)指導(dǎo)、試題庫、課程設(shè)計(jì)方案和常見疑難問題解答等。

（二）構(gòu)建線上線下混合式教學(xué)模式

互聯(lián)網(wǎng)具有即時、互動等特點(diǎn)和優(yōu)勢，網(wǎng)絡(luò)授課不受時、空限制，學(xué)生可以隨時加入學(xué)習(xí)，這就增加了課程學(xué)習(xí)的靈活度。在微分幾何課程教學(xué)中融合慕課開放、共享、互動等元素，充分利用優(yōu)質(zhì)在線資源和靈活多樣的教學(xué)方式方法，為學(xué)生提供豐富的網(wǎng)絡(luò)資源和便捷的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)而推動翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式形成。本研究把儲亞偉教授領(lǐng)銜的微分幾何省級教學(xué)平臺資源同步到微分幾何課堂教學(xué)中，結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢，探索構(gòu)建線上線下混合式教學(xué)模式。本研究首先篩選出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)素材和視頻資源，將其融入到課堂教學(xué)過程中。課前，通過教學(xué)平臺發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)，上傳預(yù)習(xí)檢測題，通過學(xué)生的預(yù)習(xí)情況和討論情況進(jìn)行學(xué)情分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的知識困惑和疑難問題，便于課堂教學(xué)中師生共同解決重難點(diǎn)問題。組織師生線上、線下交流討論，推進(jìn)形成同伴互助學(xué)習(xí)方式，輔助課堂教學(xué)。在課中和課后，在學(xué)生課堂討論和實(shí)踐環(huán)節(jié)中，重視發(fā)揮學(xué)生的積極能動性，讓學(xué)生變成課堂主體，成為學(xué)習(xí)的“主人”，提高了學(xué)生的獲得感。教師成為學(xué)習(xí)的“引導(dǎo)者”，指導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)討論，回答和討論與視頻相關(guān)的問題，并進(jìn)行深度學(xué)習(xí)輔導(dǎo)。翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的引入，充分發(fā)揮了師生的“雙主”作用。同時，不斷優(yōu)化課程共享資源，在側(cè)重采用自建的網(wǎng)絡(luò)平臺外，我們也積極引導(dǎo)學(xué)生借助國內(nèi)較有影響力的網(wǎng)絡(luò)平臺資源，如將同濟(jì)大學(xué)賀群教授的微分幾何課程作為學(xué)生網(wǎng)上選修內(nèi)容。不過，知名大學(xué)開設(shè)的課程難度較大，對于普通本科層次的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，很難適應(yīng)其教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)進(jìn)度，所以不能完全照搬。總之，加大線上、線下互動，在微分幾何網(wǎng)絡(luò)課程門戶上不斷開放課程共享資源、建設(shè)課程在線試題庫、開設(shè)課程問答和交流區(qū)，更好地輔助學(xué)生自主學(xué)習(xí)。至今，我們在網(wǎng)絡(luò)平臺共發(fā)布了131 個視頻，總時長2 213 分鐘，考試題庫總數(shù)1 178 道；上傳相關(guān)文檔284個（如圖2）。

圖2 課程資源統(tǒng)計(jì)

（三）分類分層教學(xué)

2018 年，教育部印發(fā)了《教育部關(guān)于加快建設(shè)高水平本科教育全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》文件，決定實(shí)施“六卓越一拔尖”計(jì)劃2.0。在卓越拔尖人才培養(yǎng)目標(biāo)背景下，我們充分利用信息化工具給教學(xué)帶來的優(yōu)勢，以翻轉(zhuǎn)課堂理念為指引，以學(xué)生的不同需求為切入點(diǎn)，開展分類分層教學(xué)。我們的教學(xué)實(shí)踐是選取數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)非師范班、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范班、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新班分別開展分層教學(xué)試點(diǎn)工作（如圖3—圖5）。

圖3 非師范專業(yè)教學(xué)實(shí)踐數(shù)據(jù)

圖4 師范專業(yè)教學(xué)實(shí)踐數(shù)據(jù)

圖5 拔尖創(chuàng)新班教學(xué)實(shí)踐數(shù)據(jù)

針對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)非師范專業(yè)，在教學(xué)過程中側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生通過所學(xué)的微分幾何理論分析、解決實(shí)際中的若干問題，為社會培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|(zhì)應(yīng)用型人才。針對師范類專業(yè)，側(cè)重以培養(yǎng)卓越中小學(xué)教師為目標(biāo)，以培養(yǎng)師范生的幾何直觀和圖形想象能力為導(dǎo)向，提升師范生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。拔尖創(chuàng)新班，側(cè)重學(xué)習(xí)微分幾何學(xué)科的基本理論及學(xué)科前沿和發(fā)展動態(tài)，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生的高階思維、創(chuàng)新思維能力，使之具有較強(qiáng)的探索意識和科研創(chuàng)新精神。同時，根據(jù)學(xué)生自身基礎(chǔ)的差異性，構(gòu)建虛擬學(xué)習(xí)環(huán)境（線上學(xué)習(xí)、協(xié)作、討論、答疑、測試和反饋等）、開展探究式、協(xié)作式等教學(xué)方式，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身基礎(chǔ)條件，按照不同層次、不同專業(yè)的需要，選擇適合自己的課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)行個性化、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。教師通過數(shù)據(jù)調(diào)研和統(tǒng)計(jì)，分析開展網(wǎng)絡(luò)教學(xué)會使哪些（成績居前、中或后）學(xué)生受益及多少比重的學(xué)生受益。

同時，調(diào)查在校師生對實(shí)施分類分層教學(xué)的接受程度和滿意度；總結(jié)實(shí)施微分幾何課程翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的實(shí)踐，不斷優(yōu)化資源共享，推進(jìn)個性化、協(xié)作式學(xué)習(xí)等。調(diào)研報(bào)告要詳盡、準(zhǔn)確，務(wù)求真實(shí)。

此外，教師研究如何分配線下及線上教學(xué)內(nèi)容、按照不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生給出合理的網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)資源比重。

三、教學(xué)反思

為了有效開展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，必須建立科學(xué)完善的評價機(jī)制。在傳統(tǒng)單一教師評價的基礎(chǔ)上，探索自評、互評等形式，要建立“多元”評價主體，使學(xué)生可以通過自評、同伴互評的方式進(jìn)行評價，不斷豐富評價方式的多樣性，使得課程的考核評價體系更加公平合理。同時，注重學(xué)習(xí)過程評價，注重學(xué)生自測、討論、回答問題等部分成績，考試成績雖然還占很大比重，但避免了“一錘定音”和只要考前突擊復(fù)習(xí)即可取得好成績的現(xiàn)象。如在授課之前對學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力進(jìn)行診斷性評價，在教學(xué)過程中，對學(xué)生的學(xué)習(xí)成果采取的形成性評價和在一個學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，進(jìn)行總結(jié)性評價。最終成績=翻轉(zhuǎn)課堂成績×10%+平時綜合成績×40%+期末紙質(zhì)考試成績×50%，其中翻轉(zhuǎn)課堂由各小組根據(jù)自學(xué)預(yù)習(xí)、小組討論、課堂講解打分；對于教師，由于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)學(xué)習(xí)比純粹的傳統(tǒng)課程的學(xué)習(xí)需要投入更多的時間和精力。因此也要完善對教師的評價方式。學(xué)校需要建立相應(yīng)的教學(xué)評價機(jī)制（如考評機(jī)制、激勵機(jī)制等），調(diào)動教師參與的積極性。

翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)效果取決于線上、線下兩個環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和組織。翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的關(guān)鍵是網(wǎng)絡(luò)課程建設(shè)；基礎(chǔ)是“題庫”建設(shè)；網(wǎng)絡(luò)平臺是重要條件；課程考核設(shè)計(jì)是“牛鼻子”；知識系統(tǒng)性是短板；關(guān)注學(xué)習(xí)困難群體是難點(diǎn)。隨著教學(xué)理念的不斷發(fā)展，我們要在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)理念的基礎(chǔ)上，積極開展互聯(lián)網(wǎng)+智慧教育，將翻轉(zhuǎn)課堂與智慧課堂等教學(xué)理念與微分幾何課程深度融合，打造金課，使之成為國家一流課程。