基于主導不穩定平衡點法的暫態電壓穩定性研究

杜兆斌，黃昌樹，陳智穎，詹富均，張文倩

(1. 華南理工大學，廣州 510640； 2. 廣東電網有限公司潮州供電局，廣東 潮州 521000)

0 引 言

近年來，隨著電力系統負荷的增加，電力系統的暫態電壓失穩事故也時有發生[1-4]，引起了電氣領域眾多學者的關注。暫態電壓失穩是源網荷特性共同作用的結果。CIGRE將電壓穩定定義為：給定運行點的電力系統在經受某一給定擾動后，負荷附近的電壓趨于擾動后穩定平衡點的值,它對應于擾動后系統狀態在擾動后平衡點的吸引域中[5]。以上所提定義已經得到了廣泛的認可與采納。

目前，暫態電壓穩定的分析手段仍然主要依賴于時域仿真法[6-7]。時域仿真法的模型適應性強，可以再現事故期間各個系統元件的動作順序以及其對系統暫態穩定性的影響，便于系統穩定機理分析[8]。但其耗時較長，難以獲取系統穩定性程度的定量指標[9]。作為時域仿真法的重要補充，能量函數法在近20年取得了重大的研究進展。主要包括主導不穩定平衡點(CUEP)法、勢能邊界面法等[10-11]。其中，CUEP法為精度較高的一種，使用與CUEP相切的恒能量面來近似系統的穩定域邊界，該方法的成功應用取決于能否找到正確的CUEP。目前，已經提出很多計算CUEP的方法，如MOD法和BCU法[12-13]。當迭代初值充分靠近CUEP時，這些基于牛頓法原理計算平衡點的方法可以快速得到CUEP，但是，牛頓法對初值的要求較高，當初值落在牛頓法收斂域之外時，迭代可能發散或收斂到其他平衡點。文獻[14]提出一種啟發式的方法用于確定電壓型CUEP的迭代初值，并采用牛頓法迭代得到主導不穩定平衡點，該方法操作簡單，計算量少，但是牛頓法對初值比較敏感。數值結果也表明，在牛頓法下，電力系統模型的穩定平衡點和不穩定平衡點的收斂域均具有分形邊界，分形邊界的影響在于初值的微小變化將導致收斂于不同的平衡解[10]。而牛頓同倫法的收斂域是連通的[15]，比牛頓法有更好的收斂性[16]，可以有效克服牛頓法對初值的敏感性。故文章使用牛頓同倫法替代牛頓法，減弱了牛頓法下電力系統模型不穩定平衡點的收斂域分形邊界影響，提高了數值計算收斂到電壓型CUEP的可靠性，算例也驗證了其可行性。

文章首先采用一種啟發式的方法去尋找計算電壓型CUEP的迭代初值，其中采用一種基于大干擾的電壓幅值變化率指標來識別主導負荷母線，有別于文獻[14]的小干擾電壓穩定指標，更加充分考慮了暫態過程中的信息和系統非線性因素，可拓展到多電動機的動態負荷模型，提升了該啟發式方法的模型適用性與推廣性。然后引入牛頓同倫法求解非線性方程組，使得到的迭代初值更可靠地收斂到電壓型CUEP，彌補了牛頓法對初值敏感的不足。在結合能量函數和得到電壓型CUEP后，可以有效計算維持電力系統暫態電壓穩定的臨界切除時間。最后在3機9母線系統上驗證了上述方法的有效性。

1 主導不穩定平衡點法的理論基礎

電力系統的部分穩定域邊界由穩定域邊界上的不穩定平衡點(UEP)的穩定流形構成[10-11]，當發生暫態失穏時，系統的故障中投影軌跡穿過主導不穩定平衡點的穩定流形[17]。數學上難以求得穩定域邊界的解析解，主導不穩定平衡點法把CUEP的能量作為臨界能量，用臨界能量構造一恒能量面，將該恒能量面作為穩定域邊界的局部近似。以電力系統暫態穩定分析為例，當故障后初始能量小于臨界能量時，意味著系統故障后初始狀態落在穩定域內，則系統暫態穩定，反之，系統可能暫態失穩[11]。文獻[18]提出電壓穩定和功角穩定關系研究的統一能量函數法框架，指出功角失穩是由于故障軌跡穿過功角型UEP的穩定流形，而電壓失穩是由于故障軌跡穿過電壓型UEP的穩定流形，其中功角型UEP具有高電壓、大功角的特點，電壓型UEP具有低電壓、小功角的特點。在此基礎上，文獻[19]在一個2機3節點系統中，詳細考察了發電機出力大小、負荷大小和負荷模型對平衡點分布變化的影響，指出可以通過UEP的分布、數目和類型了解系統可能發生的暫態失穩模式，通過這些分析進一步支持了文獻[18]的觀點。因此，在能量函數法的思想下，功角穩定問題和電壓穩定問題在狀態空間上可以認為是UEP處于不同模式下的系統穩定問題[19-20]。

文章采用啟發式方法求出電動機滑差的初值并代入UEP的求解中，使最終所得的UEP符合低電壓、小功角的特點，因而文中所用主導不穩定平衡點法是針對暫態電壓穩定的，這是文章與傳統能量函數法求解暫態功角穩定域文獻的不同之處。文章結合電動機特性及其與電壓穩定的關系，以啟發式的方法篩選合適的電壓型UEP初值，為能量函數法切入暫態電壓穩定性分析領域提供了一定的基礎條件。從另一個角度看，也擴展了能量函數法運用于暫態穩定性分析的適用范圍。

2 電壓穩定域邊界主導不穩定平衡點的求取

對于主導不穩定平衡點的求取，即求解故障后系統的方程，表達式如下所示：

(1)

式中f為電力系統中的微分方程組，表示發電機、負荷的動態特性等；g為電力系統中的代數方程組，表示網絡潮流約束；x表示電力系統的狀態變量，如發電機功角、感應電動機滑差等；y表示電力系統的代數變量，如節點電壓的幅值和相角等。以上方程組可以通過牛頓法進行求解，然而，迭代的初值選取是一個難題，因為如果選擇不當，牛頓法迭代后有可能收斂到其它的不穩定平衡點。

文獻[14]提出了一種啟發式的方法用于求取電力系統電壓型主導不穩定平衡點，但其采用的牛頓法對初值的要求較高，很難保證初值在CUEP的收斂域內，故文章引入牛頓同倫法以降低CUEP求解對初值的敏感度。

2.1 主導負荷母線的確定

文獻[5]采用暫態故障前后的電壓幅值變化率作為評估電壓薄弱節點的一種指標：

(2)

式中 電壓差ΔV為故障消除時刻的電壓值與故障發生前的電壓值之差；V0為故障前的電壓值。對該電壓幅值變化率進行排序，選出變化率最大的負荷節點，其所在母線即為主導負荷母線。該方法較為充分考慮暫態故障前后的信息，而且對電壓薄弱點的評估十分直觀。此外，母線所帶負荷的成分、參數不同，負荷母線與短路點的距離并非唯一決定最先發生暫態電壓失穩母線的條件，因此，文章采用文獻[5]所提出的電壓薄弱節點確定方法來尋找主導負荷母線，而且可以看出，在能量函數法原有的計算框架下就已經獲得求取主導負荷母線的信息，無需再進行額外的時域仿真。

2.2 主導不穩定平衡點初值的確定和修改

雖然一般情況負荷失穩不等同于電壓失穩，但當系統發生短路故障時，節點電壓降低導致感應電機負荷受擾而偏離穩態，而故障清除后，如果感應電機轉子無法正常恢復轉速，滑差增大甚至堵轉將導致負荷失穩，此時感應電動機無功消耗與穩態相比更大，使得所接入節點電壓更低，進而容易導致系統電壓失穩。此場景下可出現負荷失穩和電壓失穩相互交織，工程研究中計及電動機動態負荷模型時，常用電動機失穩條件(大滑差)對應電壓失穩判定指標。文章基于一階電動機模型，通過2.1的方法識別主導負荷母線，將主導負荷母線之外的系統根據故障后穩定平衡點(SEP)進行戴維南等值，再利用主導負荷母線相應電動機模型的轉矩平衡方程，解一元二次方程，取較大的滑差值為式(3)中滑差變量的初值，其余變量以故障后SEP為初值，從而得到用于迭代CUEP的初值[14]。示意圖如圖1所示。

圖1 一階電動機等值示意圖

在圖1中，Eeq和req+jxeq分別表示對虛線左邊系統進行戴維南變換之后的電勢和阻抗，rR1+jxR1表示轉子繞組的阻抗，s表示轉子滑差。感應電動機穩態時轉矩平衡條件為電磁轉矩等于機械轉矩，即：

(3)

式中 等號左邊表示電磁轉矩，等號右邊表示機械轉矩。為了方便文章的闡述，機械轉矩采用滑差s來表示[20]，a、b、c是由于用滑差s來替代電動機轉速ω而出現的，其中s=1-ω。

當按照上述的方法獲得的迭代初值計算不收斂時，需要對迭代初值進行修改，目的是為了得到更加靠近CUEP的迭代初值。經驗上，感應電動機滑差越大，越容易導致電壓失穩。所以電壓型CUEP的滑差值比SEP的更大。而且電壓失穩往往從主導負荷母線向附近的母線擴散，所以電壓型CUEP處的主導負荷母線及其附近的母線電壓要比SEP的小。因此，將前述方法得到的主導負荷母線及其附近母線的電動機滑差值適當增大，以及將主導負荷母線及其周圍母線的電壓幅值適當減小，其余變量保持不變，這樣獲得的新的迭代初值更加靠近CUEP，以確保迭代更容易收斂到CUEP。

2.3 牛頓同倫法的實施

同倫法的基本思想為構造合適的同倫映射，通過預測-校正算法跟蹤同倫方程的解軌跡以獲得原非線性方程組的解[16,21]。設式(1)中的方程組為F(x)=0,x∈Rn。欲使用同倫法求解該方程組，首先引入參數t及輔助函數G(x)，構造同倫映射：

H(x,t)=tF(x)+(1-t)G(x)

(4)

式中H:Rn×R→Rn，G:Rn→Rn。而同倫路徑即為滿足當t從0到1變化時同倫方程H(x,t)=0的解。當t=0時，H(x,0)=G(x)=0的解x0為已知或者容易求解，當將t從0逐漸增加到1的時候，H(x,1)=F(x)=0的解為原來方程的解。

一般H(x,0)=0的解已知為x0，為求同倫方程的解曲線x=x(t)，對參數t求導可得：

(5)

求解微分方程組(5)主要分為以下兩個環節：

(6)

(7)

(8)

由于近似點已經比較靠近同倫方程(8)的解，故采用牛頓法對其進行求解，以近似點作為牛頓法的迭代初值，得到牛頓法的下一個修正量x1,1，則第k個修正量x1,k為：

(9)

為保證更可靠地找到電壓相關的CUEP點，文章采用牛頓同倫映射[16]，如下式所示：

H(x,t)=F(x)-(1-t)F(x0)

(10)

在迭代初值相同時，牛頓同倫法比牛頓法更可靠地找到最靠近初值的原方程的解。牛頓法本質上是參數增量Δt=1的牛頓同倫法。由式(7)、式(10)可得牛頓同倫法的迭代增量為：

Δx=-(Fx(x0))-1F(x0)Δt

(11)

而牛頓法的迭代增量為：

Δx=-(Fx(x0))-1F(x0)

(12)

可見，當Δt=1時，牛頓同倫法與牛頓法是相同的。牛頓法對初值比較敏感，原因在于牛頓法的“參數增量”選得過大，很難保證每一次牛頓迭代后得到的迭代點更靠近原方程的解。而牛頓同倫法可以通過選取合適的參數增量，以確保每一次的預測-校正環節后都能得到更加靠近原方程的解的迭代點。

3 算例分析

文章采用主導不穩定平衡點法對含電動機系統進行暫態電壓穩定分析，其計算原理如圖2所示。

圖2 暫態電壓穩 定分析計算原理框圖

3.1 含單個動態負荷母線的3機9母線系統

文章在PSAT[22]仿真平臺上進行實驗，所采用的仿真模型為3機9母線系統，系統參數可以參考文獻[23]，該仿真模型結構圖如圖3所示。

圖3 3機9母線系統

其中，發電機采用計及暫態電勢動態的三階模型；母線5和母線8連接恒阻抗負荷，母線6連一階電動機負荷。電動機參數見表1，其余參數參考文獻[24]。故障場景設為：于1.0 s時在母線7處發生三相短路，經一定時間后切除。

表1 電動機參數圖

因為故障后不切除線路，所以故障后SEP即為故障前SEP。利用文章所述方法，計算得到較大的滑差值為0.050 7，將其作為初始值，其余變量以故障后SEP為初值，利用牛頓同倫法求解得到CUEP。為了形象展示CUEP是電壓型UEP的特點，將SEP和CUEP投影到由G3發電機功角δ3、母線6電壓幅值V6和滑差s構成的三維空間中，如圖4所示。

圖4 故障后SEP和CUEP投影圖

對比圖4中系統故障后的SEP和CUEP可以看出，兩者的電壓和電動機滑差值相差均較大，功角的差值較小，CUEP對應的電壓值小和滑差值大，表明文章所用方法得到的CUEP是電壓型UEP，也說明文章迭代初值的選取是合理的。

由于利用2.2節方法計算得到較大滑差值為0.050 7，為比較牛頓同倫法和牛頓法的收斂性能，將滑差初值在0.050 7附近變化，分別用兩種方法對選取的滑差初值進行迭代，直到牛頓同倫法剛好不收斂到CUEP為止，計算結果見表2。當s0為0.045 7～0.359 0時，牛頓法收斂到CUEP；當s0為0.038 0～0.447 0時，牛頓同倫法收斂到CUEP。可以看出，欲收斂到CUEP，牛頓同倫法滑差迭代初值的范圍和牛頓法對比，下界從0.045 7擴至0.038 0，上界從0.359 0擴至0.447 0。且牛頓法易發散或收斂到其它平衡點，而牛頓同倫法在收斂到CEUP前不會收斂到其它1型UEP。故初值相同時，牛頓同倫法比牛頓法更能可靠地找到CUEP，在計算上具有更高的魯棒性。

表2 兩種方法收斂結果

將CUEP和故障后SEP代入文獻[25]的能量函數表達式，得系統臨界能量值為2.087 3；對應的故障臨界切除時間為1.224 s。而時域仿真法中，當故障切除時間為1.226 s和1.227 s時，電動機母線的電壓曲線分別如圖5、圖6所示。

由圖5和圖6可以看到，當臨界切除時間為1.226 s時，電壓經一段時間恢復到故障前的值，當臨界切除時間為1.227 s時，電壓經過振蕩后不能恢復到正常值，判定為暫態電壓失穩，可知時域仿真法所得臨界切除時間為1.226 s。直接法計算的臨界切除時間與時域仿真的相比，兩者誤差僅為0.88%，滿足工程精度要求。能量函數法所得臨界切除時間比時域仿真法的小，體現的正是第二節所述的主導不穩定平衡點法固有的保守性。

圖5 切除時間為1.226 s時電動機母線電壓曲線

圖6 切除時間為1.227 s時電動機母線電壓曲線

3.2 含多個動態負荷母線的3機9母線系統

算例所用模型是在3.1系統的基礎上，將其5號母線與8號母線的負荷都改成一階動態模型表示的電動機，從而構成三臺電動機的3機9母線系統。其中，8號母線所連電動機的滑差SEP值為0.009 07，其余參數同表1。為方便操作，取5號、6號母線所連電動機參數相同，見表3，其中5號、6號母線所連電動機滑差SEP值分別為0.009 33，0.009 28。根據推導的過程，電動機參數的選取不會影響文章方法的分析和計算。

表3 電動機參數

故障場景設為：在節點7處發生三相短路，經一定時間后清除。由2.1的方法可尋得主導負荷母線為8號母線。由2.2的方法計算得到較大的滑差值為0.047 3，將其作為初始值，其余變量以故障后SEP為初值，用牛頓同倫法迭代計算得到CUEP。求解得到的SEP與CUEP的局部投影見圖7，其中s表示主導負荷母線電動機的滑差。

圖7 故障后SEP和CUEP

對比圖7中SEP和CUEP可以看出，兩者的電壓和電動機滑差值相差均較大，功角的差值較小，CUEP對應的電壓值小和滑差值大，表明得到的CUEP是電壓型UEP，說明此處迭代初值的選取是合理的。

運用前面的方法，求得系統臨界能量值為2.275 3；對應的故障切除時間為1.125 s。同時，采用時域仿真法與之對比，當故障切除時間為1.131 s和1.132 s時， 8號電動機母線的電壓曲線分別如圖8、圖9所示。顯然，時域仿真法獲得的準確系統維持暫態電壓穩定臨界切除時間為1.131 s，與文章所提的方法相比，兩者誤差為4.58%，滿足工程精度要求。考慮到三電動機模型較單電動機模型更復雜，以及故障的地點的不同，這是三電動機算例在誤差方面較單電動機算例大的主要原因。其中，三電動機模型中更多的動態負荷增強了系統的非線性，導致了系統在暫態過程中的電壓波動更大，使系統更加容易發生電壓崩潰。另外，當系統臨近電壓崩潰時，系統的雅克比矩陣接近奇異，仿真容易出現數值計算問題，這是圖9電動機電壓曲線在接近電壓崩潰時劇烈振蕩而后電壓值出現為0的原因，但在實際中電壓不為0。

為比較牛頓同倫法和牛頓法的收斂性能，按照3.1節算例的做法，令滑差初值在迭代算得的0.047 3附近變化，直到牛頓同倫法剛好不收斂到CUEP為止，兩種方法的迭代結果見表4。顯然，欲收斂到CUEP，牛頓同倫法滑差迭代初值的選取范圍比牛頓法的更大，下界從0.045 0擴至0.037 2，上界從0.374 0擴至0.582 0。且牛頓法容易發散或收斂到其它平衡點，而牛頓同倫法在收斂到CUEP前不會收斂到其他1型UEP。可以看出，在初值相同的情況下，牛頓同倫法比牛頓法更能可靠找到CUEP，具有更高的魯棒性。

圖8 切除時間為1.131 s時電動機母線電壓曲線

圖9 切除時間為1.132 s時電動機母線電壓曲線

表4 兩種方法收斂結果

4 結束語

文中提出一種基于主導不穩定平衡點判斷電力系統暫態電壓穩定性的方法。為確保迭代初值更有效收斂到CUEP上，文章提出了啟發式結合牛頓同倫法的思路，以計算電壓相關的主導不穩定平衡點。另外，為使啟發式方法更具普適性，文章還考慮多電動機的動態負荷模型，并通過識別電壓薄弱節點尋得主導負荷母線。從仿真分析中可以看出：

(1)文章所提的方法用來求取臨界切除時間與時域仿真的結果對比誤差較小，具有良好的工程實用性；

(2)文章求得的CUEP在主導負荷母線上具有大滑差、低電壓的特點，符合暫態電壓失穩的特征，表明運用啟發式結合牛頓同倫法的方法可以有效求取電壓型CUEP；

(3)從表2和表4中可以看到，欲收斂到CUEP，牛頓同倫法滑差迭代初值的范圍更大，表明牛頓同倫法較牛頓法更可靠地收斂到CUEP。

隨著越來越多的電力電子型負荷接入電網，電力系統的暫態電壓穩定機制也發生了深刻的變化，未來的研究將把文章的方法拓展到電力電子化系統中。